近世代数及其应用

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第1章 预备知识
　　本章介绍集合与映射、集合上的等价关系、自然数的公理化定义、偏序集和佐恩引理、代数运算和代数系统、同态映射等基本概念和性质.
　　1.1 集合和映射
　　本节介绍集合和映射的基本概念和性质. 先介绍集合的相关概念.
　　具有一定属性能够辨别彼此的若干事物组成的整体称为一个集合. 一般用大写字母A， B， C， 来表示一个集合， 集合里的事物称为这个集合的元素， 元素一般用小写字母a， b， c， 来表示.
　　设S是一个集合， 如果x是S中的一个元素， 则记为x∈S; 如果x不是S的元素， 则记为.
　　只有有限个元素的集合称为有限集， 否则称为无限集. 用表示S的元素个数， 并称之为S的阶. 若S为无限集， 则记.
　　当集合S是有限集时， 一般用列举出它的元素的方式表示.
　　若S是由所有使得某一命题P(x)成立的元素组成的集合， 记.
　　通常记N为全体自然数组成的集合， Z为全体整数组成的集合， Q为全体有理数组成的集合， R为全体实数组成的集合， C为全体复数组成的集合， Zn为整数模n的剩余类组成的集合.
　　若集合X的每个元素都在集合Y中， 则称X为Y的子集， 记为.
　　若但， 称X是Y的真子集， 记为.
　　如果， 且， 称两个集合X， Y相等.
　　不含元素的集合叫做空集， 用表示.
　　S的所有子集组成的集合称为S的幂集， 记为.
　　设X和Y是两个集合， 所有属于X或者属于Y的元素组成的集合称为X与Y的并集， 记为. 所有既属于X又属于Y的元素组成的集合称为X与Y的交集， 记为.
　　进而， 集合X中不属于集合Y的元素所组成的集合， 称为X与Y的差集， 记为X-Y， 或者X\\Y. 特别， 当YX时， XY也称为Y(在X中)的余集(或者补集)， 记为.
　　如果A， B， C， 都是集合， 则称为一个集簇. 称是一个集簇的指标集， 如果对I的每一个元素i， 在这个集簇中都有一个意义明确的集合Xi与之对应. 以I为指标集的集簇的并和交分别记为X∩Y
　　是一集簇， 且当时， 则称这一集族中的集合是两两不相交的. 如果， 且集合两两不相交， 则称是X的一个划分.
　　如果是n个集合的一个集簇， 则它们的笛卡儿积定义为
　　简记为， 并规定.
　　笛卡儿积的定义可以推广到任一集簇上.
　　下面不加证明地给出集合运算的一些简单性质.
　　定理1.1.1 (集合运算的简单性质)
　　(1) 幂等律 A∩A = A， A∪A = A;
　　(2) 交换律 A∩B = B∩A， A∪B = B∪A;
　　(3) 结合律 (A∩B)∩C = A∩(B∩C)， (A∪B)∪C = A∪(B∪C);
　　(4) 吸收律 A∪(A∩B) = A， A∩(A∪B) = A;
　　(5) 分配律 A∩(B∪C) = (A∩B)∪(A∩C)， A∪(B∩C) = (A∪B)∩(A∪C);
　　(6) 包容排斥原理 对有限集，有|A∪B|=|A|+|B|-|A∩B|.
　　下面介绍映射的概念和性质. 通过映射和变换来研究代数系统， 是近世代数中最重要的研究方法之一.
　　定义1.1.1 设X和Y是两个非空集合， 如果存在一个法则f， 使得对于X中每一个元素x， 都存在Y中**一个元素y与它对应， 则称法则f为集合X到集合Y的一个映射(或函数). 一般我们用
　　来表示f是X到Y的映射. 称y为x在映射f下的象， 记为y=f(x). 称x为y在映射f下的原象. 称X为映射f的定义域， Y为映射f的值域.
　　若f是集合X到Y的一个映射， 则f对于X中每个元素都必须有确定的象， 并且X中相等元素的象也必须相等， 即X中每个元素的象是**的. 例如， 有理数集上的对应法则f: a+b就不是映射， 因为元素， 但
　　集合f(X)={f(x)|x∈X}叫做映射f的象， 记为Im(f).
　　一般地， 设S为X的任一子集， 称集合f(S)={f(x)|x∈S}为S在映射f下的象. 设T为Y的任一子集， 称集合f-1(T)={x∈X|f(x)∈T}为T在映射f下的原象.
　　定义1.1.2 设f是集合X到Y的一个映射， 如果X中不同的元素在Y中的象也不同(即若f(x1)=f(x2)， 则有x1=x2)， 则称f是单射; 如果Y中的每个元素在X中都有原象(即f(X)=Y)， 则称f是满射; 若f既是单射又是满射， 则f叫做双射.
　　若X， Y都是有限集合且元素个数相等， 则X到Y的映射f是单射当且仅当f是满射.
　　定义1.1.3 集合X到自身的映射叫做集合X的一个变换.
　　类似可以定义单射变换、满射变换和双射变换.
　　有限集 X ={1， 2， ， n}到自身的变换f可以用表示， 其中
　　f(1)=a1， f(2)=a2， ， f(n)=an.
　　集合X中每个元素映到自身的变换称为集合X的恒等变换或单位变换， 简记为1或1X.
　　设A是集合X的子集， 并设f: X→Y， g: A→Y均是映射， 如果对任意a∈A， 有f(a)=g(a)，则g称为f在A上的限制， 记为f|A， 即f|A=g. 此时， 也称f为g的延拓.
　　设f: A→B， g : B→C是两个映射， 定义f， g的乘积(或合成)为映射
　　通常记h=gof， 或简记为h= gf.
　　可以证明映射的合成满足结合律， 且有
　　定理1.1.2 设f: A→B， g: B→C， h: C→D是三个映射， 则有
　　(1)h(gof) = (hog)of; (结合律)
　　(2) 1Bof=f， fo1A=f.
　　设f: X→Y， g: Y→Z， h: X→Z是三个映射， 如果h= gf， 则称图1-1可交换.