机器人学的现代数学理论基础(科学出版社十四五普通高等教育研究生规划教材)

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第1章 绪论
　　1.1 几何代数的发展
　　David Hestenes将应用几何方法描绘和分析代数问题的数学计算工具命名为几何代数。为了纪念William K. Clifford为几何代数发展所做出的奠基性贡献，几何代数又称克利福德代数(Clifford algebra)。发展到19世纪上半叶，数学上出现了两项革命性的发现—非欧几何与不可交换代数。
　　欧氏几何是人类创立的**个相对完整严密的数学体系，对科学和哲学的影响极其深远。约在1826年，俄国数学家Nikolas lvanovich Lobachevsky和匈牙利数学家JánosBolyai首先提出了与通常的欧几里得几何不同的、但也是正确的几何—非欧几何。非欧几何的创立打破了两千多年来欧氏几何一统天下的局面，它开辟了几何学的新领域，将研究提升到了一个崭新的高度，是自古希腊辉煌成就以来数学的一次伟大变革，是20世纪相对论产生的前奏和准备。非欧几何所导致的思想解放对现代数学和现代科学有着极为重要的意义，使得人类终于开始突破感官的局限而探究自然的更深层次本质。
　　德国数学家Georg Friedrich Bernhard Riemann 1854年推广了空间的概念，建立了一种更广泛的几何领域—黎曼几何。黎曼几何的创立既承认了Lobachevsky 建立的罗氏几何，又显示了其他非欧几何创造的可能性。19世纪后期，数学家EugenioBeltrami、Felix Christian Klein、Jules Henri Poincaré在欧氏空间建立了非欧几何的模型，非欧几何得到了认可。而非欧几何的发现还促进了对公理方法的深入探讨，1899年德国数学家David Hilbert 发表论文Foundations of Geometry，以此分析了公理的完备性、相容性和独立性等问题，做出了突出的贡献。
　　另外，关于代数的发展方面，1798年意大利人Paolo Ruffini首次发表了一元五次方程不能用根式求解的证明。但是当时并没有人理解，直到19 世纪20 年代中期，挪威数学家Niels Henrik Abel 给出了对这个方法的不可能性的完整证明。1828 年阿贝尔在一元四次以上方程的根式求解条件的探究中，引进了置换群的概念，现在通常把置换群叫作阿贝尔群。1829 年法国天才数学家évariste Galois进一步发展了这一思想，把全部根式求解问题转化或者归结为置换群及其子群结构的分析，创立了群论。古典代数的内容是以讨论方程的解法为中心的，而群论出现之后，多种代数系统(环、域、格、布尔代数、线性空间等)被建立起来，Abel 和Galois开创了近代代数学的研究。这时代数学的研究对象扩大为向量、矩阵等，并转向代数系统结构本身的研究。
　　1843年，爱尔兰数学家和物理学家William Rowan Hamilton发现了一种乘法交换律不成立的代数—四元数代数，其标志着向量术语在物理学理论中普遍应用的开始，它的革命思想打开了近代代数的大门。
　　随着几何和代数的发展，二者的研究进一步融合。在19世纪60年代，英国数学家Arthur Cayley基于1806年法国数学家Louis Poinsot 提出的刚体力分析的力中心轴理论以及1830 年法国数学家Michel Floreal Chasles 提出的刚体位移理论，建立了空间直线的六维坐标；德国数学家Julius Plücker 确定了表示直线空间和位置的六个坐标，即Plücker 坐标。在直线几何和线性代数的研究基础之上，1876年爱尔兰数学家、天文学家Robert Stawell Ball 出版了旋量理论的初始论著。英国数学家Clifford在1873 年提出对偶四元数之后，又于1882 年系统地研究了旋量同向量、四元数及对偶四元数的关系。进而，Robert Stawell Ball 结合其之前关于旋量理论的系列研究成果，于1900 年出版了划时代经典著作A Treatise on the Theory of Screw，为旋量理论的发展奠定了基础。
　　随着几何代数的发展，群的概念早已被人们认为是现代数学中最基本的概念之一。群不仅在几何学、代数拓扑学、函数论、泛函分析及其他许多数学分支中起着重要的作用，还形成了一些新的学科，如拓扑群、李群等。李群、李代数产生于19 世纪末，并应用在物理、化学、工程学等多个领域中。
　　19世纪70年代，为了把伽罗瓦理论应用到微分方程的对称性理论中，挪威数学家Marius Sophus Lie 开始进行李群理论的相关研究。(Lie 最初所研究的是局部李变换群及李代数。)1880 年，Lie发表文章Theorie der Transformations Gruppen Ⅰ，正式给出了“变换群”的定义，将群的封闭性确切地予以表示，这篇文章也是李群的分类工作的开端。1884 年，Lie 发表了李群理论研究的一些结果，定义了无限连续群。在19 世纪后期，李代数是Lie 研究连续变换群时引进的一个数学概念。1888～1893 年，在德国数学家Friedrich Engel 的协助下，Lie的主要著作Theorie der TransformationsGruppen Ⅲ 陆续出版，这些工作解决了李群与李代数之间的关系，即李的基本定理。
　　德国数学家基灵(Wilhelm Killing)对李群的结构理论的进步有着重大贡献，他的工作对数学的发展也有着深刻的影响。1884 年，基灵开始研究变换群，发表了文章Erweiterung des Raumbegriffes；1886 年，他发表了文章Zur Theorie der Lie'schenTransformations Gruppen。1884 年，Lie 发现研究与无穷小运动相关的空间形式就相当于用无穷小自同构群来对这些空间形式的几何进行分类，这直接将基灵的研究导向了李代数的分类问题。1888年，Killing 发表了两篇Die Zusammensetzung der StetigenEndlichen Transformations Gruppen 系列文章，接着在随后的两年又发表了两篇，几乎完成了单李代数的分类。其结果简洁而又能揭示更多性质，开创了新的方法和方向。基于Killing 的工作，Elie Cartan进一步进行了研究。1913年，Cartan 开始研究群的表示理论。1914 年，发表文章Les groupes reels simples finis et continus，完成了实数域上有限维单李代数的分类。从1925 年起，Cartan 再次对单李群和半单李群的线性表示理论进行了深入研究，并且开展了“对称黎曼空间”的相关研究，从此开创了微分几何研究的新时代。
　　1925年，德国数学家Hermann Weyl 发表了三篇系列文章，发展了真正融合几何、代数和分析方法的李群表示论的核心理论，李群理论开始成熟。在其出版的著作TheTheory of Groups and Quantum Mechanics 中，首次将李群表示论应用于量子力学中，应用了转动群的线性表示。Weyl 的研究工作使李群理论从真正意义上走进了现代李群发展阶段。Chevally 最早把李群理论用现代数学的语言系统地予以重新整理。
　　李群、李代数是现代数学的基本研究对象，也是现代数学的一个重要领域，对数学、物理等许多领域的影响与日俱增。随着在物理学、几何学等多学科上应用的巨大成功，李群、李代数理论也在不断成长。在近年的发展中，李群和李代数及其推广，如Kac Moody 群和代数、李超代数、量子群等的研究更是全面地展开，这些充分展示了李群和李代数理论的重要性。
　　1.2 现代机构学的发展
　　机构学在广义上又称机构与机器科学(mechanism and machine science)，作为机械工程学科的重要研究分支，旨在研究机构的构型原理与新机构的发明创造、运动学与动力学及其性能分析评价。机构的组成要素是构件和运动副。
　　机构学的发展可以追溯到古代的水车、门锁等简单机械，从东汉时期的浑天仪、文艺复兴时期的计时装置和天文观测器发展到现在的巨型射电望远镜平台，从达 芬奇的军事机械、工业革命时期的蒸汽机到现代的机器人，从百年前莱特兄弟的飞机、奔驰的汽车到现如今的高铁、飞机，从20 世纪60 年代的登月飞船到现代的航天飞机和星球探测器。机构是机械装备创新的基石和源泉，对现代工业技术的发展贡献巨大。
　　随着机构学的深入研究与发展，标志性成果不断涌现。瑞士数学家Leonhard Euler首先把平面运动看成一点的平动和绕该点的转动，这一叠加理论奠定了机构运动学分析的基础。法国的Coriolis 推导了相对速度和加速度的关系，即科氏定理，形成了机构的运动分析原理。英国的James Watt 发明了保证蒸汽机气缸推杆与气泵近似直线运动的连杆机构，即瓦特连杆。英国剑桥大学教授Robert Willis 的著作Principles ofMechanisms 建立了机构运动学的基础。德国的Franz Reuleaux 在其专著Kinematics ofMachinery 中建立了构件、运动副、运动链及运动简图等概念，被誉为机构学的奠基人。德国学者Ludwig Burmester 提出了机构综合的图解法，为机构综合几何图解法体系奠定了基础。俄国科学院院士Chebyschev 首次建立了平面机构的自由度计算数学公式，向机构的数综合(number synthesis)迈出了重要一步。
　　机构是机器人构造和基本运动功能实现的基础，机器人机构学是机器人研究的核心理论，也是现代机构学发展的一个重要标志和重要组成部分。随着机器人应用领域的拓展和任务需求的变化，其技术研发越来越复杂、多元、深入，机器人机构由传统的关节串联型(工业机器人的典型机型)发展成多分支的并联型以及混联型，由刚性机器人发展成柔性机器人再到软体机器人，由全自由度机器人发展到少自由度机器人、欠驱动机器人、冗余度机器人，由宏观机器人发展到微纳机器人等。机器人机构学的发展为机器人技术的繁荣发展注入了蓬勃的生机和活力，同时推动了对现代机构学的深入研究和广泛应用，形成了一些新的研究方向。
　　1.3 机器人机构学与几何代数
　　随着数学在物理学中的广泛应用，越来越多的数学家开始探索几何代数在机构学领域的应用，推动了运动几何学和机构学的发展。机构学的诞生及其早期发展与数学的发展息息相关。20 世纪50～60年代以后，随着控制理论、计算机技术的发展，几何代数逐渐成为研究机构学的重要方法。欧氏几何、线性代数与矩阵理论、用于拓扑分析与综合的图论(graph theory)以及四元数方法、线几何(line geometry)、旋量理论(screw theory)、李群和李代数(Lie group and Lie algebra)等先后被应用到了机构学领域，促进了机构学的发展。机构学的发展中，刚体位移及其相关理论的研究奠定了机器人机构学研究的基础。不同的数学方法在机构学中的作用各有侧重。旋量代数和李群、李代数以其对空间直线运动及相关代数运算描述的几何直观性与代数抽象性而成为21世纪机构学与机器人学研究中最受欢迎的数学工具。
　　美国哥伦比亚大学的Freudenstein 教授利用图论实现了机构拓扑结构的描述，针对平面机构和空间机构的构型综合进行了深入的研究。并且基于解析方法进行了机构运动学和动力学分析与综合，开辟了用计算机进行机构运动学综合的道路。随着不断地研究，线几何、四元数、旋量理论、位移群、微分流形等现代数学工具也被应用到机构的分析与综合中。
　　由于四元数方法具有存储空间小、计算准确率、效率高、表达简洁等优点，近年来在机构运动学、控制、机器人动画等领域广泛应用。
　　旋量理论起源于19世纪，其物理