概率论与数理统计

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第1章 随机事件及其概率
　　在随机试验中，可能出现也可能不出现，而在大量重复试验中具有某种规律性的事件称为随机事件.随机事件的概率是衡量该事件发生可能性的度量.随机事件和随机事件概率的计算是本章的主要内容，也是本书其他章节内容的基础.1.1节和1.2节主要介绍随机事件、随机事件的概率，1.3节、1.4节和1.5节分别介绍古典概率模型、条件概率、事件的独立性，1.6节是案例分析.
　　引言
　　世界上发生的现象千变万化，有一类现象，称为“随机现象”，这样的现象在我们身边无处不在.例如：抛掷一枚硬币观察正反面;掷一颗骰子观察出现的点数;测量一辆汽车的寿命;等等.现在许多科学家认为，自然界的本质是随机的，而概率论是研究随机现象及其规律性的数学学科.概率论的研究最早是从赌徒们提出的一些问题开始的.关于赌博问题最早出现在1494年意大利修士、数学家帕乔利(Pacioli)的著作《算术、几何、比例和比值要义》中.他的问题是：甲、乙两人的总赌本为 m，各出一半，相约赌若干局，谁先赢 n 局谁就获胜.在甲赢了 a(a < n)局，而乙赢了 b(b < n)局时，赌博突然中止，问此时甲、乙两人该如何分配赌本？这就是著名的“分赌注问题”.现将此问题简化：甲、乙两人决定赌若干局，事先约定谁先赢五局便可获得全部赌本，甲、乙各出赌本的一半.如果在甲赢了四局，乙赢了三局时，因故赌博中止，他们应该如何分赌本？赌本分配原则是：甲、乙分得赌注的比例应该等于从这以后继续赌下去他们获胜的概率.因此正确答案是：赢了四局的甲得到赌本的，赢了三局的乙得到赌本的，为什么呢？如果在一局的赌博中甲输赢的可能性为，此时继续赌博下去甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，这就是甲获得赌本，乙获得赌本的原因.根据赌本分配原则，这一分配方式远比甲乙两人平分赌本合理得多.众多学者对这一问题的讨论，产生了“概率”这一基本概念.在18世纪中叶，贝叶斯(T. Bayes)把概率的方法从用于赌博问题提升到应用于科学问题的研究，给出了古典概率的定义和计算方法，提出了著名的贝叶斯公式.但直到1933年柯尔莫哥洛夫(Kolmogorov)的著作《概率论的基础》的出版，才给出了概率论公理化的完整结构.从此概率论才正式成为数学的一个分支.
　　在第1章中讲解了概率论的一些基本概念及公理化框架，希望大家能够掌握概率论的基本概念，学会一些概率的计算方法，同时对于“随机”这一概念有正确的认识，为后续的学习打下一个牢固的基础.
　　1.1 随机事件
　　随机事件是概率论中的一个重要概念，是随机试验中出现的结果.
　　1.1.1 必然现象与随机现象
　　世界上发生的现象是多种多样的，但可以将其分为两类.一类是必然性现象，例如：同性电荷一定互相排斥;人最终会死亡.这类在一定条件下必然出现的现象称为必然现象，也称为确定性现象.另一类称为随机现象，例如：抛一枚硬币，结果可能是正面朝上，也可能是反面朝上，抛掷前无法确定出现正面还是反面，但多次重复抛这枚硬币，正面朝上约有半数;某篮球运动员投篮一次，其结果可能命中，也可能不中，但重复投篮多次，其命中率接近一个常数.这种在个别试验中其结果具有不确定性，在大量重复试验中其结果具有规律性的现象称为随机现象.概率论是研究随机现象规律性的数学学科.
　　1.1.2 随机试验、样本空间和随机事件
　　为了研究随机现象，就要对客观事物进行观察.观察的过程称为试验，这里的试验是一个含义广泛的术语，它可以是试验、检验等.概率论里的试验具有以下特点：
　　(1)可以在相同条件下重复进行;
　　(2)每次试验的结果不止一个，而且在试验之前可以明确试验的所有可能结果;
　　(3)在每次试验前不能预知出现哪一种结果.
　　具有以上三个特点的试验称为随机试验.以后提到的试验均指随机试验，常用记号E表示.
　　对于随机试验，虽然在试验之前不能预知试验的结果，但试验所有可能的结果是已知的.我们将随机试验的所有可能结果组成的集合称为试验的样本空间，记为S.样本空间的元素，即试验E的每个结果，称为样本点.
　　例1 掷一颗骰子一次，观察出现的点数，可能出现的结果为1，2，3，4，5，6，则样本空间为S={1，2，3，4，5，6}.
　　例2 一批灯泡中任取一只，测试其寿命，其样本点为：t小时，样本空间为.
　　随机试验的样本空间S的子集称为试验的随机事件，简称事件.随机事件常用大写字母A，B，C等表示.由一个样本点组成的单点集，称为基本事件.在例1中有6个基本事件{1}，{2}， ，{6}.在例2中{t=100}，{t=200}等为其基本事件.
　　每次试验中一定发生的事件称为必然事件，记为S.每次试验中一定不发生的事件，称为不可能事件，记为 在例1中，“点数小于7”是必然事件，“点数大于6”是不可能事件.
　　1.1.3 机事件的关系和运算
　　事件是一个集合，所以事件的关系和运算可以应用集合论中集合间的关系和集合的运算来表示.
　　1.事件的包含
　　若事件A发生必然导致事件B发生，即属于A的每个样本点也都属于B则称事件B包含事件A，记为.
　　2.事件的相等
　　若事件A包含事件B，事件B也包含事件A，则称事件A与B相等，即A与B中的样本点完全相同，记为A=B.
　　3.事件的和
　　两个事件A，B中至少有一个发生，称为事件A与B的和.它是由A和B所有样本点构成的集合，记为A∪B.
　　类似地，称为n个事件A1，A2， ，An的和事件，称为可列个事件A1，A2， 的和事件.
　　4.事件的差
　　事件A发生而事件B不发生，称为事件A与B的差.它是由属于A但不属于B的样本点构成的集合，记为A-B.
　　5.事件的积
　　两个事件A与B同时发生，称为事件A与B的积.它是由既属于A又属于B的所有共同样本点构成的集合，记为A∩B或AB.
　　类似地，称为n个事件A1，A2， ，An的积事件，称为可列个事件A1，A2， 的积事件.
　　6.互不相容事件
　　若事件A与B不能同时发生，即A∩B=.，则事件A与事件B是互不相容的，又称为互斥的.互不相容事件A与B没有共同的样本点.显然，基本事件是两两互不相容的.
　　7.对立事件
　　若A∪B=S且A∩B=.，则事件A与事件B互为对立事件，也称为互逆事件.它是由样本空间中所有不属于A的样本点组成的集合，记为A.
　　8.完备事件组
　　若事件A1，A2， ，An为两两互不相容的事件，并且A1∪A2∪ ∪An=S，则事件组A1，A2， ，An构成一个完备事件组，也称A1，A2， ，An是样本空间S的一个划分.
　　事件间的关系和运算可以用图1.1表示.
　　图1.1
　　设A，B，C为事件，则不难验证事件的运算满足以下定律：
　　交换律A∪B=B∪A，A∩B=B∩A.
　　结合律A∪(B∪C)=(A∪B)∪C，A∩(B∩C)=(A∩B)∩C.
　　分配律A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C)，A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C).
　　德摩根律.
　　例3 一颗骰子，观察出现的点数，样本空间为S={1，2，3，4，5，6}.设事件.
　　解
　　例4设A，B，C为三个事件，试用事件A，B，C的运算关系表示下列事件：
　　(1)A发生，B，C不发生;
　　(2)B，C发生，A不发生;
　　(3)A，B，C都不发生;
　　(4)A，B，C至少有一个发生;
　　(5)A，B，C都发生;
　　(6)A，B，C恰有一个发生.
　　解(1);
　　(2);
　　(3);
　　(4);
　　(5;
　　(6).
　　1.2 机事件的概率
　　在一次试验中，一个随机事件可能发生也可能不发生，即事件的发生具有不确定性.然而，对于同一随机事件，在同样的条件下进行大量的重复试验，其结果呈现规律性，因此有可能对随机现象进行定量的描述.
　　1.2.1 率的定义
　　在相同的条件下将试验重复进行n次，若事件A发生了m次，则，其中f称为事件A发生的频率.
　　前人做的抛硬币试验结果见表1.1.
　　表1.1
　　从表1.1中的数据可以发现，当抛硬币次数较小时，频率的变化幅度较大，但当试验次数增大时，频率逐渐接近0.5.类似的试验可以做很多，如掷骰子，又如在某一时间段统计一个地区新生儿的性别等.大量的试验证实，当试验次数充分大时，虽然频率会有一定的波动，但是频率总在某一个常数附近波动，这是随机现象固有的性质.但现实中，我们不可能对所有的随机事件都做大量的试验，来得到频率的稳定值.因此下面给出概率的一般定义.
　　定义1 随机事件的样本空间为S，若对任一事件A，有唯一实数P(A)与之对应，且满足如下三个公理：
　　公理1.
　　公理2.
　　公理3 事件两两互不相容，即对于，有
　　(1.2.1)
　　则称P(A)为事件A的概率.公式(1.2.1)称为概率的可列可加性.
　　这是概率的公理化定义，但这一定义没有给出概率的具体计算方法.
　　1.2.2 率的基本性质
　　由概率的定义，容易得到概率的如下性质：
　　性质1 可能事件的概率为0，即.
　　性质2 A的对立事件，则有.(1.2.2)
　　性质3 有限个两两互不相容事件A1，A2， ，An，有.
　　此性质称为概率的有限可加性.
　　性质4 A，B是两个事件，且，则有
　　(1.2.3)
　　其中.
　　证设.因为B与互不相容，由性质3得
　　移项得