互补约束优化理论与方法

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第1章互补约束优化的应用背景
　　MPEC在工程设计、交通网络、通信网络、最优控制、经济等领域有广泛的应用，本章将介绍MPEC在工程中的两个应用例子和在经济中的一个应用例子，以加强读者对MPEC应用背景的认识.
1.1MPEC在工程中的应用
　　MPEC在桁架设计、两个或多个物体之间的接触问题、交通网络、通信网络等工程方面有广泛的应用，详细介绍可见文献[1–7].下面分别给出MPEC在结构设计方面的应用例子和通信网络中的拥塞控制问题的应用例子.
例1.1.1桁架设计问题
　　给定一个基础结构和一个外荷载，目标是该力学结构的最优设计，目标函数是结构的总重量或总体积，或者是结构的柔软度.考虑一个基础结构，该结构由一个桁架的位势棒的节点确定.给定棒的总体积V和外荷载向量f，我们感兴趣的是桁架设计，该设计由棒的体积vi确定(因此vi是设计变量)，最小化柔软度fTx，其中x为节点位移的向量.
　　桁架结构的势能量由下面式子给出(见文献[6]):
A(v)x f+CTλ=0，
Cx d.0，
λT(Cx d)=0，λ.0，
　　其中Lagrangian乘子λ可理解为基于坚硬障碍物的接触力.由于λ非负，如果桁架接触到该障碍物，我们就会得到一个互补性条件.由于我们感兴趣的是桁架设计，该桁架带有最小柔软度且受限于桁架棒的一个给定的总体积，于是桁架设计问题就对应于如下带线性互补约束的MPEC问题:
　　例1.1.2通信网络中的拥塞控制
　　众所周知，传输控制协议(TCP)在通信网络(如互联网)中起着重要的作用，下面先介绍TCP中的均衡模型，然后介绍拥塞控制的设计.
(1)TCP的速度流均衡
　　假设有一个网络，由N个节点、弧集A和OD对集O所组成，路径流是固有的.TCP均衡的正向模型所谓正向模型，是指一个均衡系统，或一个优化问题的稳定条件.该模型的数据隐式地描述了一个“正向输出”，即一个均衡解.TCP在每个节点中被用来决定数据包沿着出发的路径发送的速度.它回答了拥塞所造成的网络不可靠性水平，该水平可通过数据包的丢失来证实.假设R表示网络中所有路线组成的集合.对每条路线r，TCP保持一个变量cwndr<0，该变量表示拥塞窗口的大小.对每个在路线r上发送的数据包，cwndr增加acwndαr