高等流体力学（普通高等教育十三五规划教材）

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第1章 流体力学基础
　　1.1 矢量分析基础
　　在物理学中有一类物理量，仅需知道其大小就能够完全被确定，如质量、长度、温度和能量等，这类物理量通常被称为标量。标量是代数量，对它可以进行任何的代数运算，如加、减、乘和除等。
　　除此之外，物理学中还有另一类更为重要的物理量，需要同时通过大小和方向来表征，如位移、速度、加速度和力等。这一类既有方向又有数值的物理量通常称为矢量，它在几何上可以用一条有方向的线段表示，线段长度代表了矢量的大小，线段方向代表了矢量的方向。矢量的大小又称为矢量的模。
　　在流体力学中，作为矢量概念的推广，还需要讨论一种形式上更为复杂的量，即张量，如应变率张量、应力张量等都属于二阶张量，它们的性质仅用标量或者矢量的概念不能完全被描述出来，需要使用张量来进行描述。
　　1.1.1 矢量及其运算
　　与标量不同，矢量由于同时具有大小和方向，故其运算具有一些特殊之处，具体如下。
　　1．矢量加法
　　如图1.1所示，矢量a和b相加得到矢量c，它是把矢量b平行移动，使其起点放置在矢量a的终点处，然后再连接矢量a的起点到矢量b的终点而得到的。该定义等价于矢量加法的平行四边形法则。矢量a和b相加可以记为：c=a+b。矢量的加法满足交换律和结合律，即
　　交换律：b+a=a+b
　　结合律：(a+b)+c=a+(b+c)
　　2．矢量减法
　　如图1.2所示，矢量a和b相减得到矢量c，它是把矢量a和b的起点放置到一起，然后连接矢量b的终点到矢量a的终点而得到的。矢量a和b相减可以记为：c=a-b。
　　图1.1 矢量加法图1.2矢量减法
　　3．矢量数乘
　　矢量a乘以标量m得到新的矢量ma，其模是矢量a的模的m倍，若m＞0那么其方向与矢量a方向相同；若m＜0则方向与矢量a方向相反；若m=0，则ma为零矢量。矢量数乘满足交换律、结合律和分配律，如下。
　　交换律：ma=am
　　结合律：m(na)=(mn)a=n(ma)
　　分配律：(m+n)a=ma+na，m(a+b)=ma+mb
　　4．矢量的点乘
　　矢量a和b的点乘定义为这两个矢量的大小与它们夹角余弦的乘积，即
　　(1.1.1)
　　两个矢量的点乘是一个标量。矢量a沿矢量b的投影为ab=acos(a，b)或矢量b沿矢量a的投影为ba=bcos(a，b)，因此矢量a和b的点乘也可以视为先将矢量a沿矢量b进行投影，然后再将投影结果与矢量b相乘，反之亦然。点乘满足交换律、分配律等规则，具体如下。
　　交换律：a b=b a
　　分配律：a (b+c)=a b+a c
　　m(a b)=(ma) b=(mb) a=(a b)m
　　对于空间相互正交的三个单位基矢量e1、e2和e3，两两相互点乘可得
　　(1.1.2)
　　其中，ij称为克罗内克(Kronecker)符号。若令(这里重复的下标满足Einstein求和约定，后面相同)，那么
　　(1.1.3)
　　矢量的点乘又称为点积或内积，当两个矢量的点乘为零时，它们相互垂直。
　　5．矢量的叉乘
　　与矢量的点乘得到一个标量不同，矢量的叉乘结果仍然是一个矢量，所以也称为矢量积。矢量a叉乘矢量b可以记为c=a*b。矢量c的模等于矢量a与矢量b的模与其夹角正弦的乘积
　　(1.1.4)
　　其方向垂直于矢量a与矢量b所在平面，并且此时矢量a、b和c的方向满足右手法则。矢量叉乘的运算规则如下。
　　交换律不成立：a*b=-b*a
　　分配律成立：a*(b+c)=a*b+a*c
　　数乘两个矢量的叉乘，具有如下性质：
　　m(a*b)=(ma)*b=a*(mb)=(a*b)m
　　对于空间相互正交的三个单位基矢量e1、e2和e3，两两相互叉乘可得
　　(1.1.5)
　　其中，ijk称为置换(Ricci)符号，其满足
　　(1.1.6)
　　或可以写成更加容易记忆的行列式形式
　　(1.1.7)
　　当两个非零矢量的叉乘为零时，它们相互平行。
　　1.1.2 场的概念
　　设存在一个有限或无限空间，如果该空间中的每一个点都对应着某个物理量的一个确定的值(即该物理量在空间内存在一定的分布)，那么就称在这个空间内确定了该物理量的一个场。若所确定的这个物理量是标量，则称这个场为标量场，如温度场、浓度场等；若所确定的这个物理量是矢量，则称这个场为矢量场，如速度场、力场等。
　　若场中物理量在空间各点的值不随时间变化，那么则称该场为定常场或稳态场；反之则称为非定常场或瞬态场。
　　1.1.3 方向导数和梯度
　　一个标量场通常可以表示为空间坐标的函数，除均匀场外，场空间中任意两点的标量函数值各不相同。为了解连续可微标量场的特性，需要知道场内任意一点标量函数沿空间各个方向的变化率，即该标量函数的方向导数。
　　如图1.3所示，在标量场中取一空间点M(r)，该点确定的函数值为(r)。从点M(r)出发，引一条射线，在其上取与点M(r)相邻的一点，根据导数的概念可有
　　(1.1.8)
　　若式(1.1.8)所定义极限存在，即可称为函数？(r)在点M(r)沿方向l的方向导数。显然方向导数与射线l的方向有关，是一个矢量。
　　从上述方向导数的定义中可以知道，函数(r)在空间同一点M(r)处沿不同方向的方向导数可以是不同的。理论上讲，从点M(r)出发，可以有无穷多个方向，那么函数(r)沿哪个方向变化率最大且其取值多少？为了回答这个问题，需要引入梯度的概念。
　　图1.3 方向导数
　　若在标量场中的一点M(r)处，存在这样的一个矢量G，其方向为函数(r)在点M(r)处变化率最大的方向，其模正好等于函数(r)在点M(r)处的最大变化率值，那么称矢量G为函数(r)在点M(r)处的梯度，记做称为梯度算子。显然，梯度也是方向导数，因此梯度也是矢量。由标量场空间梯度分布构成的矢量场，称为梯度场。
　　1.1.4 通量与散度
　　如图1.4所示，假设在流场中取一曲面S，并且约定曲面法线的正方向为n，那么单位时间内流过该曲面的流量可以定义为
　　(1.1.9)
　　将上述定义推广到一般的矢量场，即将矢量场A沿有向曲面S某一侧的曲面积分
　　(1.1.10)
　　称为该矢量场A沿方向n穿过曲面S的通量。从式(1.1.10)可以看出，通量是标量，可以叠加。如果在矢量场中所取曲面S为封闭曲面(习惯上规定此时曲面外法线方向为正)，此时通过曲面S的总通量为
　　(1.1.11)
　　以流体流动为例，取A=u为流体运动速度矢量，如果总通量Q＞0，则表示从封闭曲面流出的流量多于流入的流量，此时在封闭曲面S内有产生流体的源；反之，当Q＜0时，我们说封闭曲面S内有汇。
　　为了描述空间任意一点M上源或汇的分布情况，取封闭曲面S包围该点，然后研究穿过封闭曲面的通量。不失一般性，设以封闭曲面S为边界的空间体积为，若下列极限存在
　　(1.1.12)
　　则称其为矢量场A在空间点M的散度，记为，显然，散度是一个标量。若已知在笛卡儿直角坐标系中，矢量场，那么在任意一点M处的散度为
　　(1.1.13)
　　1.1.5 环量与旋度
　　对于一个矢量场A，沿其中某一条封闭有向曲线l的曲线积分
　　(1.1.14)
　　称为矢量场A沿曲线l的环量，如图1.5所示。若在矢量场A中一点M处取定一个方向n，
　　图1.4 通量示意图
　　过点M任作一个微小的曲面S，以n为该曲面在点M处的法矢量。规定曲面S的周线l与法矢量n之间满足右手螺旋关系，若如下极限存在
　　(1.1.15)
　　则称其为矢量场A在空间点M处沿方向n的环量面密度。
　　显然，环量面密度是一个和方向有关的概念，正如标量场中的方向导数与方向有关一样。与此类比，引入旋度的定义如下。
　　若在矢量场A中的一点M处，存在一个矢量R，矢量场A在点M处沿其方向的环量面密度为最大，且其数值等于矢量R的模，则称矢量R为矢量场A在点M的旋度，记为或换言之，旋度矢量在数值和方向上表现出了最大的环量面密度。若已知在笛卡儿直角坐标系中，矢量场，那么在任意一点M处的旋度为
　　(1.1.16)
　　或写成更易记忆的行列式形式
　　(1.1.17)
　　1.1.6 梯度、散度和旋度的有关运算
　　关于梯度、散度和旋度的有关运算在流体力学中都是很重要的内容，具体如下。
　　1．高斯散度定理
　　若矢量函数A在封闭曲面S所包围的体积中有连续的一阶偏导数，并且曲面S分区光滑，那么曲面S内关于散度divA的体积分等于矢量A的面积分，即
　　(1.1.18)
　　换句话说，矢量A经过一封闭曲面的通量等于该矢量的散度在该封闭曲面围成的空间体上的体积分，证明可参阅相关场论专著[1]，其中n为封闭曲面的外法线矢量。式(1.1.18)称为高斯公式，它的推广形式还可以写成
　　(1.1.19)
　　(1.1.20)
　　图1.5 环量示意图
　　2．斯托克斯定理
　　矢量函数A沿封闭曲线l的环量，等于此矢量的旋度通过该封闭曲线所围成的曲面上的通量，即
　　(1.1.21)
　　证明可参阅相关场论专著[1]。
　　1.2 流体力学基本方程组及定解条件
　　流体力学研究液体和气体的宏观运动以及它们与周围物体的相互作用，如力的相互作用，能量的相互传递等，是一门定量的数理科学。基于连续介质的假设，在牛顿力学的范畴下，流体运动过程中遵循的基本物理定律主要有：质量守恒定律、动量守恒定律、动量矩守恒定律、能量守恒定律(热力学第一定律)和热力学第二定律。基于前四个基本定律，我们可以建立流体力学的基本方程，而流体中热力学过程进行的方向，如黏性耗散等，则由热力学第二定律来确定。
　　1.2.1 流体力学基本方程
　　质量、动量、动量矩和能量守恒定律是描述物质客观存在和运动形式的普遍物理规律，将这些规律运用于描述流体介质的运动时，可建立下列流体力学的基本方程。
　　1．质量守恒方程
　　质量守恒方程也称为连续性方程，通常有积分和微分形式。积分形式的连续方程如式(1.2.1)所示
　　(1.2.1)
　　它表示对空间中一个确定的控制体而言，流入控制体的流体质量流率等于控制体内流体质量随时间的变化率。这里代表流体的密度，V为流体运动的速度矢量。代表空间任意一个确定的控制体，S代表该控制体封闭的外边界，其外法线矢量为n。
　　若考虑的流场是一个连续场(密度、速度、压强等流场变量及其导数均连续)，那么根据高斯公式(1.1.18)，式(1.2.1)也可写成如下微分形式
　　(1.2.2)
　　这里为物质导数，也称随体导数。显然，方程(1.2.1)和方程(1.2.2)中仅反映了流体运动学量之间的关系，所以连续性方程是一个运动学方程。
　　2．动量守恒方程
　　动量守恒方程简称动量方程，也具有积分和微分形式，其中积分形式如下
　　(1.2.3)
　　它表示对于空间中一个确定的控制体而言，流入控制体的流体动量流率与控制体所受外力(包括体积力和表面力)之和，等于控制体内流体动量随时间的变化率。这里f和n分别代表作用