数学物理方法——使用MATLAB建模与仿真

作者简介

李月娥,2004年毕业于兰州大学无线电物理专业后留校工作，主讲本科生课程：数学物理方法，电磁场理论。2018年，电磁场理论课程教学团队获得省级教学团队；2018年，获第五届兰州大学“我最喜爱的十大教师”称号；2018年，荣获兰州大学优秀创新创业指导教师。近5年参与编著教育部电子信息类规划教材《电磁场与电磁波》1部，《Matlab在电磁场与微波技术中的应用》专著一部。主要研究方向包括微纳光电信息材料与器件、智能光电传感等，主持并参与国家自然青年科学基金、甘肃省自然科学基金项目多项课题。

内容简介

第3章 CHAPTER 3 复变函数级数 在高等数学课程中，我们学习了实变函数级数。在 计算过程中，运用级数近似表示函数带来了很多便利。 级数是研究复变函数理论和应用的重要工具。本章将围 绕复变函数级数及复变函数的幂级数展开。我们将看到 ，一个函数是否解析与能否展开为幂级数是等价的，并 由此发现解析函数的一些其他重要性质，从而加深对解 析函数的认识。 复变函数 项级数 3.1复数项级数(complex number series) 3.1.1复数项级数的概念(concepts of complex number series) 设有复数序列{wk}，其中wk=uk+ivk,k=1,2,…为 复数，则 ∑∞k=1wk=w1+w2+…+wk+…(3.1.1) 称为复数项级数。前n项和Sn=w1+w2+…+wn称为级 数的部分和。若部分和构成的复数序列{Sn}收敛，即 limn→∞Sn=S有限，则称∑∞k=1wk级数收敛 (convergent)于S，记作 S=∑∞k=1wk(3.1.2) 式(3.1.2)称为复数项级数的和。若部分和数列Sn 发散，则称∑∞k=1wk级数发散(divergent)。 3.1.2复数项级数的性质(properties of complex number series) 和实变项级数类似，复数项级数的收敛可以使用柯 西收敛准则判定。 定理3.1∑∞k=1wk级数收敛的充分必要条件是： 对于给定的任意小正数ε，必存在自然数N，使得n＞N 时，∑n+pk=n+1wk＜ε，其中p为任意正整数。 Theorem 3.1A sufficient and necessary condition for series to converge ∑∞k=1wk is that: Given any small positive number ε, it is possible to find an integer N so that ∑n +pk=n+1wk＜ε for every n＞N, p is an arbitrary positive integer. 实际上，根据上式判断级数是否收敛是比较困难的 ，一般不会运用定理3.1判断级数的收敛性，需要寻求 其他的判定方法，本节将介绍若干个判定定理。由于复 数项级数可以写作以下形式 Sn=∑nk=1wn=∑nk=1uk+i∑nk=1vk(3.1.3) 因此，根据实数项级数收敛的有关结论，可以得出 判断复数项级数收敛的简单方法。 定理3.2设wk=uk+ivk(k=1,2,…)，则级数 ∑∞k=1wk收敛的充分必要条件是级数的实部∑∞k=1uk 和虚部∑∞k=1vk都收敛。 Theorem 3.2Suppose that wk=uk+ivk(k=1,2,… ), the sufficient and necessary conditions for 本书由作者总结多年教学经验的基础上编写而成，全书突出物理背景与物理意义，同时密切结合实例和编程可操作性，注重与后续专业应用课程的联系。全书内容包括复变函数、留数定理、幂级数、傅里叶级数等重要的复变函数论基础知识，数学物理定解问题和行波法、分离变量法、保角变换法求解方法以及有限差分法、有限元法等数值计算方法初步入门，为后续专业课程的学习提供基础的数学处理工具。书中附有大量的应用实例以加深学生知识的深度与广度，且重要知识点均附有MATLAB编程代码。每一章后附有习题，书末附有答案。本书可作为物理类专业以及部分工科专业本科生的教材，也可供相关专业的研究生、教师和科技人员参考。