数学犹聊天（人人都有数学基因）/发现数学丛书

作者简介

基思·德夫林（Keith Devlin，1947—）是美国加利福尼亚州莫拉加市圣玛丽学院科学系主任，斯坦福大学语言与信息研究中心高级研究员，美国科学院数学科学教育委员会委员，世界经济论坛成员，美国科学促进会成员，美国全国公共电台数学普及节目主持人。他是22本书的作者，其中包括《数字化的生命》（Life by the Numbers）、《数学：模式的科学》（Mathematics：The Science of Patterns）与《千年难题》（The Millennium Problems）等。

内容简介

婴儿会计数吗？ 许多研究表明，皮亚杰关于数的意识的结论是错误的。即使是只有两岁 的幼儿也具有发展良好的数的意识，以及数量守恒的观念。那么，对建立在 这一基础上的、构成主义者的假设，即认为此类数值能力是通过观察而取得 的又该如何看呢？也许幼儿是在他出生后的头两年里学会这些能力的吧。 20世纪80年代与90年代完成的一系列重要实验证明，那个假设也不成立 。这些实验中的第一个是1980年由宾夕法尼亚大学的斯塔基（Prentice Starkey）与他的同事们完成的。被测试的对象是出生16周到30周之间的婴 儿。他们面临的挑战是找到一种办法来检测如此幼小的婴儿在想些什么。 实验者寄希望于测量婴儿的关注时间。任何一对父母都知道，任何新奇 的东西（比如一个新玩具）都会暂时吸引小孩子的注意力。然后这种关注就 开始衰退，或者由别的新奇东西来取代。斯塔基与其同事利用录像技术，通 过记录婴儿的注视，来跟踪他的注意力。婴儿一般坐在妈妈的膝上，面对着 实验装置。 在一次实验中，让婴儿观看投射在屏幕上的幻灯片。一张幻灯片上显示 并排靠着的两个点。当图片第一次出现时，它立刻引起了婴儿的注意，他的 目光一动不动地对它注视了片刻。当他的关注开始衰退，目光游移不定时， 换上一张新的与第一张略有差异的幻灯片。婴儿只是简单地对它瞥了一眼。 幻灯片又换了，每张新的幻灯片同前一张都只有极微小的差别。每次重复这 一过程时，婴儿被重新唤起的关注（用录像带记录下的时间）变得越来越简 短。然后，在事先毫无提示的情况下，幻灯片上出现了三个点，而不是两个 。婴儿的兴趣立即被激发，他对图片注视了更长的时间（在一轮实验中，记 录下来的时间为1.9至2.5秒）。婴儿非常清楚地察觉到了从两点到三点的变 化。另一组婴儿则从逆序放映的幻灯片中察觉到了从三点到两点的变化。 后来，马里兰大学的安特尔（Sue Ellen Antell）与基廷（Daniel Keating）又用同样办法证明，出生仅有几天的婴儿也能区别2与3。 顺便提一下，在用不同排放方式来显示点数或代之以其他物体的图形时 ，上述两组实验者都力求做到排除任何除了数以外的可能引起婴儿关注的因 素。不论他们的图片上显示的是什么东西，也不论这些东西怎么排放，引起 婴儿兴趣的都是数的变化。结论看来十分明确：出生仅有几天的婴儿就能分 辨两个物体和三个物体的集合。 在由巴黎认知科学与语言心理学实验室的比耶利亚茨（Ranka Bijeljac ）女士及其同事们所做的另一个实验中，出生仅一四天的婴儿接受了听力刺 激测试，以代替视觉测试。由于这种刺激不是可见的，婴儿的注意力不能以 关注时间来测量。实验者代之以利用婴儿的吮吸反应来测算他们的注意力。 给每个婴儿一只奶嘴，奶嘴连到压力传感器上，再连上计算机。当婴儿吮吸 奶嘴时，计算机会传输一个无意义的、音节数固定的单词。典型的三音节单 词可以是“akiba”或“bugaloo”。 一开始，每个婴儿都对吮吸奶嘴会发出声音表现出很浓厚的兴趣，于是 吸得很起劲。不过，过了一会儿以后，兴趣减弱了，吮吸的速度也慢下来了 。检测到速度降低的计算机立即发出指令，改为传输只有两个音节的单词。 婴儿立即开始又一次起劲地吮吸了。 不过，从一个三音节单词改为另一个三音节单词，或者从一个双音节单 词改为另一个双音节单词，却不能使婴儿产生同样程度的兴趣。改变每个单 词的传输速度也同样不能收效。引起反应的只能是音节数。 巴黎实验证明，出生四天以上的婴儿已经能够区别2与3。它也同样证明 了，即使是在如此幼小的年纪，婴儿们也能在一连串声音中认出音节结构， 并能通过内在与下意识的方式，察觉出音节数的不同。 既然极其幼小的婴儿就能够分辨2件与3件物品，那么这种数的意识能否 扩展到抽象意义上的2与3呢？为了测试这一点，人们必须证明，婴儿能发现 诸如两只苹果与两个点，或者三粒弹子与三声铃响这样的集合之间的类似点 。但对于不会说话的小宝宝，如何能做到这点呢？引人注目的是，10年前， 斯塔基与他的同事们想出了一个办法来进行这样的测试。 研究者让一些6到8个月大的婴儿坐到两台幻灯机前。左面的一台放映出 一幅图形，上面有随意放置的三件物品，右面的一台则放映出一幅同样随意 放置的两件物品的图形。与此同时，两个屏幕的中间安置了一台喇叭，正在 播放一系列击鼓声。藏在暗处的录像机记录下婴儿的眼神，以测量他们的注 意力。 开始时，每个宝宝都对两幅图不断查看，在三件物品的图形上耗时较多 ，因为它比较复杂。但是在经过最初的几次尝试后，出现了一个令人注意的 模式，婴儿会花更多时间去观看物品数同他们听到的鼓声数相匹配的图形。 鼓声敲两下时，宝宝会用较多时间观看有两件物品的图形；而当鼓声敲三下 时，他们对三件物品的图形更为关注。 斯塔基与其研究同事们并不认为他们的测试对象有着很好的数的意识。 婴儿们的行为有可能是一种内在的神经反应。由听到两下鼓声引起的体内神 经作用触发了一种特定模式，使婴儿更愿意观看有两件物品的图形。这并不 意味着婴儿具有完善的数的概念。不过它确实是一种关于数的概念。这告诉 我们：不管我们如何估量自己的数学能力，我们全都拥有一种内在的数的意 识。这是我们生来就有的。 也许我们生来还会做加法——至少在黑猩猩能做的很小范围内。 婴儿会做加法吗？ 婴儿会做加法吗？婴儿是否知道1+1=2或2+1=3？1972年，美国心理学家 温（Karen wynn）女士的一项宣告使世界为之震惊。她宣称：4个月大的婴 儿就能（用一种天赋的、无意识的方式）做简单的加法与减法。如同一切实 施在婴儿身上的实验一样，主要的挑战在于找到一种办法，来发现在如此幼 小的心灵中究竟有些什么东西正在发生。 温利用了婴儿的“世界理应如此”的意识。即使是极小的宝宝，在他们 遇到明显违反物理定律的事物时，也会感到困惑。比如，当有一样东西悬在 半空中而没有可见的支撑物时，立即就会引来专注的目光。 温让她的小测试对象们坐在一个小木偶戏台前。实验者的手从戏台一侧 伸出来，把一只米老鼠木偶放到舞台上。然后一块幕布升起来，遮住了木偶 。实验者的手再度出现，拿着第二只米老鼠，并把它放到幕布后。随后幕布 落下。有时，婴儿们会看到舞台上有两只米老鼠。另一些时候，幕布落下时 只露出一只米老鼠，另一只通过戏台上的暗门被悄悄地拿走了。通过用录像 带记录下婴儿们的反应，温可以测算宝宝们注视舞台的时间。平均下来，当 落下幕布时只露出一只木偶而不是两只木偶时，宝宝们要整整多注视一秒钟 。 对此，最明显的结论是，当孩子们看到两只木偶被一个接一个地放到舞 台上，而并没有一只被拿掉时，他们会指望最后能看到两只木偶。他们“知 道”1+1=2，而当看到错误的法则1+1=1的现象出现时，他们会感到惊奇。 如果幕布落下时，舞台上出现三只米老鼠，被测试者的注视时间也较长 。显然，他们“知道”1+1既不等于1，也不等于3，而是正好等于2。 婴儿们似乎也知道减法。为了测试这一点，表演开始时舞台上放着两只 木偶，然后升起幕布，让婴儿们看到有一只木偶被拿走了。当幕布再次落下 ，台上出现两只木偶（表明2-1=2）时，婴儿们目不转睛地注视着舞台，比 起舞台上只剩一只木偶（表明2-1=1）的注视时间足足要多出三秒钟。 为了排除在温的实验中婴儿们的表现依赖的是视觉记忆而不是数这种可 能性，法国心理学家克什兰（Etienne Koechlin）重复了实验过程，但这次 是把东西放在缓慢移动的转桌上。舞台上发生的等速转动足以防止婴儿把他 们所看到的事物转化为固定不变的心理形象，他们无法预知幕布落下时能看 到的景象。尽管如此，一旦转桌上所放东西的个数与应有的数目不符时，婴 儿们仍然表现出程度大得多的关注。 有趣的是，在婴儿降生的这个现实世界的所有要素中，数似乎是首屈一 指的，远远凌驾于物理形态或外表之上。美国心理学家西蒙（Tony Simon） 及其同事在20世纪90年代初对此进行了证实，他们采用的方法是温的实验的 变化形式。当一个婴儿看到两只木偶在幕布后消失，而幕布落下时露出两只 红球时，他并不感到惊讶；但如果只露出一只红球，他就会感到困惑。显然 一件物品能变成另一件物品的观念比起数的改变来要更容易接受。这为皮亚 杰的物质不灭概念提供了一种全新的、完全意想不到的解释。 物质不灭这种怪异观点通过另一个实验的结果得到了进一步肯定。把一 个不到12个月大的婴儿放到幕布前，一只红球和一只蓝拨浪鼓不断地交替出 现在幕布后面。如果这个婴儿没有同时看到两样东西的话，那么当幕布落下 ，而他只看到一样东西（不论是球还是拨浪鼓）时，他并无惊异之色。看来 ，他非常乐于接受这样一种看法：有一样东西，一会儿看上去像是红球，一 会儿又像是蓝拨浪鼓。只有对年龄在一岁或一岁以上的婴儿，两种不同的外 表才意味着可能存在两样东西。在婴儿生命中的第一年，数显然是比颜色、 形状、外表重要得多的“不变量”。 顺便说一下，小宝宝们的这种不平常 的算术能力严格局限于对数1，2，3的简单加减。小于一岁的婴儿似乎不能 区别四件、五件或六件物品。 下一章，我们将讨论成年人类所独有的、超越3的数的世界。但在此之 前，让我们来关心一下一小部分人，他们必须生活在这个严重依赖数的社会 中，但他们对什么是数却不具备任何意识。 P30-35