小学数学这样学(12年级篇)

作者简介

吴金闪 不列颠哥伦比亚大学物理学硕士、博士，北京师范大学物理学学士、硕士。北京师范大学教授，研究领域涉及凝聚态理论(统计物理基本问题、量子输运)、量子力学基本问题、量子博弈、科学计量学、博弈理论与实验、经济学投入产出分析以及一般概念网络的学习。喜爱音乐和写作。呼吁并实践“烧掉”学科之间的边界的教学和研究。著有《系统科学导引》《教的更少，学得更多》等。

内容简介

理解型学习和本系列图书的设计 为了理解世界和自己而学习，为了发现世界和自己而学习。 Learning for understanding the world and ourselves, learning for discovering the world and ourselves. —— 吴金闪 在这一章，我们希望交代一下这套书的设计思想和设计过程， 供有心的读者参考，也帮助老师和学生更好地理解和运用本系列图书。注意，这一章的预期读者是教师、家长、教育管理者、课程标准研制者。当然，学生在学习这套书的一部分内容之后，再回来看，也会很有收获的。你很快就会发现，无论是在内容选择、内容展开，还是内容背后的思想和精神上，这套书与常见的数学书完全不一样。这套书是一个教和学的革命。这个理念上的革命或者说原则包含以下几个方面： 第一，我们在回答教什么、学什么的时候，遵循没什么东西是非得要学习的，没什么东西是非得在哪个阶段学习的，没什么东西是在哪个阶段就不能学习的。我们只问，对于理解学科大图景（一个学科的典型研究对象、典型研究问题、典型思维方式、典型分析方法、和世界以及其他学科的关系）来说，哪些东西是最值得学习的，在这些最值得学习的东西里面，哪些东西是可以帮学生做好铺垫、搭好脚手架，学得尽可能好、尽可能早的。本系列图书在内容选择上还体现了整体和个体的辩证关系：选择促进理解学科大图景的具体知识，包含概念、概念联系、研究案例，从而实现从具体知识看到学科大图景，从学科大图景来看具体知识。这套书在学习顺序上的安排也是一个科学研究项目的成果——概念地图上的学习顺序算法，尽管这个算法的效果还有待将来的实验检验。其主要思想就是应该先学拓展能力强的成为比较多的其他概念的基础概念，应该先学在研究或者运用中使用频率高的概念。这个从个体概念和研究案例到这些概念和案例的学习顺序的安排，也体现了整体和个体的相互关系。 第二，我们的内容选择除了体现学科大图景，还把学习的方法、学习的意愿当作目标的一部分。这套书体现的学习方法就是人类知识高速公路上，以高层知识生成器为目标的理解型学习（以下简称“理解型学习”）。我们尽量帮助学习者从一个知识的创造的过程中学习知识以及体会知识背后的学科大图景，也就是进行创造体验式学习。这套书所要提高的学习意愿包含成长型思维（也就是通过挑战来学习，通过提出和解决问题来学习），以及对数学这个学科的情感（包含学科认同感、责任感以及兴趣）。后者需要通过理解学科大图景的过程和结果来提高。 第三，本系列图书真正的教和学的目的是培养能够提出问题和解决问题的人，能够创造知识和创造性地运用知识的人，或者至少能够欣赏知识的创造的人。这套书设计——回答教什么、怎么教、为什么——的原则就是“追求‘教（学）的更少，学得更多’的理解型学习”。在具体设计流程上，我们做了： ◎ 把数学学科的大图景——典型研究对象、典型研究问题、典型思维方式、典型分析方法、和世界以及其他学科的关系——明确地写下来。 ◎ 在明确的学科大图景的指导下，构建学科大概念地图——主要回答有哪些概念体现了学科大图景，这些概念之间的关系是什么。 ◎ 需要把学科概念地图分解和细化。例如，把某几个联系紧密但是和其他概念的联系不是那么紧密的概念拿出来，制作这几个概念的更加细致的概念地图。此时，还往往需要回到一个概念或者思维方式、分析方法被提出来的场景，或者典型应用的场景，甚至相应的研究论文选择合适的体现这些概念或者思维方式、分析方法，从而帮助学习者把它们“创造”或者说模仿着被启发着创造出来。 ◎ 在完成了整体设计的阶段之后，就要完成把设计转化成书稿的任务了。在完成书稿的阶段，首先，处理每一个通过上面的设计过程选择出来的核心内容及其合适的例子的呈现思路、阐述角度和先后顺序。其次，在角度和思路、顺序确定以后，需要修改文字、补充习题，使得书的呈现形式更加适合预期读者的阅读。同时，我们坚持，在能够体现出学科大图景的条件下，内容越少越好。下面，我们用具体例子展示上面这些设计和写作过程是如何完成的。 学科大图景的例子 学科大图景指的是一个学科的典型研究对象、典型研究问题、典型思维方式、典型分析方法，还有这个学科和世界以及其他学科的关系。 为了设计好数学的学习材料，我们要把数学的学科大图景是什么明确提炼出来。可以不完整，仅仅考虑那些能够通过小学数学知识来体现的学科大图景。当然，如果有一些非常普适的重要的大图景，就算现在的小学数学知识体系里反映不了，也要通过增加和替换合适的知识，做好这个大图景的体现。为了达到这个目的，我们去整理一些目前的主流教材的内容。图1就是按照北师大版教材整理出来的反映其中的知识和知识之间联系的概念地图。我们发现，知识被分成了四种类别：数、形、概率和统计、生活。在每一年级，这些教材设置了难易度合适的材料，来阐述这几个方面的具体知识。年级之间，同类型的知识确实存在逻辑上的先后关系，照顾到了学习顺序的合理性。 但是，这些不同类型的知识之间基本上没有联系。例如，讲图形的面积的时候，没有与数数和乘法联系起来；讲生活和应用题的时候，基本上就是从计算到应用（而且这个应用不是面对接近现实问题的真的应用，也就是没有数学建模的过程），而没有注意从生活到数学概念和数学计算。当然，后一点和这些教材的最大的问题——没有关注数学的学科大图景，没有关注数学是什么——是怎么联系在一起的。只有注意到数学是思维的语言，是描述世界的语言，尤其是在人类用思维来构建描述世界的模型和解决这个世界问题的时候的语言，才会主要关注从生活到数学的抽象过程和从数学概念到生活应用的过程，而不会打破数学的整体性，去主要关注具体的一个个、一种种看起来似乎独立的计算。我们还发现这些教材对同类型的知识内部的联系的关注也不强，不关注概念，主要关注计算。例如，乘法在概念上实际上是同一个数的多次相加的简便运算。加法主要来自“合起来数一数”。本来就可以依靠这一条从数的认识和数的加法到乘法运算的逻辑关系把乘法讲好用好，甚至体现好从生活来抽象一般概念的环节，但是，这些教材没有做好。 小结一下，知识之间联系的缺乏、对数学是什么的关注的缺乏、对数学和科学以及数学和世界还有生活的关系的关注的缺乏、对一般概念的提炼的缺乏、对真正比较接近生活的粗糙的问题的关注的缺乏，是目前主流教材的主要问题。当然，在算术计算上，这些教材是足够重视的。既然没有关注联系，那就更不用说用最少的定义和公理来建立整个概念体系了。经过整理和总结、批判，我们就知道怎么办了。我们按照自己对数学学科大图景的认识，制作了用来指导本系列图书教材的整体设计的数学学科大概念地图，见图 2。其中方框框起来的三块分别是“数的结构”“几何的结构”“概率与统计”。这三块和传统教材类似。但是，在本系列图书中，这三个部分仅仅是整个图中的一小部分，还有重要得多的数学五步、数学四问、把数学当作思维的语言、把数学当作描述世界的结构、数学论证，等等。我们还发现，和图 1 中几乎每个概念基本上是独立的相比，这里的概念之间显然联系更加紧密，并且都是必要的有助于理解这些知识的联系。为了进一步展示概念之间的联系，我们还画了一张更加详细的关于小学数学概念的概念地图，见图 3。不过，在这里，我们不准备展开说明和讨论这张图，而是等到全书结束的时候我们再来详细讨论这张图。目前，我们只要能够看出来，图 2 中的概念是紧密联系的，而图1中几乎每个概念都是独立的就可以。什么是数学的学科大图景呢？我承认，数学确实是研究数和形的学科。不过，数和形实际上可以是看起来真的像数和形的东西，也可以是粗看起来完全就不像数和形的东西。例如，光的偏振这样的，基本上不能直接表现为某个可测量的数的东西的研究，用的也是数和形的语言。例如，语言的研究已经越来越依赖于数。就是说，一个东西是不是数和形是要看这个对象的性质，这个对象和其他对象之间的关系，以及这个对象内部的元素和这些元素之间的关系。所以，数学实际上是研究对象和对象之间通过关系形成的结构的学科。数学和世界有什么样的关系呢？数学为我们做深入的思考提供语言、结构，同时也提供描述世界的语言和结构。因此，数学作为语言的作用是数学学习者一定要好好体会的。我们现在有了数学学科大图景中的好几个方面了。数学研究对象通过关系形成的结构，这些结构为我们的思考提供了语言，为构建世界的模型提供了语言。那数学又是如何来研究这些结构的呢？ 这是典型思维方式和典型分析方法方面的问题。从最大的角度来说，数学是受现实世界的启发但是不受现实世界的制约的，仅仅受研究者的想象力和逻辑推理能力驱动的学科。因此，学习者要很好地体会从现实中抽象出来一般概念的过程和方法，也要很好地锻炼想象力和逻辑推理能力。这个想象力不是一般认为的空间想象能力，而是对事物之间的关系的想象力，抽象、畅想、检验、整理的能力。数学上的大贡献应该是那些提出新的数学结构、新的数学问题、新的定理，而不是计算，甚至不是证明，尽管证明（新的定理）是数学往前发展的主要表现形式。我把根本性的思维方式叫作批判性思维和系联性思考，主要强调对联系的关注和对严密的论证推理的关注。 除了根本性的思维方式，还有没有其他一些更小一点的针对某一类具体问题的思维方式或者分析方法呢？例如，数学证明和计算的时候，经常使用“夹逼”——从更大和更小两个方面来估计和逼近一个目标。例如，极限的思想是现代数学的基础。尽管严格的计算极限对小学生而言是很难实现的，但是，让小学生通过某些具体例子体会一下极限的思想，还是可以完成的任务。例如，割补、变形和不变量被用于解决大量的数学问题。 于是，除了找好例子、设计好内容来体现数学作为思考和描述世界的语言、反映根本性的批判性思维和系联性思考，我们还应该整理出这些最值得小学生了解的数学思维方式，并且通过具体问题和对具体问题的分析帮助学生体会这些思维方式。前者有例如图 2中数学五步、数学WHWM 四问这些的说明；后者有用夹逼和极限的方法来估计 π 的值这样的例子，还有用割补方法或者量纲方法证明勾股定理的例子。下面我们分别稍微介绍一下这些例子。本系列图书正文中有更加详细的阐述。数学学科大图景中的典型思维方式、典型分析方法，也被叫作数学方法论或者数学思想，此处推荐徐利治的《数学方法论十二讲》和基思·德夫林（Keith Devlin）的《数学思维导论——学会像数学家一样思考》。从这个角度来说，本系列图书其实可以被看作在数学学习的一开始的阶段，就通过例子来帮助学习者体会到什么是数学——数学观、数学的典型思维方式和分析方法的一个尝试。不要认为只有到了高等数学或者数学研究中才能体会到这些，其实，在小学阶段，学习者就能够体会到这些。张奠宙等在其《小学数学教材中的大道理》中针对小学教师和学生了解、学习数学学科大图景做了类似的尝试。史宁中在其《数学思想概论》丛书中主要针对大学生以及大学生以上水平的读者做了数学学科大图景的介绍，其实其中一部分内容对中小学教师和学生也很有启发。蒂莫西·高尔斯的《普林斯顿数学指南》则为数学研究生及以上学历水平的读者做了数学学科大图景的梳理。从这个意义上说，本系列图书相当于是这些前人的思想、思考和书籍在小学数学阶段具体知识上的落实。 ★ 花更少的力气，拿更高的分数——这才是真正意义上的“减负”！ ★ 北京师范大学教授花五个寒暑假、历时三年，为当代小学生倾心打造的模范级数学教材。 ★ 摒弃死记硬背和题海战术！触手可及的例子，帮助学生深度理解数学概念，培养理解型思维方式，掌握高效学习方法，为未来所有学科的学习铺垫良好基础！