无穷区间上常微分方程边值问题

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第1章 绪论
　　在科学技术和实际生产问题中提出的常微分方程都有定解条件， 一类是由初始条件作约束的， 称为初值问题， 也叫做柯西问题; 另一类是由边界条件作约束的，称为边值问题. 本书主要介绍半无穷区间上常微分方程边值问题， 简称无穷边值问题， 或进一步简称为边值问题.
　　1.1 边值问题的起源
　　常微分方程边值问题是微分方程研究中的一类基本问题， 其相关理论可追溯到微积分学建立的最初阶段. 1690 年， 瑞士数学家雅各布 伯努利 (Jacob Bernoulli) 提出了著名的悬链线问题 [1]: 一根柔软但不能伸长的绳子自由悬挂于两定点(a，A)， (b，B)，求绳子在重力作用下形成的曲线. 次年， 莱布尼茨 (Gottfried Wilhelm Leibniz) 等数学家给出了解答， 建立了常微分方程边值问题模型
　　(1.1)
　　其中， ρ 是绳子的线密度， g 是重力加速度， h 是绳子最低点受水平向左的拉力.
　　(1.1) 就是一个二阶非线性常微分方程两点边值问题.
　　另一个著名的例子是约翰伯努利 (John Bernoulli) 在 1696 年提出的最速降线问题 [2]: 求一给定点到不是在它垂直下方的另一个点的一条曲线， 使得一质点在仅受重力作用的条件下， 沿这条曲线下滑所用的时间最短. 随后， 牛顿 (Isaac Newton)、莱布尼茨和伯努利兄弟等数学家都发现了摆线是最速降线. 不妨建立直角坐标系， 使得两定点坐标分别为 (0， 0) 和 (x1， y1)， 其中 x1 > 0， y1 < 0， 曲线方程为 y = y(x)， 质点初始速度为 0， 那么这个问题归结为求泛函
　　的最小值， 其中曲线 y = y(x) 过两定点. 利用变分原理， 可得到
　　(1.2)
　　(1.2) 也是一个二阶非线性常微分方程两点边值问题.
　　19 世纪初， 傅里叶 (Baron-Jean-Baptiste-Joseph Fourier) 在用分离变量法求解热传导方程时， 导出了多类常微分方程两点边值问题， 被称为特征值问题. 1833年到 1841 年间， 斯图姆 (Charles Sturm) 和刘维尔 (Joseph Liouville) 讨论了二阶线性常微分方程两点边值问题 [3，4]， 后人称之为 Sturm-Liouville 特征值问题， 其齐次边界条件为
　　(1.3)
　　其中Sturm-Liouville 边界条件 (1.3) 包含Dirichlet 边界条件 (α1 = α2 = 0)， Neumann 边界条件 (β1 = β2 = 0) 以及混合边界条件 (α1 = β2 = 0 或 α2 = β1 = 0) 等.
　　20 世纪以来， 希尔伯特 (David Hilbert) 等数学家的一系列工作奠定了常微分方程边值问题的理论基础. 随着泛函分析理论方法的发展， 常微分方程边值问题的研究十分迅速. 同时， 应用学科领域不断提出新的微分方程边值问题， 形成了许多新的研究方向 [5-9]， 无穷边值问题就是其中的一个方向.
　　1.2 无穷边值问题举例
　　相比于有限区间上的边值问题， 无穷区间上常微分方程边值问题是一个比较新的课题， 也是一类比较复杂的问题， 它最早出现在求解偏微分方程中. 下面列举一些例子.
　　为方便起见， 将沿用记号.
　　例 1.1 不可压缩黏性流体在两个水平平板间作定常流动， 假设平板间距很小， 那么定常层流可用二维连续性方程和 Navier-Stokes 方程 (简称 N-S 方程) 描述. 1904 年， 普朗特 (Ludwig Prandtl)[10] 对 N-S 方程进行了合理且大幅度的简化， 得到偏微分方程
　　(1.4)
　　其中， u， v 为速度场， μ 表示黏度， ρ 为密度. 平板边界层流动的边界条件为
　　1908 年， 普朗特的学生布拉修斯 (H. Blasius)[11] 做相似变换， 令， 从而 (1.4) 就转换为半无穷区间上三阶常微分方程边值问题
　　(1.5)
　　例 1.2 1927 年， 托马斯 (L. H. Thomas)[12] 和费米 (E. Fermi)[13] 为确定原子中的电动势， 分别独立推导出了二阶常微分方程边值问题
　　(1.6)
　　如果 b = +1， 那么这就是半无穷区间上二阶常微分方程边值问题. 又因为
　　所以这类问题被称为奇异边值问题.
　　例 1.3 1935 年， 水文地质学家泰斯（Charles V. Theis）在数学家卢宾 (C.I. Lubin) 的帮助下建立了水利学中著名的 Theis 公式 [14]. 假设承压含水层均质且各向同性、等厚， 侧向无限延伸， 产状水平， 水力坡度为 0， 水流服从达西 (H. P.G. Darcy) 定律， 那么水井抽水后将形成以井轴为对称轴的下降漏斗. 进一步假设弹性释水瞬间完成， 井径无限小， 那么可建立如下偏微分方程定解问题 [15]:
　　(1.7)
　　其中， s = s(r， t) 为 t 时刻井轴 r 处降深函数， S 为含水层的贮水系数， T 为导水系数， Q 表示抽水井的流量. 记表示导压系数， 令， 则求定解问题 (1.7) 转换为无穷边值问题
　　(1.8)
　　进一步由降阶法求解 (1.8)， 可得到 Theis 公式为
　　例 1.4 1957 年， 基德尔 (R. E. Kidder)[16] 研究气体在多孔介质中流动时，也建立了半无穷区间上常微分方程边值问题. 设初始时刻 t = 0 时， 气体压力为P0， 在流出面处， 压力突然减小到 P1(P1 < P0) 且保持此低压， 这样气体就会产生非稳态流动， 用偏微分方程刻画为， 其中， A 是一个常数， 由介质的性质决定. 考虑一维介质模型， 那么定解问题为
　　(1.9)
　　引入新变量， 令
　　其中. 那么问题 (1.9) 就转换为无穷边值问题
　　(1.10)
　　这里说明一点， 边值问题 (1.10) 也是奇异边值问题， 不同于 (1.6) 的奇性由自变量引起， 这里的奇性是由因变量引起的.
　　例 1.5 1961 年， 菲利普 (J. R. Philip)[17] 利用模型
　　描述某种确定的扩散过程， 其中， Θ 表示浓度， t 表示时间， A 是依赖时间、位置和浓度的函数， B 表示浓度梯度的向量函数. 1971 年， 阿特金森 (F. V. Atkinson)和佩莱蒂耶 (L. A. Peletier)[18] 寻求问题形如的解， 新无量纲函数 f 满足无穷边界条件
　　(1.11)
　　1979 年， 阿特金森 (C. Atkinson) 和布耶 (J. E. Bouillet)[19] 研究了广义 N 扩散方程定解问题
　　(1.12)
　　通过适当的相似变换， 作者将 (1.12) 转换为无穷区间上常微分方程两点边值问题
　　(1.13)
　　例 1.6 那宗延 (Tsung-Yen Na) 在专著 [20] 中列举了多个无穷区间上常微分方程边值问题的例子. 例如在研究非牛顿流体在旋转圆盘上的质量传递时， 扩散物浓度满足的控制方程为
　　(1.14)
　　其中 n 和 C∞ 是常数. 这是一个半无穷区间上二阶变系数常微分方程两点边值问题. 又如， 在研究平行圆盘间的热传导问题时， 其径向解满足
　　(1.15)
　　其中 α 是常数. 这也是一个半无穷区间上二阶变系数微分方程两点边值问题. 再如研究固体相变时， 如果温度依赖于传导率， 那么温度分布 θ 满足
　　(1.16)
　　其中 β 是常数. 这还是一个半无穷区间上二阶变系数微分方程两点边值问题.
　　例 1.7 迪基 (R. W. Dickey)[21，22] 研究膜盖形变时也建立了无穷边值问题.考虑一个膜盖受垂直方向上均匀压力 P 的作用， 边界给定径向位移或径向应力，假设变形后的膜盖浅小， 所受压力和应变都很小， 变形前膜径向对称， 在柱面坐标系下满足 z = C(1 r2)， 其中未变形半径 r = 1， C > 0 是膜中心的高度. 迪基给出了径向对称变形状态模型， 其无量纲化的径向应力 Sr 满足常微分方程边值问题
　　(1.17)
　　这里， λ 和 β 是依赖于压力、膜的厚度和杨氏模量的正常数， b0 > 0， b1 . 0. 对于径向位移问题， b0 = 1， b1 = 0， A > 0; 对于径向应力问题， b0 = 1 ν， b1 = 1， A是任意实数， ν 2 (0， 0.5) 是泊松比. 做变换 t = r.2， u(t) = Sr(r)， 那么 (1.17) 就转换为有界，
　　(1.18)
　　其中 a0 = b0， a1 = 2b1. 这是半无穷区间上二阶非线性常微分方程 Sturm-Liouville型边值问题.
　　例 1.8 贝雷斯基 (H. Berestycki) 等 [23] 在研究椭圆型微分方程组径向对称解时， 建立了无穷边值问题
　　(1.19)
　　这里 r = jxj 是径向坐标. 微分方程在 r = 0 有奇性， 因为
　　例 1.9 在研究渗流力学问题中， 也有无穷边值问题的例子. 例如考虑厚度为h、宽为 w 的均质无限延伸地层， 有一流量为 q 的点汇， 生产出黏度为 μ、体积系数为 B 的流体 (如石油， 天然气等)， 初始地层压力为 p0. 考虑一维线性达西渗流，那么， 井壁压力 p = p(x， t) 满足偏微分方程初边值问题