核工程专业基础课数学案例

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知识点案例
　　知识点案例的宗旨是
　　一、明确指出某一个数学知识点在专业基础课中的应用背景，即赋予数学知识点明确的物理意义；
　　二、明确指出解决或表达某一个专业基础课知识点所采用的有效的数学工具。
　　知识点案例具有如下特点。
　　一、在一个案例中，应用某个数学知识点去解决或表达某个专业基础课的知识点；
　　二、案例的知识点配置为：一个或多个数学知识点支持一个专业基础课的知识点，或者一个数学知识点支持一个或多个专业基础课的知识点，或者多个数学知识点支持多个专业基础课的知识点；
　　三、每个案例中至少包括一个数学知识点和一个专业基础课的知识点。
　　知识点案例（1）
　　本案例的宗旨是：将数学知识点——梯度的定义，用于表达“工程流体力学”中的流体平衡方程式（欧拉方程式）的矢量形式，以及“传热学”中的导热基本定律——傅里叶定律。
　　数学知识点（M01）——梯度的定义
　　设函数u=f（x，y，z）在空间区域G内具有一阶连续偏导数，则对于每一点P（x，y，z）∈G，都可给出一个矢量
　　这矢量称为函数u=f（x，y，z）在点P（x，y，z）的梯度，记作grad f（x，y，z），
　　即
　　函数在某点的梯度是这样一个矢量，它的方向与取得最大方向导数的方向一致，而它的模为方向导数的最大值。
　　专业基础课知识点（S01）——工程流体力学：流体平衡方程式（欧拉方程式）的矢量表达
　　流体平衡方程式（欧拉方程式）的分量表达式为
　　将其用矢量形式表达为
　　专业基础课知识点（S02）——传热学：导热基本定律（傅里叶定律）
　　根据热传导理论中的傅里叶（Fourier）定律：在温度场中任一点处t（M），沿任一方向的热流密度（即在该点处于单位时间内流过与该方向垂直的单位面积的热量）与该方向上的温度变化率成正比。由此可知，在场中之任一点处，沿l方向的热流密度为
　　其中，比例系数λ>0，称为导热系数，其前面的负号，表示热流的方向与温度增大的方向相反。
　　由于等于梯度矢量grad t在l方向的投影，故知就等于矢量在l方向的投影。若记
　　则有
　　由此可见，当l的方向与q的方向一致时，cos（q，l）=1，此时热流密度取得最大值。这说明在场中之任一点处，矢量q的方向表达了热流密度最大的方向，其模也正好表示最大热流密度的数值。因此，热流密度q是矢量。
　　如果以n表示沿梯度方向的单位矢量，傅里叶定律表达为
　　式中，为沿梯度方向的方向导数。
　　知识点案例（2）
　　本案例的宗旨是：将数学知识点——旋度的定义，用于表达“工程流体力学”中的流体流动的旋转角速度。
　　数学知识点（M02）——旋度的定义
　　设有一矢量场
　　其中，函数P（x，y，z）、Q（x，y，z）、R（x，y，z）均具有一阶连续偏导数，则矢量
　　称为矢量场A的旋度，记作rot A，即
　　用矢性微分算子，矢量场A的旋度rot A可以表示为×A，也可利用行列式形式表示
　　对比式（M02-3）与式（M02-4），可以看出，按照后者理解记忆较前者容易得多。
　　专业基础课知识点（S03）——工程流体力学：流体流动的旋转角速度
　　流体微团旋转角速度的分量形式为
　　其矢量表达式为
　　对于无旋流动，
　　可得
　　知识点案例（3）
　　本案例的宗旨是：将数学知识点——散度的定义，用于表达“工程流体力学”中的微分形式的连续方程。
　　数学知识点（M03）——散度的定义
　　在直角坐标系中，矢量场
　　在任一点M（x，y，z）的散度为
　　专业基础课知识点（S04）——工程流体力学：微分形式的连续方程
　　可压缩流体三维非定常流动微分形式的连续方程
　　改写成矢量形式为
　　知识点案例（4）
　　本案例的宗旨是：将数学知识点——矢性微分算子，用于表达梯度、旋度、散度。
　　数学知识点（M04）——矢性微分算子
　　矢性微分算子的定义为
　　它又称为（Nabla）算子或哈密顿（Hamilton）算子。运用矢性微分算子，我们有