微分几何入门与广义相对论(中)/现代物理基础丛书

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　　第11章 时空的整体因果结构
　　11.1 过去和未来
　　在狭义相对论中，任一时空点p的全体类时和类光矢量（零元除外）被分为指向未来和指向过去两大类（见小节6.1.6末）．无论弯曲还是平直时空，一点的切空间并无区别（无非是4维矢量空间配以一个洛伦兹度规），因此弯曲时空中任一点的类时和类光矢量（零元除外）的集合也可类似地分为两大部分，若只孤立地讨论一点p，可任意指定其中一个部分为指向未来部分（记作Fp），其中每一元素称为指向未来的(future directed)类时（或类光）矢量，另一部分（记作Pp）的元素则称为指向过去的(past directed)类时（或类光）矢量（见图11-1）．但在讨论全时空时，物理上总希望这种指定在从一个时空点到另一时空点的过渡中是连续的（闵氏时空就如此）．然而并非所有时空都能做到这一点，考虑以S1×R（圆柱面）为底流形的2维时空，为画图方便，把它沿母线剪开并画成图11-2.设其上度规这样给定，使各点的光锥如图11-2所示，便无法对指向未来部分（F）作连续指定．（若按图11-2指定，则把左右两竖线粘合后，粘合处的F有突变．）不妨认为这样的时空没有物理意义，能连续地指定光锥未来部分的时空叫时间可定向时空(time orientable spacetime).今后谈到时空都指时间可定向时空，并认为每一时空都已作了这样的连续指定（其实上册中早已有这样的默认）．设时空(M，gab)存在一个C0的类时矢量场ta，就可把ta在每点p∈M的值ta|p。所在的那个部分指定为指向未来部分，这种指定自然是连续的，因此，存在C0类时矢量场的时空一定是时间可定向时空，反之也可证明[见Penrose(1972)]，若(M，gab)是时间可定向时空，则它必存在C0的类时矢量场.
　　图11-1 p点指向过去和未来的类时（及类光）矢量组成子集Pp和Fp
　　图11-2 时间不可定向时空一例
　　命题11-1-1 设p是4维时空(M，gab)的点，va，Ua∈Vp是指向未来或过去的类时或类光矢量，va≠0，ua≠0，
　　(1)若va，ua不都类光，则
　　(2)若va，ua都类光，则
　　证明 因为任意时空的一点的切空间都一样，只须对闵氏时空一点p证明本命题。
　　其中第一、二步分别用到式(11-1-1)和(11-1-3).由式(11-1-4)、(11-1-5)便得
　　(c)证明与(b)类似，
　　推论11-1-2
　　(1)类光超曲面Σ上不存在切于Σ的类时矢量．
　　(2)类光超曲面Σ上每点只有一个类光方向，（就是说，Vq∈Σ，设va，ua是q点的切于Σ的类光矢量，则]β∈R使va=βua．）这就是类光法矢na的方向.
　　证明
　　定义1 C1曲线γ叫指向未来类时线，若γ上每点的切矢是指向未来类时矢量；γ叫指向未来因果线(future directed causal curve)，若γ上每点的切矢是指向未来类时或类光矢量（后者含零元）．指向过去类时线和因果线可类似地定义。
　　注1 我们以前把观者定义为一条以固有时（线长）为参数的类时线，现在应在
　　“类时线”前加上“指向未来”.
　　定义2 p∈M的切空间Vp的子集{va∈Vp|gabVaVb=0）称为p点的光锥(light cone).
　　定义3 p∈M的编时未来(chronological future)I+（p）定义为
　　还有一个与I+(p)类似而又有区别的重要定义，即
　　定义4 设U是p∈M的任一邻域，则p的相对于U的编时未来I+(p，U)定义为
　　图11-3
　　注2 ①I+(p)=I+(p，M)．②图11-3给出闵氏时空中I+(p，U)≠I+(p)∩U的一例，③把定义3和4的“未来”换为“过去”，便得到I-(p)（p点的编时过去）和I-(p，U的定义，这种做法称为“对偶地定义”，④p点的光锥按定义2是p点的切空间Vp（而不是时空流形M）的子集（由p点的所有类光矢量组成），虽然在狭义相对论中人们常把p点的光锥理解为时空流形R4中由X2+y2+z2-t2=0定义的子集，即以p为顶点的圆锥面[亦可表为i+（p）∪i-（p），顶上加点代表该子集的边界]．本书通常按定义2使用光锥一词，只有小节6.1.6，8.9.2及8.9.3例外，那里谈到的p点的“光锥面”实际是i+(p)，i-(p)或两者之并.
　　定义5
　　p点的相对于U的因果未来J+(p，U)定义为
　　注3 p点本身可看作一条曲线（把R的一个区间映为{p}cM的映射，即独点线），其在p点的切矢为零，因而是类光矢量，故p点可看作类光曲线，虽然它既非指向过去亦非指向未来，但还是规定p∈J+(p)及p∈J(们，与此不同，p点不能看作类时曲线，所以一般来说p不属于I+(p)．然而也有例外，例如，只要把2维闵氏时空中的直线t=0和t=1认同(图11-4)，就存在从p经a回到p的类时曲线（是一条闭合的类时线），从而有p∈I+(p)．更有甚者，事实上这个人造时空的任一时空点都属于I+（p），即I+（p）=M．
　　图11-4 闭合类时线pap 图11-5 非凸邻域示意
　　定义6 p∈M的邻域N称为凸邻域(convex neighborhood)．若Vq，r∈Ⅳ，有N内的唯一测地线联结q与r．（注：即使欧氏或闵氏空间，也并非所有邻域都是凸的，图11-5就是非凸邻域的一例．）§3.3定义3已讲过法邻域.p点的既凸又法的邻域称为p点的凸法邻域(convex normal neighborhood).
　　注4 ①由定义可知凸法邻域是开子集，②任一时空的任一点必有凸法邻域，③一点的法邻域未必是域内其他点的法邻域，但一点的凸法邻域一定是域内任一点的凸法邻域，②，③的证明见Hicks(1965).
　　命题11-1-3
　　证明
　　图11-61+1=I示意
　　注5 【选读】由于γrq和γqp非常任意，即使限制在凸法邻域并使用黎曼法坐标也难以写出其具体方程，因此磨光可行性的证明并不容易，如果γrq和γqp是测地线，方程就好写得多，然而把类时线改为测地线将给出不等价的I+（p）定义，为了既用测地线又能得到等价定义，Penrose想到用分段测地线代替类时线，“分段类时测地线”是由有限段指向未来类时测地线连接而成的连续曲线，连接处可以不到C1.Penrose(1972)称之为一个旅程(trip).用旅程代替I+（p）定义中的“指向未来类时线”就得到I+（p）的另一定义，与原定义的等价性的证明见Penrose(1972)的2.23节，类似地，把分段因果测地线称为一个因果旅程(causal trip)，用因果旅程代替J+（p）定义中的“指向未来因果线”就得到J+（p）的等价定义.
　　一般时空的整体因果特性（结构）可以比闵氏时空复杂，例如，设时空点p，q满足q∈I+(p)，若是闵氏时空，就有唯一的测地线从p到q，它是指向未来类时线；若是其他时空就未必（可能没有也可能有不止一条测地线从p到q）．然而，局域地看（在凸法邻域内），任何时空的因果特性都与闵氏时空相当类似，具体含义见如下命题.
　　命题11-1-4 任意时空(M，gab)的任意点都有凸法邻域N(见注4②)，其中任意两点q与p必有N内唯一的测地线相连（凸邻域定义），而且（本命题内容）
　　(a)若g∈I+(p，N)，则N内从p到g的唯一测地线是指向未来类时线；
　　(b)若q∈J+(p，N)-I+(p，N)，p≠p，则N内从p到g的唯一测地线是指向未来类光曲线；
　　(bˊ)若g∈J+(p，N)-I+(p，N)，p≠p，则N内从p到g的指向未来因果线必为类光测地线.
　　这一直观看来很好接受的命题证来颇不简单，见选读11-1-1，建议初学者暂时免读．
　　[选读11-1-1]
　　命题11-1-4的证明需要如下引理．