数学分析学习指导(上)

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第1章 实数
　　1.1 实数集的公理系统及它的某些一般性质
　　&
　　1.2 重要的实数类
　　一、知识点总结与补充
　　1.与确界相关的基本概念
　　(1)集合的上确界(最小上界)
　　(2)集合的下确界(最大下界)
　　(3)函数的上确界(值域的上确界)sup
　　(4)函数的下确界(值域的下确界)inf
　　2.完备(连续)公理
　　如果X与Y是R的非空子集，且具有性质:有，则，使对有.
　　3.确界原理
　　实数集的任何非空有上界(下界)的子集有唯一的上确界(下确界).
　　注利用完备(连续)公理可证明确界原理.
　　4.数学归纳原理
　　如果E是自然数集N的子集，并且当时，x+1也属于E，那么E=N.用符号表示为.
　　5.算术基本定理
　　每个自然数能唯一地不计因数顺序的区别表示成乘积的形式
　　n=p1 pk，
　　其中p1， ，pk都是素数.
　　6.阿基米德原理
　　如果h是任意一个固定的正数，那么对于任何实数x，必能找到唯一的整数k，使得.
　　7.有理数和无理数的稠密性
　　有理数集Q和无理数集均在R中稠密.
　　8.实数集的位置记数法引理
　　如果固定实数q＞1，那么，对于任何正数x2R，必有唯一的整数，使得.
　　二、例题讲解
　　1.对于定义在集合D R上的函数f(x)和g(x)，证明:
　　(1)
　　(2)
　　证 这里只给出(1)的证明，(2)的证明是类似的.
　　先证(1)的**个不等式.首先，由下确界的定义，显然有
　　因此
　　再次由下确界的定义，可知
　　再证(1)的第二个不等式.由上、下确界的定义易见
　　这蕴含着
　　再由下确界的定义即得
　　移项即得所要证的不等式.
　　注 容易给出(1)和(2)中不等式取严格不等号的例子，此处从略.
　　2.设函数f(x)于集合上有界，记.
　　证明:
　　证 由上、下确界的定义可知，使得.且.若M=m，结论显然成立.若，则当时，又显然.再结合式，由上确界的定义即
　　得结论.
　　3.给出和的表达式.
　　解 容易验证
　　和
　　此外，也可以通过解如下方程组求得
　　注 (几何意义)为a和b的中点，为两点距离的一半.
　　4.函数(u=u(x))的正部与负部定义如下:
　　 正部
　　 负部
　　因此我们有如下的分解:
　　 函数的分解.
　　 绝对值的分解.
　　5.设为一个无限集，常数a＞0.如果且，都有成立.证明:数集A是无界集.
　　证 反证法.假设A是有界集，则，使得.取自然数n使得.将闭区间分成2n等份，得到2n个闭区间.因为A是无限集，所以在上面的2n个闭区间中至少有一个闭区间包含了A中两个不同的元素a1，a2，此时，矛盾.
　　6.(无理数的稠密性)证明:设，则，使得.
　　证1 由和有理数在R中的稠密性，可知，使得，所以.显然，所以取即可.
　　证2 由和有理数在R中的稠密性，可知，使得，所以.若，则，则取即可.若，则.同样由有理数的稠密性易知，使得，所以.显然，则取即可.
　　三、习题参考解答(1.2节)
　　1.依据归纳原理证明:
　　(1)当且时，同时只有n=1或x=0时等号成立(伯努利不等式).
　　(2).
　　证 (1)当n=1或x=0时等号显然成立.往证.
　　当n=1时，
　　因此.设，则.
　　故，因此据归纳原理可知E=N.至此，伯努利不等式得证.
　　(2)牛顿二项式可改写为
　　这里是二项式系数.往证.
　　显然.设，则
　　这里利用了如下公式:当k=1，2， ，n时，故，因此据归纳原理可知E=N.至此，牛顿二项式得证.
　　2.设S为非空有下界数集.证明:
　　证 先证，所以.
　　再证，所以，所以ξ为下界.对S的任何下界m，由定义.又因为，所以也有，故ξ为最大下界，即.
　　3.设-A是形如-a的数的集合，这里，试证.
　　证 由下确界的定义，使得，所以.又显然，所以，故由上确界的定义可知.
　　4.设A+B是形如a+b的数的集合，A B是形如a b的数的集合，其中.试检查是否总有
　　(1)sup(A+B)=supA+supB.
　　(2)sup(A B)=supA supB.
　　解 (1)显然，所以，故.另一方面，使得.所以.显然，因此由上确界的定义可知sup(A+B)=supA+supB.
　　另外一种证明:首先，容易看出.事实上，对于任意的，则z=a+b，其中，显然.
　　因此，这就证明了sup(A+B).supA+supB.如果sup(A+B)<supA+supB，则存在，使得.
　　因此，这与矛盾.因此，我们得到sup(A+B)=supA+supB.