从一到无穷大(科学中的事实与猜想)

作者简介

乔治·伽莫夫（1904-1968，George Gamow），世界**物理学家和天文学家，被誉为科普界的“一代宗师”，一生正式出版的25部著作中，有18部是科普作品，多部作品风靡**，《从一到无穷大》*是他的代表作。1956年，联合国教科文组织为表彰他在科学普及方面的巨大贡献，特向他颁发卡林伽科普奖。

内容简介

第1章大数 你*多能数到几 有这样一个故事。两个匈牙利贵族决定玩一场游戏，看看谁能说出世界上*大的数。 一个人说：“你先说吧。” 经过几分钟的苦苦思索，第二个贵族终于说出了他能想到的*大的数。 “三。”他说。 现在轮到**个人思考了。一刻钟以后，他认输了。 “你赢了。”他说。 当然，这两个匈牙利贵族的智力水平表现堪忧，这个故事可能只是一种恶意污蔑。不过，类似对话在霍屯督人之中可能的确发生过。根据非洲探险家的说法，许多霍屯督部落的语言中没有表示三以上数字的词语。当你向那里的原住民询问他有多少儿子或者杀死过多少敌人时，如果这个数字大于三，他会回答“很多”。所以，就计数而言，只能数到十的美国幼儿园儿童**可以轻松击败凶猛的霍屯督战士。 现在，只要在某个数字右边写下足够多的零，我们就可以写出我们希望表示的任意大数 — 不管这个大数表示的是以美分为单位的战争支出，还是以英寸为单位的恒星距离。我们已经习惯了这种做法。你可以不停地画圈，直到你的手感到疲惫。你会不知不觉写下一个比宇宙中原子总数还要大的数。顺便说一句，宇宙中的原子总数是 300,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000。 你也可以使用*加简洁的形式记录这个数：3×1074 。 在这里，数字 10 右上角那个小小的 74 意味着你必须写出 74 个零。换句话说，3 必须乘以 74 次 10。 不过，这种“简易算术”系统在古代并不为人所知。实际上，它是某个不知名的印度数学家在不到两千年前发明的。在他的伟大发现之前 — 这在当时的确是一项伟大发现，尽管我们通常没有意识到这一点 — 人们在计数时会使用特殊符号，我们**的每一个十进制单位对应于一个特殊符号。十进制单位上的数是几，这个符号就重复几次。例如，下面是古埃及人记录的 8732： 而恺撒衙门里的职员则会把 8732 写成下面的形式： MMMMMMMMDCCXXXII 你一定对后一种计数法感到熟悉，因为**的人们有时仍然会使用罗马数字 — 用于表示一本书的卷数或章节，或者在庄重的纪念碑上记录历史事件的*期。不过，由于古代的记录需求不会超过四位数，因此表示*高十进制单位的符号并不存在。如果你让古罗马人写下“一百万”，不管他在算术方面接*过多么良好的教育，他都会陷入极为尴尬的境地。对他来说，要想满足这个要求，*好的办法就是连续写下一千个 M，这需要几个小时的辛勤劳动（图 1）。 对古代人来说，天上的星星、海里的鱼或者沙滩上的沙粒这类**大的数是“无法计算的”，正如“五”对霍屯督人来说是无法计算的。霍屯督人只会将“五”看作“很多”。 公 元 前 3 世 纪， 具 有 伟 大 头 脑 的 著 名 科 学 家 阿 基 米 德（Archimedes）指出，人们可以写出**大的数。阿基米德在著作《数沙者》中写道： 一些人认为沙粒的数量是无限的；我所说的沙粒不是指存在于叙拉古附近和西西里其他地方的沙粒，而是指地球上有人居住和无人居住的所有地区的所有沙粒。还有一些人认为这个数字不是无限的，但是他们认为超过地球沙粒数量的数字是写不出来的。显然，对于持有这种观点的人来说，如果他们想象出一个与地球大小相等的沙球，上面与地球上所有海洋和所有洼地相对应的位置都被填充到*高山峰的高度，那么他们可以*加肯定地说，表示这些沙粒的数字和比它还要大的数字是表示不出来的。不过，我会努力说明，我所写出的一些数不仅超过了按照上述方法填充的与地球一样大的沙球中的沙粒数量，而且可以等同于与宇宙一样大的沙球中的沙粒数量。 阿基米德在这本著作中提出的大数表示方法与现代科学的大数表示方法类似。他从古希腊算术中*大的数入手，这个数是一万。接着，他引入了一个新数，即一万万，他称之为“亿”或“二级单位”。“亿亿”被称为“三级单位”，“亿亿亿”被称为“四级单位”，依此类推。 大数的表示似乎是一个微不足道的话题，不值得花费几页纸的篇幅。不过，在阿基米德的时代，大数的表示方法是一个伟大发现，是数学科学的一项重要进步。 为了计算填充整个宇宙所需要的沙粒数量，阿基米德需要知道宇宙有多大。在那个时代，人们认为宇宙是一个水晶球，固定的恒星附着在球面上。萨摩斯人阿利斯塔克（Aristarchus）是与阿基米德同时代的**天文学家，他估计地球与天球边缘的距离是10,000,000,000 斯塔德，约为 1,000,000,000 英里。 阿基米德比较了天球和沙粒的大小，完成了一系列复杂到足以成为高中生噩梦的计算，*终得出了下面的结论： 显然，阿利斯塔克估计的恒星天球包裹的空间可以容纳的沙粒数量不超过一千万个八级单位。 你可能会注意到，阿基米德使用的宇宙半径估计值比现代科学家的估计值小得多。十亿英里的距离只比太阳系中地球到土星的距离稍微多一点。我们稍后将会看到，现在的望远镜对宇宙的探测距离已经达到了 5,000,000,000,000,000,000,000 英里。所以，填充整个 可见宇宙所需要的沙粒数量应该超过：10100 （1 后面 100 个零）。 当然，这比本章开头提到的宇宙中的原子总数 3×1074 大得多。 然而，我们一定不要忘了，宇宙并非充满了原子。实际上，每立方米空间平均只有大约一个原子。不过，要想获得**大的数，我们根本不需要做出用沙子填充宇宙这样**的事情。实际上，大数常常出现在看似**简单的问题中，你甚至不会想到这些问题中会出现超过四位的数。 大数的*害者之一是印度舍罕王（King Shirham）。根据古老的传说，**大臣西萨·本·达希尔（Sissa Ben Dahir）发明了**象棋，并且献给了国王。国王想要奖励他。聪明的**大臣似乎没有太大的**。他跪在国王面前，说道，“陛下，请在棋盘**格为我摆上一粒小麦，第二格摆上两粒小麦，第三格摆上四粒小麦，第四格摆上八粒小麦，每一格的数量如此加倍。哦，国王，请为我提供足以摆满 ** 格棋盘的小麦。” “哦，爱卿，你要的并不多。”国王叫道。他觉得为神奇游戏发明者提供礼物并不会使他失去太多财富，因此感到有些欣喜。“你的愿望一定会得到满足。”他命人把一袋小麦带到宝座前。 计数开始了。**格一粒小麦，第二格二粒，第三格四粒，依此类推。还没有算到第二十格，袋子已经空了。*多袋小麦被带到国王面前。不过，每一格麦粒数的增长极为迅速。人们很快意识到，即使交出印度所有粮食，国王也无法满足他对西萨·本的承诺。他需要向西萨提供 18,446,744,073,709,551,615 个麦粒！ 这个数没有宇宙中的原子总数那么大，但它仍然**大。假设 1 蒲式耳小麦含有大约 5,000,000 个麦粒，要想满足西萨·本的要求，你需要大约 4 万亿蒲式耳 。**小麦每年的平均产量约为2,000,000,000 蒲式耳，因此**大臣的要求相当于**小麦大约两千年的总产量！ 因此，舍罕王欠了**大臣很大一笔财富。他有两个选择，一是接***大臣持续不断的要求，二是砍下他的头。我们怀疑他选择了后者。 另一个由大数扮演主要角色的故事同样来自印度，它与“世界末*”问题有关。喜欢数学的历史学家 W. W. R. 鲍尔（W. W. R.Ball）讲述了下面的故事： 贝那拉斯大神殿穹顶下方是世界中心，那里有一块铜板，上面固定着三个钻石针柱，每个针柱高一腕尺（1 腕尺约为 20 英寸），粗细与蜜蜂的身体相同。在创造这些针柱时，上帝在其中一根针柱上放置了 ** 个纯金圆盘，*大的圆盘放在铜板上，接下来的圆盘越来越小，直到**的圆盘。这就是梵天塔。值班僧侣*夜不停地将圆盘从一根针柱移到另一根针柱上。根据固定不变的梵天法则，僧侣一次只能移动一个圆盘，而且永远不能让小圆盘位于大圆盘下方。当所有 ** 个圆盘按照这种方式从上帝*初放置的针柱转移到另一根针柱上时，梵天塔、庙宇和婆罗门都会化为尘土，世界也会在霹雳声中消失。 图 3 展示了故事中的情景，但是图中的圆盘数量没有画够。你可以用纸板圆盘代替印度传说中的黄金圆盘，用长铁钉代替钻石针柱，亲自制作一个谜题玩具。你不难找到移动圆盘的一般规则。当你找到这个规则时，你会发现，转移每个圆盘所需要的移动次数是前一个圆盘的两倍。**个圆盘只需要移动一次，但是接下来每个圆盘的移动次数会以几何级数增长。当第 ** 个圆盘完成转移时，你的移动次数将与西萨·本·达希尔索要的麦粒数量一样多！ 将梵天塔的所有 ** 张圆盘从一根针柱转移到另一根针柱需要多长时间？假设僧侣们夜以继*地工作，没有节假*休息，每秒钟移动一次。一年大约有 31,558,000 秒，因此完成这项工作需要 58 万亿年多一点。 我们可以将这个纯属臆测的宇宙寿命预测与现代科学的预测进行比较。根据目前关于宇宙演化的理论，恒星、太阳以及包括地球在内的行星是在大约 3,000,000,000 年前由没有形状的物质形成的。 我们还知道，为太阳和其他恒星提供能源的“原子燃料”还可以持续 10,000,000,000 或 15,000,000,000 年（见“创造之*”一章）。因此，宇宙的总寿命一定小于 20,000,000,000 年，它并没有印度传说预测的 58 万亿年那么长。不过，这毕竟只是一个传说！ **的“打印行问题”中出现的数可能是文献中提到过的*大的数。假设我们制造了一台印刷机，可以一行接一行地连续打印，并且可以自动为每一行选择字母和其他打印符号的不同组合。这种机器由许多不同的圆盘组成，每个圆盘的边缘排满了字母和符号。 圆盘之间的齿轮机关与汽车里程表上的数字圆盘相同。如果一个圆盘转满一圈，旁边的圆盘就会前进一位。圆盘每移动一次，来自滚筒的纸张就会朝着打印机自动前进一次。制造这种自动印刷机不会有太大困难。图 4 是这种印刷机的示意图。 让我们启动机器，检查由它不断打印出来的一行行文字。大多数的打印行没有任何意义。它们看上去是这样的： “aaaaaaaaaaa...” 或者 “boobooboobooboo...” 或者 “zawkporpkosscilm...” 不过，由于这台机器可以打印出字母和符号的所有可能组合，因此我们可以在毫无意义的垃圾之中找到各种有意义的句子。当然，许多句子是没有用的，比如： “horse has six legs and...”（马有六条腿） “I like apples cooked in terpentin...”（我喜欢松节油炒苹果） 不过，你也可以在查找中发现莎士比亚写下的每一行文字，包括被他丢进垃圾筒的文字！ 实际上，这种自动印刷机可以打印出人类自从学会书写以来写出的一切事物：每一行散文和诗歌，报纸上的每一篇社论和广告，每一本沉闷的科学专著，每一封情书，每一张写给送奶工的便条…… 此外，这台机器还可以打印出人类在未来几个世纪将会打印出的一切。在圆筒旋转出的纸张上，我们可以找到 30 世纪发表的诗歌、未来的科学发现、美国第 500 届国会上的发言以及 2344 年的行星内部交通事故报告。你会发现人类目前从未写过的一页页短篇和长篇小说。在地下室里拥有这种机器的出版商只需要从一堆垃圾中选择和编辑**的段落 — 这也是他们目前正在做的事情。 为什么这种想法不能变成现实？ 让我们数一数这台机器为了呈现字母和其他打印符号的所有组合需要打印的行数。 英文字母表中有 26 个字母。此外，还有十个数字（0，1，2，…，9）和 14 个常用符号（空格、句号、逗号、冒号、分号、问号、感叹号、破折号、连字符、引号、撇号、小括号、中括号、大括号），共 50 个符号。让我们假设印刷机有 65 个轮子，对应一行文字通常包含的 65 个位置。一个打印行可以始于任何符号，因此**个位置有 50 种可能性。对于其中的每一种可能性，打印行的第二个位置都有 50 种可能性。也就是说，两个位置共有 50×50 = 2500 种可能性。 对于前两个字符的每一种给定组合，我们可以在第三个位置选择 50种符号，依此类推。整个一行可能的排列数量可以表示成： 50×50×50×…×50 65 个 即 5065 其数量级为 10110 为了感*这个数有多大，假设宇宙中的每个原子代表一台单独的印刷机。也就是说，我们有 3×10 74 台同时工作的机器。假设所有这些机器从宇宙诞生时起一直在连续工作，已经工作了 30 亿年，即10 17 秒。假设它们以原子的振动速度打印文字，即每秒 10 15 行。到目前为止，它们已经打印了大约： 3×10 74 ×10 17 ×10 15 = 3×10106 行 — 只占所需总数的大约三千分之一。而且，对于所有这些自动打印出来的材料来说，任何选择都需要花费很长的时间。 ◎联合国教科文组织卡林伽奖获得者的大师手笔 ◎风靡世界数十年，入门科普读物中的明珠， ◎双色图文呈现，译文*贴近当代读者阅读习惯 ◎爱因斯坦亲自撰文**，清华大学新生入学****本书