丘成桐的数学人生/数学与人文

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新竹交通大学着重应用数学，可是我们晓得应用 数学的主要工具是从纯数学来的。很多学生认为，既 然是应用数学就不用学纯数学，或者是应用物理就不 必学理论物理，这是很大的错误。很多基本的功夫一 定要在做学生的时候学好，为什么呢?我们要做习题 ，并且要大量地去做，这是学习基本功夫的必要过程 。我相信很多现在毕了业拿了博士学位的人，看一本 书的时候不会再去做习题，遇到一些比较复杂计算的 时候往往不愿意去算。可是很多基本的想法就是要从 计算里面领会得来的。我们所做的命题，最后的时候 可能留下很简单、很漂亮的结果，可是中间往往要通 过大量的计算，我们才晓得这结果是怎么得到的。好 的研究不是一朝一夕得来的，往往做了一百次，九十 九次是错的，最后一次才是成功的。但成功的时候， 我只跟你讲成功的结果，不会跟你讲九十九次失败的 经验。错误的经验往往是很好笑的，因为经常犯很明 显的错误，要在做完的时候才知道。可是当讲给人家 听的时候，很少会跟人家讲错误的那部分，其实错误 的结果让你眼睛明亮，它帮你忙，让你向前走。其实 你能得到错的结果，已经是很不错了，因为很多初学 者连怎么着手做这个题目都不知道。譬如，你给我一 个化学题，该从什么地方开始做我不晓得，因为我没 有这基本的功夫，根本不晓得要从什么地方开始。 一个好的数学家至少要掌握两门以上很基本的功 夫。基本功夫不是一朝一夕学来的。譬如讲，有代数 、分析、几何等种种不同的方法，我们在中学的时候 就开始学。有些人喜欢几何，觉得代数没有什么意思 不想学，或者是学代数的人不想学几何，各种想法都 有，可是最后我们发现，真做研究的时候全部都要用 到。 有人说我做了一个特殊的题目后就永远只去做这 方面的题目，结果连这方面的问题也不见得做得好。 因为数学不停地发展，不断地改变。自然界能够提供 给我们的问题，不会因为你是几何学家就继续不断地 提供几何方面的问题，而往往是与几何结合在一起的 问题。到了题目出现的时候，要用到其他工具，如果 我没办法去了解，就比其他人吃亏了。 例如，数学中很重要的一门“群表示理论”，一 般来讲很多地方不教这门课，可是在许多应用与理论 科学中都要用到。有些好的数学家可以很熟练地运用 “群表示理论’’来分析很多问题。我们可能没有这 些办法，这就是因为基本功夫没有做好的缘故。我想 “群表示理论”大概是进了研究院或者大学后半期的 时候学的。中国数学家在这方面的训练不够，因此不 如国外学者，可见有些基本学科一定要学好，同时要 很早学。 我们学数学的不单要学数学上的基本功夫，物理 上的基本功夫也要学，这是在大学时就要学的。力学 、电磁学我们都要有一定的了解，因为物理跟数学这 几十年来的发展越来越接近，很多问题是物理提供的 。我们假如对这些基本的观念完全不了解的话，我们 看到的题目就比不上其他懂得这方面的数学家，他们 能够很快地融会贯通。到了这个年代，很多数学的问 题往往是从其他的学问如理论物理、应用数学或其他 的科学里来的，它们甚至提供了直观和方法。我们想 了很久的一些问题，往往因此得到解决。假使我们从 来都不接触其他科学的话，就完全落伍了。 举个例子来讲，代数几何学这20年来已有长足的 发展。可是到了这几年，用古典的方法或者纤维丛的 方法都没有办法解决的问题，理论物理却帮助我们看 到以前看不到的可能。由于本身知识的局限，很多代 数几何学家遇到这个困难的时候，没有办法接受这些 专家的看法，遇到理论物理就不敢去碰它。可是有时 候物理指明了解决基本问题的方向，代数几何学家又 觉得很难为情，因为他们没有办法去了解，所以这是 一个很令人困扰的问题。假使你不肯学物理学上的基 本功夫，你就很难接受这个新的挑战。记得我看过一 本书，序言里讲作者很感谢代数学家Albert，为什么 感激他呢?作者说：Albert教我代数，使得我坐下来 的时候，看代数问题不会恐慌，使我能够坐下来好好 地对待代数上的问题。我们的基本功夫能不能做到如 此，就是当看到／L何或应用数学的问题时，可不可 以坐下来想办法来对付它，我想这是很重要的。我们 往往看到问题、坐下来的时候，都恐慌得不晓得怎么 办，因此就算了，我想大家都有这个经验。你做基本 功夫一定要做到你看一个题目，明明是未解决的问题 ，你还是可以坐下来，然后花工夫去解决它。即使你 不能够解决它，可是你至少晓得怎样去想办法，同时 不会恐慌、放弃，我想这是最重要的。往往我们因为 基本功夫没做好，当一个深的题目或看法出现的时候 ，我们就拒绝去接受，认为这些题目不重要，这是去 解释自己为什么不能够去做某一个问题的时候最自然 的想法。 训练基本功夫要在研究生、大学生或中学生的时 候。基本功夫怎样学好呢?有时一本书看完了就放在 一边，看了两三本书后就以为懂了，其实单看书是不 够的，重要的是做习题，因为只有在做习题的时候， 你才能晓得什么命题你不懂，也理解到前人遇到的困 难在哪里。习题不单在课本里找，在上课和听讲座时 也可以找。我们很多学生上课的时候不愿意做笔记， 不做笔记的话根本不可能去念任何学科。尤其是有时 候演讲的人讲的题目是根本不在书本里的，或者是还 没有发表的。我常觉得很奇怪，为什么学生不做笔记 ?他认为他懂了，其实明明不懂。因为可能连讲课的 人自己都还没搞懂，可是听讲的人不愿意去做笔记， 也不愿去跟演讲的人谈，或去跟其他老师讨论。往往 你花了一个钟头在那边听，听完了以后就全部忘掉了 。 P10-P11