数学分析学习辅导Ⅱ——微分与积分（第二版）

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第1章 一元函数微分学
　　1.1 疑难解析
　　1.对于函数y=f(x)，什么叫可微?什么叫微分?
　　答：设函数y=f(x)在某个内有定义.如果存在与Δx无关的常数A，使Δy=f(x0+Δx).f(x0)能表示成
　　(1.1.1)
　　则称函数f在点x0可微，并称AΔx为f在点x0的微分，记作
　　2.对于函数y=f(x)，什么叫可导?什么叫导数?
　　答：设函数y=f(x)在某个内有定义.如果极限
　　(1.1.2)
　　存在，则称函数f在点x0可导，并称这个极限值为f在点x0的导数，记作f′(x0)，
　　即
　　3.可微、可导、微分、导数都是一回事吗?它们之间有什么关系?
　　答：不是一回事.可微与可导是指函数在一点的状态，而微分与导数是与函数在一点的可微与可导性相关的两个量.对于一元函数来说，可微与可导是等价的.
　　如果函数y=f(x)在点x0附近满足式(1.1.1)，那么称函数y=f(x)在点x0可微，此时函数y=f(x)在点x0也可导，反之亦然.A就等于函数y=f(x)在点x0的导数f′(x0)，而AΔx就是函数y=f(x)在点x0的微分.即函数y=f(x)在点x0可导与可微是等价的，当函数y=f(x)在点x0可导或者可微时，函数在这点肯定有微分和导数，但是函数y=f(x)在点x0的微分与导数一般不相等.
　　4.若函数y=f(x)在点x0存在左导数和右导数，问f(x)在点x0是否可导?它们之间有什么关系?
　　答：如果函数y=f(x)在点x0存在左导数和右导数，f(x)在点x0不一定可导.例如，函数f(x)=|x|在点x=0存在左导数和右导数，但是f(x)=|x|在点x=0不可导.
　　函数f(x)在点x0可导当且仅当f(x)在点x0存在左导数和右导数，且左导数等于右导数.
　　5.若函数y=f(x)在点x0存在左导数和右导数，问f(x)在点x0是否连续?它们之间有什么关系？
　　答：函数f(x)在点x0连续，因为函数y=f(x)在点x0存在左导数和右导数，所以函数f(x)在点x0左连续和右连续，因此f(x)在点x0连续.
　　反过来，如果函数f(x)在点x0连续，不能推出f(x)在点x0存在左导数或者右导数.例如，函数在点x=0连续，但是f(x)在点x=0不存在左导数，也不存在右导数.
　　6.微分、导数的几何意义是什么?
　　答：微分与导数的几何意义是：函数y=f(x)在x0处的导数f′(x0)是曲线y=f(x)在(x0，f(x0))处的切线的斜率，函数y=f(x)在x0处的微分是曲线y=f(x)在(x0，f(x0))处的切线方程在(x0，f(x0))处的增量f′(x0)(x.x0).
　　7.若曲线y=f(x)在点(x0，f(x0))有切线，问函数y=f(x)在x0处是否可导?
　　答：若曲线y=f(x)在点(x0，f(x0))有切线，函数y=f(x)在x0处不一定可导.例如，函数在x=0处有切线x=0，但是它在x=0处不可导.
　　如果曲线y=f(x)在点(x0，f(x0))有不垂直于x轴的切线，那么函数y=f(x)在x0处是可导的.
　　8.如果函数f(x)在x0处可导，能否推知f(x)在x0的某个邻域内处处可导?能否推知f(x)在x0的某个邻域内处处连续?能否推知f(x)在x0的某个邻域内有定义?
　　答：如果函数f(x)在x0处可导，那么由可导的定义知，f(x)必然在x0的某个邻域内有定义.但是，不能由此推出f(x)在x0的某个邻域内处处连续，更不能推出f(x)在x0的某个邻域内处处可导.例如，对于函数为有理数，为无理数，易证f′(0)=0.但是f(x)在所有x.=0处都不连续，更不可导.
　　9.设当时下面关于f′(0)不存在的两种证明是否正确?
　　(1)在等式中，令x=0，显然没有意义，所以f′(0)不存在;
　　(2)因为不存在，所以f′(0)不存在.
　　答：这两种分析都不正确.(1)中的错误是：只有当时，等式才正确.(2)中的错误是：不能由极限的存在性推出f′(0)的存在性，因为只有当f′(x)在x=0处连续时，才有.
　　正确的方法是按照导数的定义求f′(0).事实上，因为所以f′(0)存在，且f′(0)=0.
　　一般地，对于分段函数在分段点的导数都要用导数的定义或者左右导数来求.
　　10.判断下列命题的真假，并说明理由：
　　1)设f在x=0处可导，若f(0)=0，则f′(0)=0，反之也成立;
　　2)若f在x0处可导，且在U(x0)内f(x)>0，则f′(x0)>0;
　　3)若f为[-a，a]上偶函数，且f′(0)存在，则f′(0)=0;
　　4)设.若f在x0处可导，则φ，ψ至少有一个在点x0可导;
　　5)设.若f在x0处可导，则φ，ψ至少有一个在点x0可导;
　　6)若f在x0可导，则|f|也在x0可导，反之也成立.
　　答：1)是假命题.例如，f(x)=x在x=0处可导，且满足f(0)=0，但是.反之，对于1在x=0处可导，且f′(0)=0，但是.
　　2)是假命题.例如，f(x)=x2+1在x=0处可导，且在U(0)内f(x)>0，但是f′(0)=0.
　　3)是真命题.因为f为上偶函数，且f′(0)存在，所以
　　因此.
　　4)是假命题.例如，设φ在x0处不可导，则在x=0处可导，但是φ，ψ都在点x0不可导.
　　5)是假命题.例如，φ(x)=|x|与都在x=0处不可导，但是在点x=0可导.
　　6)是假命题.例如，f(x)=x在x=0处可导，但是在x=0处不可导.又如，对于，有在x=0处可导，但g(x)在x=0处不可导.即反之不成立.
　　11.如何正确理解高阶微分不具备微分形式的不变性?
　　答：以二阶微分为例，当x是自变量时，
　　(1.1.3)
　　当x是中间变量时，考虑两个可导函数复合而成的函数，于是
　　(1.1.4)
　　式(1.1.3)和式(1.1.4)表明，二阶微分不具有微分形式的不变性.其原因是当x是自变量时;当是中间变量时.
　　1.2 典型例题
　　1.2.1 微分与导数的概念
　　例1 设f(x)=x|x|，试讨论函数f(x)的可微性，并求其微分.
　　分析可以用可微的定义验证.
　　解 由于
　　所以函数f(x)在x=0处可微，且.
　　又因为当x>0时，对于任意，有
　　所以f(x)在(0，+∞)内可微，且.
　　同理可得，函数f(x)在内可微，且
　　综上所述，函数f(x)在内可微，且.
　　例2 设f′(x0)存在，a，b为两个非零常数，求极限lim
　　若存在，能否推出f′(x0)存在
　　分析所求极限与函数在一点的导数定义类似，可以通过恒等变形，设法利用导数定义计算.
　　解由于f′(x0)存在，及a，b为两个非零常数，所以存在，不能推出f′(x0)存在.例如，设，则，
　　但是f(x)=|x|在x=0处没有导数.
　　例3 讨论下列函数的连续性与可导性:
　　解先考虑函数f的连续性与可导性.事实上，对任意给定的x0.=0，取数列，使满足则
　　于是根据归结原则得， f(x)不存在，因此f(x)在x0处不连续，当然也不可导.
　　对于x0=0，由于，所以，因此根据连续的定义得，f(x)在x=0处连续.但因为为无理数，为有理数
　　当x→0时极限不存在，所以根据可导的定义得，f(x)在x=0处不可导.
　　再考虑函数g的连续性与可导性.事实上，对任意给定的x0.=0，同理可得，g(x)在x0处不连续，也不可导.
　　对于x0=0，由于所以g(x)在x=0处可导，当然也连续，且g′(0)=0.
　　注函数f(x)是在内有定义，但是处处不可导的例子;函数g(x)是在内有定义，但是仅在一点可导的例子.
　　例4求曲线在点x=1的切线与法线方程.
　　分析注意函数f(x)的导数f′(x0)是曲线y=f(x)在点(x0，f(x0))的切线的斜率.
　　解由于，所以曲线在点x=1的切线方程为
　　即y=x+1.
　　又因为法线的斜率为-1，所以所求的法线方程为
　　即
　　1.2.2 微分与导数的计算
　　1.利用定义求函数的导数
　　例1 设求