应用随机过程(第2版应用统计学系列教材普通高等教育十五国家级规划教材)

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第3章更新过程 3.1更新过程的定义和性质 应当注意，虽然对于每个t，N(t)<+∞以概率1成立 ，但limt→+∞N（t）=+∞也以概率1成立。事实上，“ 当时间趋于无穷，更新总次数有限”等价于“存在一次 更新的时间间隔为无穷”，即{limt→+∞N（t）<+∞} {n>0,Xn=+∞}，所以 P{limt→+∞N（t）<+∞}=P{n>0,Xn=+∞} =P∪∞n=1{Xn=+∞} ≤∑∞n=1P{Xn=+∞}=0。 以下几个事件的集合关系在分析中常被用到。 (1) {N(t)≥n}{Tn≤t}; 直观上，{N(t)≥n}的含义是t时刻之前更新次数不 少于n，Tn≤t的含义是第n次更新的发生时刻在t时刻之 前，两个事件是等价的。 (2) {N(t)=n}{Tn≤t}; 由(1)直接得到。在相关条件期望计算中，应当注 意到E(X1|N(t)=1)≠E(X1)，因为{N(t)=1}{X1≤t}, 即{N(t)=1}发生意味着首次更新的时间小于或等于t， {N(t)=1}与X1不独立。一般地，E(X1|N(t)=n)≠EX1,n ≥1。 (3) {N(t)>n}{Tnn}发生，则{Tnn}不一定发生。下面我们来看N(t)的具体分 布。 因为{N(t)≥n}{Tn≤t},所以 P{N(t)=n}=P{N(t)≥n}-P{N(t)≥n+1} =P{Tn≤t}-P{Tn+1≤t} =P∑ni=1Xi≤t-P∑n+1i=1Xi≤t。(3.1.2) 以M(t)记E［N(t)］并称之为更新函数，要注 意,M(t)是关于t的函数而不是随机变量。 定理3.1M(t)=E［N（t）］=∑∞n=1P{N（t） ≥n}=∑∞n=1P{Tn≤t}。 证明M(t)=E［N(t)］ =∑∞n=1nP{N(t)=n} =∑∞n=1n［P{N(t)≥n}-P{N(t)≥n+1}］ =∑∞n=1P{N(t)≥n} =∑∞n=1P{Tn≤t}。■ 例3.1考虑一个时间离散的计数过程{Nj,j=1,2,… },在每个时刻独立地做Bernoulli试验，设成功的概率 为p，失败的概率为q=1-p。以试验成功作为事件（更新 ），则此过程是更新过程，求它的更新函数M(k)。 解首先,易知更新的时间间隔为独立的同几何分布 P{Xi=n}=qn-1p,i=1,2,…,n=1,2,… 则第r次成功（更新）发生的时刻Tr=∑ri=1Xi, 具有负二项分布 P{Tr=n}=Cr-1n-1qn-rpr。 由此,有 P{Nm=r}=P{Tr≤m}-P{Tr+1≤m} =∑mn=rCr-1n-1qn-rpr-∑mn=r+1Cr