第5章一元函数的导数及其应用
导数零点六大模型
1. y=xex
2. y=xex
3. y=exx
4. y=xlnx
5. y=xlnx
6. y=lnxx
5.1导数的概念及其意义
数学是永恒，是真理，是一切的答案。(推荐人： @ Distance (山东))
核心笔记
一、 导数的概念
1. 平均变化率
函数y=f(x)从x1~x2的平均变化率为f(x2)-f(x1)x2-x1，若Δx=x2-x1，Δy=f(x2)-f(x1)，则平均变化率可表示为ΔyΔx。
2. 瞬时速度
一般地，如果物体的运动规律可以用函数s=s(t)来描述，那么物体在时刻t的瞬时速度v就是物体在t~t+Δt这段时间内，当Δt无限趋近于0时ΔsΔt无限趋近的常数。
3. 瞬时变化率
定义式limΔx→0ΔyΔx=limΔx→0f(x0+Δx)-f(x0)Δx
实质瞬时变化率是当自变量的改变量趋近于0时，平均变化率趋近的值
作用刻画函数在某一点处变化的快慢
4. 导数的概念
函数f(x)在x=x0处瞬时变化率是limΔx→0ΔyΔx=limΔx→0f(x0+Δx)-f(x0)Δx，我们称它为函数y=f(x)在x=x0处的导数,记作f′(x0)或y′|x=x0。
要点诠释：
(1) 增量Δx可以是正数，也可以为负，但是不可以等于0。Δx→0的意义： Δx与0之间距离要多近有多近，即|Δx-0|可以小于给定的任意小的正数；
(2) 当Δx→0时，Δy在变化中也趋于0，但它们的比值却趋于一个确定的常数，即存在一个常数与ΔyΔx=f(x0+Δx)-f(x0)Δx无限接近；
(3) 导数的本质就是函数的平均变化率在某点处的极限，即瞬时变化率，如瞬时速度即是位移在这一时刻的瞬间变化率，即f′(x0)=limΔx→0ΔyΔx=limΔx→0f(x0+Δx)-f(x0)Δx。
5. 导函数的概念
如果函数y=f(x)在开区间(a，b)内的每一点都是可导的，则称f(x)在区间(a，b)内可导。这样，对开区间(a，b)内的每一个值x，都对应一个确定的导数f′(x)，于是在区间(a，b)内f′(x)构成一个新的函数，我们把这个函数称为函数y=f(x)的导函数(简称导数)，记为f′(x)或y′，即f′(x)=y′=limΔx→0f(x+Δx)-f(x)Δx。
二、 导数的几何意义
函数y=f(x)在x=x0处的导数f′(x0)就是曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线的斜率k，即k=f′(x0)=limΔx→0f(x0+Δx)-f(x0)Δx。
核心例题1平均变化率与瞬时变化率
()函数f(x)=x2-sinx在［0,π］上的平均变化率为()。
A. 1
B. 2
C. π
D. π2
【答案】C
【解析】平均变化率为ΔyΔx=f(π)-f(0)π-0=π2π=π。故选C。
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根据导数的定义求函数y=f(x)在点（x0，f(x0))处导数的方法(一差、二比、三极限)：
(1) 求函数的增量： Δy=f(x0+Δx)-f(x0)；
(2) 求平均变化率：
ΔyΔx=f(x0+Δx)-f(x0)Δx；
(3) 求极限，得导数： f′(x0)=limΔx→0ΔyΔx=limΔx→0f(x0+Δx)-f(x0)Δx。
题型训练·练其形
1.1()函数f(x)=x2+c(c∈R)在区间1,3上的平均变化率为()。
A. 2
B. 4
C. c
D. 2c
1.2()如图所示,函数y=f(x)在A,B两点间的平均变化率等于()。
A. -1
B. 1
C. -2
D. 2
1.3()如果函数f(x)=ax+b在区间［1,2］上的平均变化率为3,则a=()。
A. -3
B. 2
C. 3
D. -2
题型训练·悟其神
1.4()一质点做直线运动，若它所经过的路程与时间的关系为s(t)=4t2-3(s(t)的单位： m，t的单位： s)，则t=5时的瞬时速度为()。
A. 7m/s
B. 10m/s
C. 37m/s
D. 40m/s
1.5()若函数f(x)=x,g(x)=x2,h(x)=x3在［0,1］上的平均变化率分别记为m1,m2,m3,则下面结论正确的是()。
A. m1=m2=m3
B. m1>m2>m3
C. m2>m1>m3
D. m1k2
B. k1”连接)
5.2导数的运算
核心笔记
1. 基本初等函数的求导公式是求导的基本依据，一定要记清形式，学会使用公式求导。
2. 应用导数运算法则求函数的导数的技巧：
(1) 求导之前，对三角恒等式先进行化简，然后再求导，这样既减少了计算量，又可少出错；
(2) 利用代数恒等变形可以避开对商的形式求导；
(3) 在函数中有两个以上的因式相乘时，要注意多次使用积的求导法则，能展开的先展开成多项式，再求导。
3. 应用导数运算法则求函数的导数的原则： 结合函数解析式的特点先进行恒等变形，把一个函数化成几个基本初等函数的加、减、乘、除的形式，再用运算法则求导。
核心例题1导数的运算
()设函数f(x)=exx+a。若f′(1)=e4，则a=。
【答案】1
【解析】由函数的解析式可得f′(x)=ex(x+a)-ex(x+a)2=ex(x+a-1)(x+a)2，
则f′(1)=e1×(1+a-1)(1+a)2=ae(a+1)2，据此可得ae(a+1)2=e4，
整理可得a2-2a+1=0，解得a=1。
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1. 基本初等函数的导数公式
函数导数
f(x)=C(C为常数)f′(x)=0
f(x)=xα(α∈Q,α≠0)f′(x)=αxα-1
f(x)=sin xf′(x)=cosx
f(x)=cos xf′(x)=-sinx
f(x)=ax(a>0且a≠1)f′(x)=axlna(a>0且a≠1)
f(x)=exf′(x)=ex
f(x)=logax(a>0且a≠1)f′(x)=1xlna(a>0且a≠1)
f(x)=lnxf′(x)=1x
2. 导数的运算法则
(1) ［f(x)±g(x)］′=f′(x)±g′(x)。
(2) ［f(x)·g(x)］′=f′(x)g(x)+f(x)g′(x)。
(3) f(x)g(x)′=f′(x)g(x)-f(x)g′(x)g2(x)(g(x)≠0)。
题型训练·练其形
1.1()设y=1-x2sinx，则y′=()。
A. -2xsinx-(1-x2)cosxsin2x
B. -2xsinx+(1-x2)cosxsin2x
C. -2xsinx+(1-x2)sinx
D. -2xsinx-(1-x2)sinx
1.2()若关于函数f(x)的导数f′(x)满足f(x)=2f′(1)lnx+1x，则f′12=()。
A. e
B. 2
C. 1
D. 0
1.3()设函数f(x)的导函数是f′(x)，若f(x)=f′π2cosx-sinx，则f′π3=()。
A. -12
B. 32
C. 12
D. -32
题型训练·悟其神
1.4()在等比数列{an}中，a1=1，a8=4，函数f(x)=x(x-a1)(x-a2)…(x-a8)，若y=f(x)的导函数为y=f′(x)，则f′(0)=()。
A. 1
B. 28
C. 212
D. 215
1.5(，多选题)已知函数f(x)=x2+f(0)x-f′(0)cosx+2，其导函数为f′(x)，则()。
A. f(0)=-1
B. f′(0)=1
C. f(0)=1
D. f′(0)=-1
1.6()已知f1(x)=sinx+cosx，fn+1(x)是fn(x)的导函数，即f2(x)=f′1(x)，
f3(x)=f′2(x)，…，fn+1(x)=f′n(x)，n∈N*，则f2019(x)=()。
A. sinx+cosx
B. sinx-cosx
C. -sinx+cosx
D. -sinx-cosx
核心例题2复合函数求导
(，多选题)以下函数求导正确的是()。
A. 若f(x)=x2-1x2+1，则f′(x)=4x(x2+1)2
B. 若f(x)=e2x，则f′(x)=e2x
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C. 若f(x)=2x-1，则f′(x)=12x-1
D. 若f(x)=cos2x-π3，则f′(x)=-sin2x-π3
【答案】AC
【解析】
A： f′(x)=2x(x2+1)-(x2-1)2x(x2+1)2=4x(x2+1)2，故A正确。
B： f′(x)=e2x·2=2e2x，故B错误。
C： f′(x)=(2x-1)12′=12(2x-1)-12×2=(2x-1)-12=12x-1，故C正确。
D： f′(x)=-sin2x-π3×2=-2sin2x-π3，故D错误。
故选AC。
1. 复合函数定义： 一般地，对于两个函数y=f(x)和u=g(x)，如果通过变量u，y可以表示成x的函数，就称这个函数为y=f(x)和u=g(x)的复合函数，记作y=f［g(x)］。
2. 复合函数求导法则： 复合函数y=f［g(x)］的导数和函数y=f(x)，u=g(x)的导数的关系为y′x=y′u·u′x，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积。
题型训练·练其形
2.1(，多选题)下列选项中正确的是()。
A. 若y=cos1x，则y′=-1xsin1x
B. 若y=sinx2，则y′=2xcosx2
C. 若y=cos5x，则y′=-5sin5x
D. 若y=12xsin2x，则y′=xsin2x
2.2()函数y=11-2x2的导数是。
2.3()函数y=x1+x2的导数是。
题型训练·悟其神
2.4()函数y=sin22x+π3的导数是。
2.5()函数y=xx的导数是。
2.6()有下列命题：
① 若f(x)存在导函数，则f′(2x)=［f(2x)］′；
② 若函数h(x)=cos4x-sin4x，则h′π12=1；
人生最痛苦的不是失败，而是我本可以。(推荐人： @策马奔腾(河北))
③ 若函数g(x)=(x-1)(x-2)…(x-2009)(x-2010)，则g′(2010)=2009!，
其中真命题的序号是。
核心例题3奇偶函数求导
()观察(x2)=2x,(x4)=4x3,(cosx)′=-sinx由归纳推理可得： 若定义在R上的函数f(x)满足f(-x)=f(x),记g(x)为f(x)的导函数,则g(-x)=()。
A. f(x)
B. -f(x)
C. g(x)
D. -g(x)
【答案】D
【解析】因为f(x)是偶函数，所以g(x)是奇函数，有g(-x)=-g(x)。故选D。
1. 偶函数的导数是奇函数： 若f(-x)=f(x)，则f′(-x)=-f′(x)。
2. 奇函数的导数是偶函数： 若f(-x)=-f(x)，则f′(-x)=f′(x)。
题型训练·练其形
3.1()函数f(x)=x4+ax2+1，若f′(-2)=5，则f′(2)=。
3.2()若f(x)=ax4+bx2+c，满足f′(1)=2，则f′(-1)=()。
A. -4
B. -2
C. 2
D. 4
3.3()函数f(x)=x3+sinωx，若f′(3)=1，则f′(-3)=。
题型训练·悟其神
3.4()已知函数f(x)=Aloga(x+x2+1)(A>0,a>0,a≠1)，若f′(5)=m，则f′(-5)=。
3.5()已知函数f(x)的导函数f′(x)=14x2+cosx+k(k∈R)，若f(0)=0且f-π4=2，则fπ4=。
3.6()已知函数f(x)的导函数f′(x)=aln1-x1+x，若f12=2，则f-12=。
核心例题4切线斜率与倾斜角
()已知点P在曲线y=4ex+1上，α为曲线在点P处的切线的倾斜角，则α的取值范围是()。
A. 0,π4
B. π4,π2
C. π2,3π4
D. 3π4,π
【答案】D
满天繁星，有我想成为的那道光。(推荐人： @朱永凯(黑龙江))
【解析】设曲线在点P处的切线斜率为k，则k=y′=-4ex(1+ex)2=-4ex+1ex+2，因为ex>0，所以由均值不等式得k≥-42ex·1ex+2=-1，又k<0，则-1≤k<0，即-1≤tanα<0，所以3π4≤α<π。故选D。
1. y=f(x)在x=x0处的导数f′(x)就是y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线的斜率，即k=f′(x0)。
2. 函数y=f(x)在点(x0,f(x0))处切线的斜率k=f′(x0)，若切线倾斜角为α，则切线斜率k=tanαα≠π2。
题型训练·练其形
4.1()函数f(x)的图像如图所示，下列数值排序正确的是()。
A. 0
