
出版社: 清华大学
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折扣购买: 欢乐品数学(爱上你眼中的魔鬼学科)
ISBN: 9787302503910
唐小谦(笔名),留法数学博士,副教授,美国数学学会《数学评论》、德国《数学文摘》评论员。因为机缘巧合,参与了一些科学普及的工作,担任北京青少年科技俱乐部指导教师,2017年5月起在“知乎”连载《奇葩数学史》专栏,以幽默诙谐的语调品谈数学历史、传播数学知识,受到众多高中生、大学生和其他数学爱好者的关注和好评。
第1章 数学是什么 欢乐品数学 第1章数学是什么 1.1从一道试题开始 令fx=12+12sin(2x-π4),请在直角坐标系中作出函数y=f(x)的图象。 怎么样,是不是很眼熟?此类题目在各种“某某密卷”或者“某某金牌练习册”中经常出现,但凡在高中数学课上经历过一年艰苦奋斗的同学大多能明白这道题虽然是让你作图,但考查的其实是如何利用三角恒等式化简fx。 假如你还没有念到高中,又或者你实在想不起来自己在念高中的时候还学过这些玩意儿,那也没关系,你可以像小谦老师经常做的那样:假定下面的讲解都是对的并且愉快地接受这个事实(数学老师也不容易啊……)。 好,让我们来看一看这道题目的解法。 如果你对2x-π4不太感冒的话,不妨采用常见的变量替换法,令t=2x-π4,这样fx=gt=12+12sint。 注意到我们有三角恒等式sin2t2+cos2t2=1和sint=2sint2cost2,前者来自著名的勾股定理,后者是和角公式的特例: sinα+β=sinαcosβ+cosαsinβ 代入到函数g(t)中即有 gt=12sin2t2+cos2t2+2sint2cost2 =12sint2+cost22 =22sint2+22cost22 =sin2t2+π4 =sint2+π4 于是fx=sin2x-π42+π4=sinx+π8 因此,为了得到函数y=f(x)的图象,你只需要在直角坐标系中将正弦函数sinx的图象向左平移π8个单位,然后把位于x轴下方的部分按照与x轴对称的方式往上一翻就一切ok,万事大吉了!如果你还能把图象与y轴的交点sinπ8的值给算出来,那就会更加完美。怎么样,是不是很简单?(此处有掌声) 可是读到这里,你的心情难免会有点郁闷:爆米花都买了,你就让我看这个?! 先别着急,这次让我们转换一下身份,现在的你是一位掌握生杀大权的判官(老师),而我将从万千学子中挑选出三位同学对上面的题目给出他们的解答,假设这道题目的分值是10分,请你在30秒的时间内分别对他们的解答打出一个分数。记住,你花费在每份答案上的时间只有10秒哦! 准备好了吗?开始! 有请第一位同学(见图1-1)。 图1-1 呃……这位同学你干啥?不会也不用上吊啊,快下来,快下来!大概是做不出来压力太大,这位同学还没等到你出手就已经“自挂东南枝”,英勇就义了。其实大可不必如此,工作生活中谁还没个烦躁郁闷的时候呢,洗把脸后又是一条好汉嘛。当然,这位同学也还是有贡献的,至少你不用花掉10秒钟就能在他的得分栏内画上一个工整的“0”。 好了,先把他拖出去,有请第二位同学(见图1-2)。 图1-2 这位同学比起刚才那位就靠谱多了,不仅概念准确,三角恒等式也背得很熟。但可惜他的解答犯了方向性的错误,一堆运算没起什么作用却把式子越化越繁,最后自创的“图象开方法”更是匪夷所思、闻所未闻。给个3分吧,2分辛苦,1分同情。 只剩下最后一位同学了,希望他不要辜负我们的期望(见图1-3)。 图1-3 真乃孺子可教啊,这回你总算舒心地笑了。这就是大家眼中的学霸了吧,逻辑清楚,思维缜密,不仅图画得好看,最后sinπ8的值也是求得规矩漂亮。 啥也不说了,小手一抖,满分拿走。 任务至此,圆满完成!请不要怪我拿10秒钟的限制当了一个噱头,因为如果这是一道高考题的话,评卷老师在你身上花的时间恐怕比10秒钟也多不了多少。当然,我也不是想用这个例子来教大家如何快速标准地解答一道数学题,而是想让你们在过完一把判官瘾之后,认真地思考一下。 数学是什么? 如果平时不太注意对深层次问题的思考,这么一问或许会让你有种手足无措的感觉,学习了那么久的数学,见识过那么多的数学定义和推理,大多数人恐怕还没想过要给数学本身下个定义。 数学是研究数量关系的学问吗? 显然没那么简单,数学课本里不仅包含了众多数量关系的计算,还包含了大量结构关系的证明。 数学是确定数量关系、几何大小和空间形式的方法? 好像也不全面,按照这种说法,许多领域里的数学家都将被无情地排除在外(比方说抽象代数和数理逻辑),他们对此肯定不会满意。 要不来个狠的:数学是确定一切数量、关系、结构、空间和信息的科学! 听上去简直完美!但一大拨从事概率论研究的学者又会跳出来告诉你,其实研究“骰子掷出来是几点”这样的不确定性也是数学的一部分…… 那就真的没辙了,随着知识的增长你会慢慢发现,但凡要给数学划定一个边界,边界以外的版图又总会出现数学的身影。数学在艺术、音乐、建筑、历史、科学、文学等方方面面都拥有着巨大的影响力,总不能说数学是研究世间万物一切有的没的、变的不变的、确定的和不确定的科学吧。 你到底是数学家还是上帝? 看来要想从研究的内容、方式和方法上定义数学并不是一件简单的事情,无法触摸到数学的本质就不能更加深刻地理解数学的含义。不过你也无须为此烦恼,历史上许多著名的学者已经替我们想过这个问题了,虽然他们吵了很多年也没有吵出一个标准答案,但不妨让我们见识一下主流学界的看法。 首先想一想,为什么要给那位吊死在根号下的仁兄零分呢?想必你会回答:这位兄台虽然情节感人,但恒等式应用错误,开方后符号也不注意,基本没有给分的点啊;没有错,那第二位呢?啰里啰唆,答非所问;也对,那学霸同学呢?学霸就不一样了,每一行都答到了考点上,恒等式运用准确,推理清晰,结论还很有美感,满分是当之无愧! 很好很好。 注意到了吗?你所有的判断都有一个共同的基础,那就是答题同学的“话”(数学推理)是不是说得漂亮。言简意赅、切中要害的拿了高分,而语无伦次、企图蒙混过关的也没有讨到好处。看来在不知不觉中你已经把握到“数学是什么?”这个问题的精髓所在了。 "这是一本写给中学生、大学生和广大数学爱好者的书。 数学之难,难在理解、难在品味、难在举一反三。本书从现行中学和大学数学课本的部分内容出发,系统介绍了一系列由此延伸出来的有趣的数学理论,包括集合论、“无穷”概念、多项式方程与求根公式、对数函数与指数函数、三角函数的几何解释与应用、数学基础与悖论等,在传播数学知识的同时以轻松幽默的语言讲述了很多课堂上学不到的数学历史和文化,帮助你开阔数学视野、提高数学思维、加深对数学的理解。"