高等数学（上）（第二版）

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第1章 函数与极限
　　高等数学的研究对象是函数，函数是用来描述变量与变量之间的相互关系的.极限是研究函数的主要工具;连续是函数的最基本性质.本章主要介绍函数、极限和连续的概念，极限的求法和连续函数的基本性质.
　　1.1 集合映射函数
　　1.1.1 集合
　　1.集合的概念
　　集合是数学中的一个基本概念.所谓集合(简称集)是指具有某种特定性质的事物的总体.组成这个集合的事物称为该集合的元素.若a是集合M的元素，记作a∈M(读作a属于M);若a不是集合M的元素，记作aM(读作a不属于M).
　　由有限个元素构成的集合称为有限集合，由无限个元素构成的集合称为无限集合.
　　通常用大写字母表示集合，用小写字母表示集合中的元素.
　　集合的表示方法通常有两种:一种是列举法，另一种是描述法.
　　列举法，由有限个元素组成的集合，可用列举它的全体元素的方法表示.例如，由元素组成的集合A，可记作
　　描述法，由无穷多个元素组成的集合，通常用如下记号表示:设B是具有某种特征的元素x的全体所组成的集合，记作
　　B={x|x所具有的特征}.
　　例如，xOy平面上以原点为中心，以2为半径的圆周上点的全体组成的集合记作
　　B={(x，y)|x、y为实数，x2+y2=4}.
　　注意本书后面章节用到的集合主要是数集，即元素都是数的集合.如果没有特别声明，以后提到的数都是实数.
　　习惯上将全体实数组成的集合记作R;全体有理数组成的集合记作Q;全体整数组成的集合记作Z;全体自然数组成的集合记作N.
　　2.区间和邻域
　　区间是一类常用的数集，设a和b都是实数，且a＜b，集合{x|a＜x＜b}称为开区间，记作(a，b)，如图1.1.1(a)所示.即
　　(a，b)={x|a＜x＜b}.
　　图1.1.1
　　类似地，{x|a≤x≤b}称为闭区间，记作[a，b]，如图1.1.1(b)所示;集合{x|a＜x≤b}称为左开右闭区间，记作(a，b];集合{x|a≤x＜b}称为左闭右开区间，记作[a，b).(a，b]和[a，b)统称为半开半闭区间.
　　此外，还有无限区间，引进记号+∞(读作正无穷大)及-∞(读作负无穷大)，则可类似表示无限区间.
　　(1)[a，+∞)={x|x≥a}，如图1.1.1(c)所示;
　　(2)(-∞，b)={x|x＜b}，如图1.1.1(d)所示;
　　(3)(-∞，b]={x|x≤b};(a，+∞)={x|x＞a}.
　　另外，全体实数的集合R常记作区间(-∞，+∞)，它也是无限区间.
　　邻域是一个特殊的开区间，设a和δ是两个实数，且δ＞0，则称数集{x|＜δ}为点a的δ邻域.它表示与点a的距离小于δ的点的集合，记作U(a，δ)，即
　　-U(a，δ)={x|a-δ＜x＜a+δ}.
　　图1.1.2
　　点a称为这个邻域的中心，δ称为这个邻域的半径，如图1.1.2所示.
　　点a的δ邻域去掉中心点a后的集合称为点a的去心δ邻域，记作，即
　　1.1.2 映射
　　1.映射的概念
　　两个集合的元素之间有时候会存在某种联系，通过建立某种对应法则，可以把两个集合的元素对应.
　　例如，设A表示某班参加考试的学生的集合，B表示该班这次考试成绩的集合.每个学生和自己的考试成绩对应，这就建立了从集合A到集合B的一个对应法则.一般地，若记f为两个集合的元素之间的一个对应法则，当f满足一定条件时就称为映射.
　　定义1.1.1 设X，Y是两个非空集合，若存在一个法则f，使得对X中每个元素x，按法则f在Y中有唯一确定的元素y与之对应，则称f为从X到Y的映射，记作
　　式中:元素y称为元素x(在映射f下)的像，并记作f(x)，即y=f(x);而元素x称为元素y(在映射f下)的一个原像;集合X称为映射f的定义域，记作Df，即Df=X.
　　X中所有元素的像所组成的集合称为映射f的值域，记作Rf，或f(X)，即
　　Rf=f(X)={f(x)|x∈X}.
　　上面提到的每个学生和自己的考试成绩对应，这个对应法则是映射，因为A中任意一个元素即参加考试的学生，存在唯一一个分数，即B中的元素与之对应.A是映射f的定义域，每个学生的成绩是学生的像，而学生是自己成绩的原像.
　　根据映射的定义可知:
　　(1)构成一个映射必须具备三个要素，即定义域、值域和对应法则.
　　(2)对每个x∈X，元素x的像y是唯一的;而对每个y∈Rf，元素y的原像不一定是唯一的;映射f的值域Rf是Y的一个子集，即Rf？Y，不一定Rf=Y.
　　例1.1.1 设f:R→R，对每个x∈R，f(x)=|x|.
　　显然，f是一个映射，Df=R;值域Rf={y|y≥0}，Rf是R的一个真子集.对于Rf中的元素y，除y=0外，它的原像不是唯一的.例如，y=1的原像就有x=1和x=-1两个.
　　2.满射、单射和双射
　　设f是从集合X到集合Y的映射，若Rf=Y，即Y中任一元素y都是X中某元素的像，则称f为X到Y上的映射或满射;若对X中任意两个不同元素x1≠x2，它们的像f(x1)≠f(x2)，则称f为X到Y的单射;若映射f既是单射，又是满射，则称f为一一映射(或双射).
　　图1.1.3清楚地表明单射、满射和双射之间的关系.
　　图1.1.3
　　(a)双射(单射与满射);(b)单射但非满射;(c)满射但非单射;(d)非满射非单射
　　1.1.3函数
　　1.函数的概念
　　定义1.1.2设数集D？R，则称映射f:D→R为定义在D上的函数，通常简记为
　　y=f(x)(x∈D).
　　式中:x为自变量;y为因变量;D为定义域，记作Df，即Df=D.
　　从函数的定义可知，函数是从实数集到实数集的映射，其值域总在R内.对每个x∈D，按照对应法则f，总有唯一确定的值y与之对应，这个值称为函数f在x处的函数值，记作f(x)，即y=f(x).因变量y与自变量x之间的这种依赖关系，称为函数关系.函数值f(x)的全体所构成的集合称为函数f的值域，记作Rf或f(D)，即
　　Rf=f(D)={y|y=f(x)，x∈D}.
　　构成函数的要素是定义域Df及对应法则f.如果两个函数的定义域相同，对应法则也相同，那么这两个函数就是相同的，否则就是不同的.例如，函数f(x)=x与函数g(x)=定义域相同，但对应法则不同，值域也不同，从而这两个函数是不同的函数.
　　当函数对应法则用含有数学关系的等式给出时，这种表示函数的方法称为解析法，这种方法是表示函数的常用方法.
　　设函数y=f(x)，定义域为D.直角坐标平面上的点集:
　　{P(x，y)|y=f(x)，x∈D}
　　称为函数y=f(x)，x∈D的图形.函数图形能直观、简明地表达函数关系.
　　在实际应用中我们经常会遇到在自变量的不同变化范围中，对应法则用不同式子来表示的函数，这种函数称为分段函数.
　　例如，函数y=sgnx=称为符号函数.其定义域为D=(-∞，+∞)，值域为Rf={-1，0，1}，如图1.1.4所示.
　　又如，x为任意实数，不超过x的最大整数称为x的整数部分，记作[x].函数y=[x]称为取整函数，其定义域为D=(-∞，+∞)，值域为Rf=Z.
　　例如，[-7.6]=-8，=-2，[0]=0;=2，[π]=3，如图1.1.5所示.
　　图1.1.4
　　图1.1.5
　　图1.1.6
　　亦如，函数y=这是一个分段函数，其定义域为D=(-∞，+∞)，值域为Rf=(-∞，2].当x＜1时，y=x+1;当x≥1时.
　　例如，如图1.1.6所示.
　　2.函数的几种特性
　　1)函数的有界性
　　设函数f(x)的定义域为D，数集X？D.若存在数K1，使对任一x∈X，有f(x)≤K1，则称函数f(x)在X上有上界，而称K1为函数f(x)在X上的一个上界.其图形在直线y=K1的下方.
　　若存在数K2，使任一x∈X，有f(x)≥K2，则称函数f(x)在X上有下界，而称K2为函数f(x)在X上的一个下界.其图形在直线y=K2的上方.
　　若存在正数M，使对任一x∈X，有|f(x)|≤M，则称函数f(x)在X上有界，其图形在直线y=-M和y=M之间;若这样的M不存在，则称函数f(x)在X上无界.函数f(x)无界，就是说对任何M，总存在x0∈X，使|f(x0)|＞M.
　　例如:函数f(x)=sinx在(-∞，+∞)上是有界的，|sinx|≤1;函数f(x)=在开区间(0，1)内无上界但有下界.
　　这是因为，对于任一M＞1，总有x0:0＜x0＜＜1，使
　　f(x0)=＞M，
　　所以函数无上界.
　　函数f(x)=在(1，2)内是有界的.
　　2)函数的单调性
　　设函数y=f(x)的定义域为D，区间I？D.若对于区间I上任意两点x1及x2，当x1＜x2时，恒有
　　f(x1)＜f(x2)，
　　则称函数f(x)在区间I上是单调增加的，如图1.1.7(a)所示.
　　若对于区间I上任意两点x1及x2，当x1＜x2时，恒有
　　f(x1)＞f(x2)，
　　则称函数f(x)在区间I上是单调减少的，如图1.1.7(b)所示.
　　图1.1.7
　　单调增加和单调减少的函数统称为单调函数.
　　例如，函数y=x2在区间(-∞，0]上是单调减少的，在区间[0，+∞)上是单调增加的，在(-∞，+∞)上不是单调的.
　　3)函数的奇偶性
　　设函数f(x)的定义域D关于原点对称(即若x∈D，则-x∈D).若对于任一x∈D，有
　　f(-x)=f(x)，
　　则称f(x)为偶函数.
　　若对于任一x∈D，有
　　f(-x)=-f(x)，
　　则称f(x)为奇函数.
　　偶函数的图形关于y轴对称，奇函数的图形关于原点对称.
　　若f(x)是偶函数，则f(-x)=f(x)，点A(x，f(x))是图形上的点，则它关于y轴的对称点为A′(-x，f(x))也在图形上，如图1.1.8(a)所示.
　　若f(x)是奇函数，则f(-x)=-f(x)，点A(x，f(x))是图形上的点，则它关于原点的对称点为A′(-x，-f(x))也在图形上，如图1.1.8(b)所示.
　　图1.1.8
　　例如:y=x2，y=cosx都是偶函数;y=x3，y=sinx都是奇函数;y=sinx+cosx是非奇非偶函数.
　　4)函数的周期性
　　设函数f(x)的定义域为D.若存在一个正数l，使得对于任一x∈D有(x±l)∈D，且
　　f(x+l)=f(x)，
　　则称f(x)为周期函数，l为f(x)的周期.
　　如果l是f(x)的周期，显然l的整数倍kl也是周期，那么函数的周期不唯一.通常所说的周期是指函数的最小正周期.
　　例如:sinx、cosx是以2π为周期的周期函数;tanx是以π为周期的周期函数.
　　周期函数的图形特点是在函数的定义域内，每个长度为l的区间上，函数的图形有相同的形状，如图1.1.9所示.