全国卷高考数学满分教程--数列和不等式

作者简介

"张瑞炳 高级教师，毕业于华东师范大学，20余年一线教学经验，厦门双十中学数学教研组长，中国数学奥林匹克高级教练员，中国数学奥林匹克希望联盟总教练，福建省教育学会数学教学委员会理事，集美大学客座教授，厦门市专家型教师。曾被评为福建省优秀教师、厦门市杰出教师。曾获厦门市课堂教学改革创新大赛一等奖，福建省中学青年数学教师说课比赛一等奖。指导学生多人次获CMO金牌、银牌和铜牌。10多次参加福建省高三毕业班数学科质检命题，开设省、市级讲座与公开课20多场。编写5本高考数学《百题大过关》，目前是第9版。高慧明 首届全国十佳班主任，北京市高中数学特级教师，现任教于北京市第十二中学高中部。全国著名高考数学命题与考试研究专家，参与制定国家、省级课程系列教材及考试指导文件，在《教育研究》《中国教育学刊》《数学通报》《中学数学教学参考》等全国知名学术期刊发表论文500余篇，已出版《给学生一个心灵的支点——高慧明班级高效管理艺术》《让高中生学会学习》《高考数学命题规律与教学策略》《高中数学思想方法及应用》等图书。国家 “国培计划”全国中小学校长、班主任、教师培训特邀主讲专家。讲课、讲座、报告专题涉及课堂教学、科学备考、班级管理、教师专业成长等方面，在全国引起强烈反响。 周韡，清华大学校友，北京大学光华管理学院MBA，中国数学会北京分会会员，中国教育学会会员，中国计算机学会会员，奥赛教练。曾受衡水中学、衡水二中、会宁二中等多所中学邀请讲学。现为全国卷网创始人，项目得到了清华大学经管学院XLAB和加速器四期培育。全国卷网由北大清华校友创办，是研究全国卷新高考的专业机构，并在网络上开辟了没有围墙的在线大学，也为900万考生提供高考与自招资讯和解决方案。"

内容简介

第5章重要不等式 数学中有许多著名的不等式，本章将介绍各种考试中常用的重要不等式及其应用. 5.1平均值不等式 5.1.1知识要点 设a1，a2，…，an是n个正实数，记作 Hn=n1a1+1a2+…+1an，Gn=na1a2…an， An=a1+a2+…+ann，Qn=a21+a22+…+a2nn. 分别称Hn，Gn，An，Qn为这n个正数的调和平均、几何平均、算术平均和平方平均. 这四个平均值有如下关系： Hn≤Gn≤An≤Qn， 等号当且仅当a1=a2=…=an时成立. 证明： (1) 先证An≥Gn，用数学归纳法证明. 当n=1时，a1=a1，不等式成立. 当n=2时，由 a1+a22-a1a2=(a1-a2)22≥0， 得 a1+a22≥a1a2. 不等式成立. 假设n=k(k≥2，k∈N)时不等式成立，则当n=k+1时， Ak+1=a1+a2+…+ak+ak+1k+1 =a1+a2+…+ak+1+(k-1)Ak+12k =12a1+a2+…+akk+ak+1+Ak+1+…+Ak+1(k-1)个k ≥12ka1a2…ak+kak+1Ak-1k+1 ≥ka1a2…ak·kak+1Ak-1k+1. 从而 A2kk+1≥a1a2…akak+1Ak-1k+1， 化简得 Ak+1≥k+1a1a2…akak+1. 当且仅当a1=a2=…=ak=ak+1=Ak+1时，不等式取等号. (2) 由An≥Gn，得 1a1+1a2+…+1an≥nn1a1a2…an=nGn， 即 Gn≥n1a1+1a2+…+1an=Hn. (3) Qn≥Ann(a21+a22+…+a2n)-(a1+a2+…+an)2≥0 而上式左边=(a1-a2)2+(a1-a3)2+…+(a1-an)2+(a2-a3)2+…+(a2-an)2+…+(an-1-an)2≥0，当且仅当a1=a2=…=an时，等式成立. 综上得，Hn≤Gn≤An≤Qn，等号当且仅当a1=a2=…=an时等式成立. 5.1.2范例解析 【例1】已知a，b，c为正数，求证： (a+1)3b+(b+1)3c+(c+1)3a≥814. 证明： 因为a>0，b>0，c>0，所以 左式≥3(a+1)(b+1)(c+1)3abc =3a+12+12b+12+12c+12+123abc ≥333a4·33b4·33c43abc =814. 评注： 通过平均值不等式能够实现“和”与“积”的转化，同时起到降幂的作用. 【变式1】正数x，y，z满足xyz=1，求证： x2+y2+z2+xy+yz+zx≥2(x+y+z). 【变式2】设a>b>0，求证： 2a3+3ab-b2≥10. 【变式3】设x>0，y>0，求证： 2x+y3·x+2y32≥xy·x+y23. 【变式4】证明： 数列1+1nn是单调递增的. 【变式5】已知x>0，y>0，z>0，x+y+z=1，求证： x3+y3+z3≥19. 【例2】设a>0，b>0，c>0，求证： a2b+b2c+c2a≥a+b+c. 证明： 因为a>0，b>0，c>0，所以 a2b+b≥2a2b·b=2a.① 同理 b2c+c≥2b，② c2a+a≥2c.③ ①②③式左右分别相加，得 a2b+b2c+c2a≥a+b+c. 评注： 本题可以推广到n元不等式，即设x1，x2，…，xn都是正数，求证： x21x2+x22x3+…+x2n-1xn+x2nx1≥x1+x2+…+xn. 【变式1】已知a>0，b>0，c>0，求证： 2aba+b+bcb+c+cac+a≤a+b+c. 【变式2】已知a>0，b>0，c>0，求证： abc≥(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b). 【变式3】设a>0，b>0，c>0，求证： ca+ab+c+bc≥2. 【变式4】已知正实数a，b，c满足a+b+c=1.求证： a2+b2+c2+23abc≤1. 【例3】求函数y=(x-1)5(10x-6)9在x>1时的最大值. 解法一： 因为x>1，所以 y=125×(2x-2)5(10x-6)9 =125×2x-210x-65110x-64 ≤1255×2x-210x-6+410x-6999 =12599. 当且仅当2x-210x-6=110x-6，即x=32时y取最大值，且最大值为12595. 方法独特，讲解精辟；举一反三，学练结合；一线教学名师多年经验总结；告别题海战术，满分轻松得