从光子到神经元--光成像和视觉

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内容简介

前言：预备知识
　　自然之美在于细节，
　　但它同时展现出普遍性。
　　理解两者才能充分理解自然。
　　——斯蒂芬 杰伊 古尔德(Stephen Jay Gould)
　　本书正式内容将从第1章开始。本章将简要回顾概率论的一些概念，也顺带给出本书的部分符号定义。如果你对这些概念比较陌生，可以阅读本章结尾的参考文献。你也可以先试着推导一些下文列出的部分结果，其中许多结论可以依据提示通过简单几行推导而获得。
　　后续章节会提供类似的简明背景介绍，以扩充这里引入的概念或者综述其他基础知识。
　　0.1 导读：不确定性
　　在日常生活中，我们为了优化某些东西而做出无数次决策，例如如何快速又安全地过马路。在科学研究中，我们尝试理解事物的运转机制，这不仅是因为我们对其本身有兴趣，也是为了其他更大的目标，例如寻找某种疾病的治疗方法。但无论是在生活还是科研中，我们都受到不确定性的困扰，即在看似完全相同的环境(或实验流程)条件下，重复完全相同的动作(或实验)却未必能得到相同的结果。
　　这种不确定性可能是我们对有关事实不够了解而造成的，而这些事实原本可以被了解得更透彻。例如：
　　 当在有来车的情况下过马路的时候，司机的性格和当时的心理状态无疑会影响到我们行动的谨慎程度。
　　 患者的个人病史、家族病史及其基因型或许会显著影响其对特定治疗方案的反应。
　　然而，在其他情况下，不确定性却反映了某种固有的随机性(或噪声)：
　　 由于地球系统的高度复杂性，突发的阵风或其他天气现象无法预测。
　　 宇宙射线引起的基因突变也是不可预测的。
　　在科学上，我们通常需要区分系统以及研究它的设备。相应地，不确定性也来自这两个方面：
　　 细胞分裂时，亲代细胞中的不同调控分子可能会被分配到任一个子代细胞，但其具体数量是不可预测的。
　　 由于测量仪器和测量程序的精度问题，每次重复测量(例如钟摆周期)都存在细微的误差。
　　本章要建立一个概念框架来量化上述不确定性，并探讨从随机事件能导出什么结论。
　　0.2 离散概率分布
　　如前所述，任何物理系统多少都存在一些随机性，而且(几乎)所有测量仪器还会增加额外的随机性。但另一方面，自然界的确又存在着某些规律。为了找出这些规律，我们需要发展出一些工具来描述这种不确定性。
　　即使在不确定的情况下，我们也并非完全无法做出预测。例如，当我们过马路时发现一米远处正好开来一辆高速汽车，此时过街肯定不是一个好主意。同理，如果我们对某个量感兴趣但尚未完成测量，那么对测量值的任何断言，我们都可以根据目前已有的部分信息赋予其一个置信度或概率。我们用位于0(命题为假)和1(命题为真)之间的数字来表示概率。
　　0.2.1 概率分布展示了我们对不确定性的认知
　　为了量化概率，下面考虑一个在日常生活中不太现实但在实验室中经常出现的情况。
　　 设想这样一个实验或测量，其可能结果是离散数，例如细胞中某种类型分子的数量。如果我们知道在细胞分裂之前这类分子有M个，且在整个分裂过程中这类分子既没有产生也没有湮灭，则在一个子代细胞中这类分子数将是0与M之间的整数。
　　 假设上述实验可以进行多次(“重复试验”)，且每一次试验都精确复制了每一个相关因素。这种情况称为可重复实验。
　　 除了实验已经观察到的实际值外，还假设我们没有任何相关的先验信息。
　　在这种情况下，统计每个结果被观察到的次数N(也称为结果的“频率”)是有意义的，并且可以给每个允许值赋予一个置信度
　　(0.1)
　　这个公式可能不是很现实(因为我们能做的观察次数有限)，但是它原则上定义了的函数，即离散概率分布。值得注意的是：
　　任何离散概率分布的值都是处于0与1之间的无量纲数。
　　我们的测量就是“从分布P中抽样”。图0.1显示了用有限抽样数据制作直
　　方图从而估计分布的一个例子。
　　图0.1[数据总结。]离散概率分布的经验估计。(a)一个无偏硬币抛掷600次，统计相邻两次“正面向上”的间隔次数j。本图是各种结果出现频率的柱状图(或直方图)。本例中共有Ntot=289个间隔次数数据，没有观察到j>7的数据。(b)根据公式0.1，每个频率除以Ntot就是估算的概率分布。这个结果也能用柱状图表示。(c)将(b)的估计分布用半对数坐标表示，证明其大致呈指数形式。你将在习题0.3中解释这个经验事实。
　　我们假定每次试验都给出一个确定结果，则所有N.的总和必须等于Ntot，即
　　(0.2)
　　我们将样本空间定义为所有允许结果的列表，将事件定义为样本空间的子集.，还能得到一个紧密相关的公式。例如，在玩牌游戏中，样本空间可以是从52张牌中每次抽5张的不同组合的集合，而其中的一个事件就是称为“满堂红”的子集Efh，我们也可以称Efh为“被抽到满堂红”的事件。一个有意义的问题是从洗好的标准扑克中抽出的5张牌有多大概率恰是满堂红。
　　如果两个事件E1和E2的结果没有交集，我们称它们是“互斥的”，则方程0.1意味着
　　(0.3)
　　更一般地
　　(0.4)
　　在上述两个公式中，符号or表示两个事件的并集，结果表示为E1 or E2。符号and表示两个事件的交集，互斥事件的交集是空集(此时公式0.4还原为公式0.3)。
　　因为每个结果要么属于E、要么不属于E，所以我们也有一个“减法规则”：
　　(0.5)
　　0.2.2 条件概率可以量化事件之间的相关程度
　　多个事件或其组合也可以用概率来描述。例如，事件E表示个体患有某种疾病，而事件E′表示针对该疾病的特定测试结果呈阳性。如果测得E′为真，那么我们可以推测E的概率。为了精确地表达这种直觉，可以引入条件概率：
　　(0.6)
　　公式左边是“给定E′时E为真的概率”。重排公式有
　　(0.7)
　　如果E′为真无助于预测E，即P(E|E′)=P(E)，我们就称两个事件是统计独立的，乘法规则可简化为
　　(0.8)
　　而统计不独立的事件被称为相关的。
　　0.2.3 随机变量可以由其期望和方差来部分描述
　　我们感兴趣的事件通常都涉及某个可测的数值变量，称为随机变量。如果这个数值总是整数(例如某类分子的数量)，我们就得到离散分布。令表示变量.取特定值的事件，其发生概率可表示为，可进一步缩写成或。
　　虽然分布是的函数，但我们通常可用两个量来近似反映它，即的期望，
　　(0.9)
　　及其方差
　　(0.10)
　　注意，尽管出现在公式中，但和var都不是变量的函数，这里出现的符号只是告诉我们正在讨论的是该变量的期望和方差，每个表达式本身都只是一个数字，这两个数值都取决于描述的分布。
　　任何的函数都可以用来生成一个新的随机变量。如果f是的函数，在此我们将使用相同的字符f来表示对应的随机变量，该随机变量是通过对抽样再将它们输入函数f来定义的。我们可以拓展上面的定义
　　(0.11)
　　其他书籍使用符号E(f)或μf来代表“f的期望值”，与此处使用的同义。方程0.9表明这些符号是指该随机变量的无限多次重复测量的均值(平均值)。另外，分布的标准偏差定义为方差的平方根，而相对标准偏差则是标准偏差除以期望：
　　(0.12)
　　此处的期望值并非“某个有限次测量集合的均值”，后者称为样本均值，表示为f。样本均值本身也是一个随机变量：如果我们重复做有限次测量，就会得到不同的均值。相反地，期望仅仅是f自身分布的特性。
　　期望的一个关键性质是线性：如果f和g是任意两个随机变量，而a和b是任意两个常数，则
　　(0.13)
　　方差没有简单的线性，例如，并且和的方差不一定是各个方差之和(见0.2.4节)。但是方差确实存在一个实用的等价形式：
　　(0.14)
　　0.2.4 联合分布
　　有时我们测量的变量多于一个，因而得到一个联合分布：事件表示**个可观测随机变量取值为，E′s0表示同一试验中第二个可观测随机变量取值为s0。我们将作为联合事件发生的概率的缩写。我们将样本空间(可能的结果)划分成许多不重叠的子集(结果的类别)，联合事件(E.0 and E′s0)中和s0的值覆盖所有的允许值。联合分布可用于计算和s0的某些函数的期望，我们不必对每个观察结果求和，只需对联合事件求和。比如求乘积的期望：
　　(0.15)
　　现在假设两个随机变量统计独立，则由方程0.8可以导出
　　在这个公式中，是特定值的概率分布，与s值无关；Ps也类似。此时方程0.15所示的乘积的期望将变得更简单：
　　(0.16)
　　上式与方程0.14联合，可知
　　(0.17)
　　用同样的方法可求出。综上可得如下结论
　　两个独立随机变量的和或差的方差等于各自方差的和。
　　(0.18)
　　衡量两个随机变量相关程度的一种度量称为协方差，其定义如下
　　(0.19)
　　方程0.16意味着如果和s统计独立，则协方差等于零。另一个有用的相关度量是无量纲的相关系数，定义为
　　(0.20)
　　虽然两个不相关的变量的相关系数等于零，但反之则不然。相关系数可以用来检验两个随机变量之间是否存在线性关系，但也不排除可能存在其他类型的相关性。