中学数学教学设计案例精选(普通高等教育十二五规划教材)/数学教学技能系列丛书

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第一篇 数学教学设计基本案例
　　案例1 有理数乘法法则的教学设计
　　教案写真
　　由于引进了负数，七年级对数系的认识范围扩大到了有理数.有理数乘法法则的教 学难点，就是运算的因式含有负数，如何自然地由原来正数的乘法过渡到带有“负数” 的乘法，如何体现这些运算法则的合理性和必要性，是困扰很多教师的问题。特别地， 对“负负得正”的理解，是关键所在.下面提供一个教学设计，并作简要的评析，来探 讨这一问题.
　　一、教学内容
　　有理数的乘法法则(华东师大版《数学》七年级上册).
　　二、教学目标
　　1.知识与技能
　　掌握有理数的乘法法则.
　　2.过程与方法
　　经历有理数乘法法则的探索概括过程，学习观察、归纳、类比、概括的解决问题方法.
　　3.情感与态度
　　体验有理数乘法法则源于实际的需要，初步理解法则的实际意义.
　　三、教学重点与难点
　　1.教学重点
　　有理数乘法法则的掌握.
　　2.教学难点
　　规则“两数相乘，若把一个因数换成它的相反数，则所得的积是原来的积的相反数” 的概括，以及“负负得正”的实际意义的理解.
　　四、教学过程
　　(一）情境导入
　　一只小虫沿一条东西向的路线，以每分钟3米的速度向东爬行2分钟，那么它现在 位于原来位置的哪个方向，相距多少米？若小虫向西以每分钟3米的速度爬行2分钟， 那么结果有何变化？
　　(二）探索规则
　　两数相乘，若把一个因数换成它的相反数，则所得的积是原来的积的相反数.
　　如果我们规定向东为正，向西为负，那么：
　　(1)对于第一个问题，我们可以列出式子：3+ 3 = 6.根据乘法是加法的简便运算， 同样可以得到：3x2 = 6，即小虫位于原来位置的东方6米处.
　　设小虫原来在原点位置，用数轴表示这个过程，如图1.1所示.
　　图1.1
　　(2)对于第二个问题，根据有理数相加的法则，可以列出算式为
　　(-3) + (3)=-6.
　　和⑴比较，同样可以得到另一算式：（-3)x2，那么怎样求它的结果？
　　【分小组讨论】求出算式(3)x2的积.
　　3x2是2个3相加，结果为6.通过类比，很容易得到，（-3)x2的意义是2个-3相 加，其结果为-6.这是用两种不同的运算来求解的过程.我们就此求得小虫位于原来位 置的西方6米处.
　　设小虫原来在原点位置，用数轴表示这个过程，如图1.2所示.
　　图1.2
　　【试一试】求下列算式的积：
　　(1)3x3， 3x4，5x7;
　　(2)(―3)x3， (―3)x4， (―5)x7;
　　(3)3x(-3)， 3x(一4)， 5x(-7).
　　案例1有理数乘法法则的教学设计
　　分析对于(1)和(2)，通过以上的学习过程很容易得出结果.而对于(3)这类算式， 可以通过乘法交换律的推广转化为(2)进行处理.
　　我们知道3x2与2x3的结果相等，3x4与4x3的结果也相等.根据是正数相乘的乘法 交换律.其实，这条规律对于含有负数的乘法也成立.也就是说，3x(-2) = (-2)x3=-6， 3x(-4)=(-4)x3=-12.
　　这样，就得到了上述三类问题的答案：
　　(1)3x3 = 9， 3x4=12， 5x7=35;
　　(2)(-3)x3=-9， (-3)x4=-12，(-5)x7=-35;
　　(3)3x(-3)=-9， 3x(-4)=-12， 5x(-7)= -35.
　　【比较】请同学对比观察上面三组算式，有什么发现？
　　提示分别从因数和结果的异同的角度去思考.
　　【归纳】请和小组成员交流，写出发现的结论：
　　两数相乘，若把一个因数换成它的相反数，则所得的积是原来的积的相反数.
　　(三）有理数乘法法则的概括与应用 【想一想】求下列算式的积：
　　(-3)x(-2)， (-3)x(-4)，
　　(-3)x(-5)，(-5)x(-7).
　　提示运用发现的规律，对比前面的(2)、（3)组算式来思考.
　　分析这里引导学生进行纵向思考，（-3)x(-2)可以看成是(-3)x2或3x(-2)改变一 个因式的符号得到，进而可看成是3x2先后两次改变一个因式的符号得到，根据归纳的 运算律，就可得出结果.
　　再试一试计算：3x0， (-3)x0， 0x(-5)
　　【概括】综合以上各种情况，我们得出有理数乘法法则：
　　两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；任何数与零相乘，都得零.
　　【巩固提高】
　　例计算：
　　注意突出的要点：按乘法法则先确定积的符号，再确定积的绝对值；
　　分数与分数相乘，带分数应先化为假分数，小数应化为分数；
　　在连乘运算中“有零快写零，无零先定号”；
　　一个数与(-1)相乘，积与这个数互为相反数，一个数与1相乘，积与这个数相同.
　　练习判断题(对的在括号内写T，错的写F):
　　(1)同号两数相乘，符号不变.( )
　　(2)异号两数相乘，取绝对值较大的因数的符号.( )
　　(3)两数相乘，如果积为正数，那么这两个因数都为正数( )
　　(4)两数相乘，如果积为负数，那么这两个因数异号( )
　　(5)两数相乘，如果积为0，那么这两个数全为0( )
　　(6)两个数相乘，积比每一个因数都大( )
　　(7)若a&>0，且a+ &<0，Ja<0， & <0( )
　　(8)若a&<0，贝!la>0，&<0.( )
　　(9)若a&= 0，则a， 6中至少有一个为0( )
　　(四）“负负得正”的现实意义
　　对于两个负数相乘的意义的理解，可以通过实际背景，如路程、温度、水位等帮助 理解，还可以运用数轴进行操作帮助理解.例如，水池的水位每小时下降2米，已知现 在的水位是0，问：
　　(1)2小时后，3小时后的水位分别是多少？
　　(2)2小时前，3小时前的水位分别是多少？
　　分析我们把水位上升记为正，下降记为负，那么下降2米的水位就为-2米，所 以对问题⑴，2小时后的水位容易计算，（-2)x2=-4(米)，同样3小时后的水位为 (-2)x3=-6(米).在掌握了负数的基础上，这是容易理解的.对于(2)，我们记现在以后 为正，现在以前为负，那么自然地，2小时前，3小时前的水位就分别为(-2)x (一2)=4(米)，(-2) x(-3) = 6(米)-现在的水位，也就是0时刻的水位可以计算为(-2)x0 =0 (米).通过类似这样的客观模型，可以帮助说明含负数相乘法则的现实意义. 　　从上面还可以得到这样的一个事实，要求几小时后的水位，就用“几”乘以2，而 每增加1小时，水位就随着减少2米，那么，每减少1小时，水位就随着增加了 2米.所 以，符号的实质可以看成是相反的量或相反的操作.两个负数相乘可以通过这种方 法来理解.例如(-2)x(-3)就是把(-2)相反的操作3次，（-2)相反就是(+2)，操作3次就 是把(+2)连加3次，得(+6)-从而也可以得出乘法的符号法则.