圆锥曲线论

作者简介

【作者简介】 阿波罗尼奥斯（Apollonius of Perga，前 262—前190），古希腊数学家、天文学家。他建立了完美的圆锥曲线理论，与欧几里得、阿基米德并称为古希腊三大数学家。 【英译者简介】 希思（Thomas Heath，1861—1940），英国数学史家、古典学家，英国皇家学会会员，将欧几里得、阿基米德、阿波罗尼奥斯等人的作品翻译成英文并加评注，影响深远。 【中译者、导读者简介】 凌复华，上海交通大学、美国史蒂文斯理工学院教授，知名翻译家，已出版译著《几何原本》《阿基米德经典著作集》《圆锥曲线论》《世界的和谐》等多部。

内容简介

导 读 凌复华 (上海交通大学、美国史蒂文斯理工学院 教授) 一、 古希腊文明与古希腊数学 公元前5000—前3000年，在北半球的两河流域、尼罗河、印度河和恒河流域以及黄河和长江流域，相继产生了世界四大文明。 稍晚一些，约公元前3000—前1100年， 爱琴海中克里特岛上的米诺斯人创造了克里特文明。米诺斯人可能是从埃及渡海过来的，他们使用的“线形文字A”并非希腊文字，今已消失。米诺斯王朝晚期，阿卡亚人从巴尔干半岛南下，在希腊南部建立了自己的国家。阿卡亚人建立了迈锡尼王朝，灭掉了米诺斯王朝。迈锡尼王朝使用的是最早的希腊文字，被称为“线形文字B”，现也已消失。米诺斯王朝虽在希腊领土上，但因未使用希腊文字，因此有些历史学家认为希腊历史应该始于迈锡尼王朝而不是米诺斯王朝。 公元前1100—前1000年，多利亚人入侵毁灭了迈锡尼文明，希腊历史进入了没有文字的所谓“黑暗时期”，其后期又因《荷马史诗》的留传而被称为荷马时期，不过荷马是否确有其人，尚无确凿证据。 希腊城邦制度是希腊特有的制度，城邦就是主要以城镇为中心的独立自主的小国。在黑暗时期晚期，新的城邦国家纷纷建立。公元前776年，第一次奥林匹克运动会的举办，标志着“古风时期”的开始。此后，各城邦国家（称为“母城邦”）的希腊人纷纷向外殖民。有些殖民地由逃离本土的战败者或放逐者所建立，更多的是为了贸易需要。在250年中，新的希腊城邦（称为“殖民城邦”）遍及巴尔干半岛、小亚细亚和北非的地中海及黑海沿岸，也包括今天的西班牙、法国和意大利，见图1。因此，许多古希腊名人并不出生在希腊本土。阿基米德便出生在今意大利西西里岛的锡拉库萨（古名叙拉古），而阿波罗尼奥斯则出生在今土耳其的帕加。 在诸城邦中，势力最大的是雅典和斯巴达。公元前490年，波斯大军渡海西侵，但在马拉松战役中被人数居于劣势的雅典重装步兵击败。希腊人赢得了第一次希波战争的胜利，希腊历史进入“古典时期”。 此后，希腊内部雅典与斯巴达争霸，公元前431年，伯罗奔尼撒战争爆发，十年后以《尼西亚斯和约》结束。内战导致希腊国力式微，于公元前338年被北方的马其顿王国（马其顿王国不属于希腊本土，被希腊人排除在希腊世界之外，虽然其宫廷中使用希腊语）征服。公元前337年，马其顿王国国王菲利普二世召开科林斯会议，会议的决议要求各城邦承认他为全希腊的统帅，但保存各城邦的自治地位。不过各城邦在政治上的独立自主性此后不复存在。 乱世出英雄。在雅典社会危机和希腊城邦危机交织的过程中，有两位思想家最具影响力，柏拉图（Plato，前427—前347）和他的学生亚里士多德（Aristotle，前384—前322）。还要提到的是柏拉图的老师苏格拉底（Socrates，前469—前399）。苏格拉底视个人的道德修养和灵魂为最重要，当他被不恰当地指控不尊敬神祇和带坏青年，他拒不认错并不愿出逃，最后饮毒酒身亡。柏拉图致力于探讨理想的城邦及其制度，表述于著名的《理想国》一书中。亚里士多德则认为社会应当包容，使得贫富阶层都不走极端。 公元前336年，菲利普二世被刺身亡，他的儿子，即马其顿帝国亚历山大大帝即位。大帝战功辉煌，先是统一希腊全境，进而横扫中东地区，又不费一兵一卒占领埃及，再荡平波斯帝国，大军一直开到印度河流域。但他三年后就病逝，年仅33岁。死后无继承人，手下将领经多年争夺后，最后建立了三个希腊化王朝，即安提柯王朝（马其顿和希腊本土）、塞琉古王朝（西亚）和托勒密王朝（埃及）。 托勒密王朝极其富裕，亚历山大城成为世界科学之都，数学和科学发展到了顶峰，许多希腊学者都曾在那里工作，包括阿基米德（Archimedes，前287—前212）和阿波罗尼奥斯（Apollonius，约前262—约前190）。托勒密王朝于公元前30年覆灭，希腊化时期结束。 表1列出了古希腊的知名数学家。他们大都生活和工作于公元前6世纪至公元前2世纪的400年间，即从古风时期的后半至希腊化时期的前半。而自欧几里得开始的大数学家，都生活在希腊化时期。这段时间正是中国的春秋战国时期（公元前8世纪至公元前2世纪），诸子百家辈出，不过多半是哲学家，鲜少数学家和科学家。 四大文明中除了中华文明，其余都与古希腊及其殖民地在地理上十分接近。古希腊文明从中汲取了许多营养。而后来的西欧文明可以看作古希腊文明的延续。 二、 阿波罗尼奥斯及其在数学史中的地位 阿波罗尼奥斯约公元前262年生于古国潘菲利亚的帕加（Perga），约公元前190年卒。帕加位于今土耳其小亚细亚半岛。阿波罗尼奥斯年青时到亚历山大跟随欧几里得的后继者学习，那时是托勒密三世(Ptolemy Euergetes，前246—前221在位)统治时期，到了托勒密四世(Ptolemy ，前221—前205在位)时期，他在天文学研究方面已颇有名气。后来他到过小亚细亚西岸的佩加蒙（Pergamon）王国，那里有一个大图书馆，规模仅次于亚历山大图书馆。国王阿塔勒斯一世(Attalus ⅠSoter，前241—前197在位)除崇尚武功外，还注重文化建设。阿波罗尼奥斯的《圆锥曲线论》从第四卷起都是题献给阿塔勒斯的，后世有些学者认为该阿塔勒斯就是这位国王。但存在一个疑点，阿波罗尼奥斯在写信给阿塔勒斯时直书其名，而没有在前面加上“国王”的称呼，这是违背当时的礼仪习惯的。可能有两种解释，一是他指的不是国王而是另一个同名的人，二是他不循礼法，而这位君主确能礼贤下士，不拘小节。 阿波罗尼奥斯在佩加蒙还结识了一位欧德莫斯(Eudemus)，《圆锥曲线论》的前三卷是题献给他的。在这书的卷Ⅱ的前言中，阿波罗尼奥斯说他曾将该卷通过他儿子交给欧德莫斯，并请欧德莫斯如果见到菲洛尼底斯(Philonides)，也让他一阅此书。菲洛尼底斯是阿波罗尼奥斯在以弗所（Ephesus）结识的几何学家，对圆锥曲线论颇感兴趣，阿波罗尼奥斯曾介绍他与欧德莫斯相识。 卷Ⅲ没有前言。卷Ⅳ的前言是写给阿塔勒斯的，开头说这八卷著作的前三卷是题献给欧德莫斯的，现在他已去世，我决定将其余各卷题献给您，因为您也渴望得到我的著作。 由此可知阿波罗尼奥斯写此书是在晚年，至少是在他的儿子成年以后。在卷I的前言中，阿波罗尼奥斯向欧德莫斯叙述撰写该书的经过： “几何学家劳克拉泰斯(Naucrates)来到亚历山大，鼓励我写出这本书。我赶在他乘船离开之前仓促完成并交给他，未能仔细推敲。现在才有时间逐卷修订，并分批寄给您。” 阿波罗尼奥斯的主要成就是建立了完美的圆锥曲线理论。他总结了前人在这方面的工作，再加上自己的研究成果，撰写成《圆锥曲线论》八大卷，将圆锥曲线的性质网罗殆尽，使后人几乎没有插足的余地。根据尤托西乌斯(Eutocius，约480—540)引述格米努斯（Geminus，约前70）的话，阿波罗尼奥斯的同时代人对他就圆锥曲线所作的绝妙处理评价极高，称他为“大几何学家”。《圆锥曲线论》的出现，立刻引起人们的重视，被公认为这方面的权威著作。著名数学史家帕普斯（Pappus，3—4世纪）曾给它增加了许多引理，著名数学家塞里纳斯(Serenus，4世纪)及希帕提娅(Hypatia，约370—415)都对之做过注解。尤托西乌斯校订注释了前四卷希腊文本。 《圆锥曲线论》的写作风格仿效欧几里得。先设立若干定义，再由此证明各个命题。推理是十分严谨的，有些性质在欧几里得《几何原本》中已得到证明，便作为已知的使用，但原文并没有标明出自《几何原本》何处，有些后人对此颇有微词。阿基米德的传记作者甚至说，阿波罗尼奥斯将阿基米德未发表的关于圆锥曲线的成果据为己有。此说出自尤托西乌斯的记载，但他同时说这种看法是不正确的。帕普斯则指责阿波罗尼奥斯采用了许多前人(包括欧几里得)在这方面的工作，而未归功于这些先驱者。事实上，阿波罗尼奥斯在前人的基础上有巨大的进步，其卓越的贡献也是应该肯定的。本书《希思导言》中对这些有详细讨论，不在此赘述。 阿波罗尼奥斯在天文学方面的研究也很有名。他的其他著作还有：《截取线段成定比》《截取面积等于已知面积》《论接触》《平面轨迹》《逼近》《内接于同一个球的十二面体与二十面体对比》《无序无理量》，还有圆周率计算以及天文学方面的著述等。 古希腊是一个数学家辈出的时代，表1列出了20位最负盛名的数学家，其中6位做出了里程碑式的贡献，如表2所示，最后一位就是阿波罗尼奥斯。一般认为，古希腊最伟大的三位数学家是欧几里得、阿基米德和阿波罗尼奥斯。在他们以后，希腊数学再无创造性的发展。不过还值得注意的是上面提到的帕普斯，他生活于罗马帝国晚期，著有《数学汇编》（Synagoge）一书，该书记录了许多重要的古希腊数学成果（其中很多原本已佚失），且留存至今，在数学史上意义十分重大，本书中也多处引用了该书。 三、 《圆锥曲线论》的各种版本 9世纪时，君士坦丁堡(东罗马帝国都城)兴起了学习希腊文化的热潮，尤托西乌斯编辑的《圆锥曲线论》四卷本被转写成安色尔字体(uncial，手稿常用的一种大字体)并保存下来，不过有些地方有所改动。前四卷最早由叙利亚人希姆斯(Hilāl ibn Abī Hilāl al Himsī，卒于883或884)译成阿拉伯语。卷Ⅴ—Ⅶ由塔比·伊本·库拉 (Thābit ibn Qurra，约826—901)从另一版本译成阿拉伯语。纳西尔丁(Nasīr adDīn alTūsi，1201—1274)对卷Ⅰ—Ⅶ做了修订 (1248)，现有两个抄本收藏于英国牛津大学博德利图书馆，分别为1301年的抄本和1626年卷Ⅴ—Ⅶ的抄本。卷Ⅰ—Ⅳ的拉丁语译本于1537年由门努斯(J.B.Menus)在威尼斯出版；而卷Ⅰ—Ⅳ较标准的拉丁语译本出自科曼迪诺(F.Commandino，1509—1575)，于1566年在博洛尼亚出版，其中包括帕普斯的引理和尤托西乌斯的评注，还加上许多解释以便于研读。卷Ⅴ—Ⅶ最早的拉丁语译本出自埃凯伦西斯(A.Echellensis)及博雷利(G.A.Borelli，1608—1679)，1661年出版于佛罗伦萨，它是从983年的阿拉伯语抄本译出的。天文学家哈雷(E.Halley，1656—1742)参考了各种版本，重新校订了卷Ⅰ—Ⅶ拉丁语本及卷Ⅰ—Ⅳ希腊语本，1710年在牛津大学出版社出版，哈雷也曾试图复原已遗失的卷Ⅷ。目前权威的卷Ⅰ—Ⅳ希腊语、拉丁语对照评注本是海贝格(J.L.Heiberg，1854—1928)的Apollonii Pergaei qüae Graece exstant cum commentariis antiquis(《帕加的阿波罗尼奥斯的现存希腊语著作，包括古代注释》)二卷，1891—1893年在莱比锡出版。阿拉伯语本只有卷V的一部分正式出版，并附尼克斯(L.Nix)的德译本(1889，莱比锡)。 本书也被译为多种现代语言。巴萨姆(Balsam)的德语译本，1861年出版于柏林。埃克(P.V.Eecke)的法语译本Les coniques d’Apollonius de Perge(《帕加的阿波罗尼奥斯的圆锥曲线论》)，前四卷根据希腊语本，后三卷根据哈雷的拉丁语本，1923年出版于布鲁日，1963年重印于巴黎。希思(T.L.Heath，1861—1940) 注释改写的英译本，1896年由剑桥大学出版社出版，1961年重印。这是本译本的原本，下面还要详细介绍。《圆锥曲线论》另一种英译本为托利弗(C.Taliaferro)所译(1939)，载于《西方名著丛书》(Great Books of the Western World，1952，不列颠百科全书出版社)卷Ⅺ中，但只有卷Ⅰ—Ⅲ。卷Ⅳ的英译本由绿狮出版社于2002年出版， 图默（G.J.Toomer）的卷Ⅴ—Ⅶ的英译本由斯普林格出版社于1990年出版。 汉语译本有朱恩宽、张毓新、张新民、冯汉桥译《圆锥曲线论》（卷Ⅰ—Ⅳ）第2版，陕西科学技术出版社，2018年6月；朱恩宽、冯汉桥、郝克琦译《圆锥曲线论》（卷Ⅴ—Ⅶ），陕西科学技术出版社，2014年6月。 四、 圆锥曲线的表示方法 (略） 五、本书的主要内容（略） 六、 圆锥曲线理论发展概况 古希腊几何学中有三大难题，即只使用圆规和直尺求出下列问题的解： （1） 倍立方体。作一个立方体，使其体积等于给定立方体的两倍。 （2） 化圆为方。作一个正方形，使其面积等于给定的圆。 （3） 三等分角。分一个任意给定的角为三个相等的角。 直到19世纪，才证明了它们是无解的。但在漫长的岁月中，人们也使用其他工具求解这些问题，并得到了许多有意义的结果。圆锥曲线便是在求解倍立方体问题时找到的。 尤托西乌斯提到，“希波克拉底第一个注意到，若在两条线段（其中较长线段是较短线段的两倍）之间的连比例中找到两个比例中项，就可以把立方体加倍；这样，他把原始问题中的困难转化为并不更小的另一种困难。……梅奈奇姆斯在小范围内不无困难地做到了这一点”。 此外，普罗克勒斯（Proclus）引用了格米努斯的话，说圆锥曲线是梅奈奇姆斯发现的。 尤托西乌斯所描述的梅奈奇姆斯的解，相当于x2=ay,y2=bx,xy=ab中的任意两个在笛卡儿直角坐标系中表示的曲线的交点，即抛物线-抛物线及抛物线-椭圆的交点。他还引用了格米努斯的一句话，大意是古人把圆锥定义为直角三角形围绕一条直角边旋转所形成的曲面，而且他们除了正圆锥以外不知道任何其他圆锥。他们根据圆锥的顶角小于、等于或大于直角，把圆锥区分为三种类型。此外，他们从每种圆锥只生成三种截线之一，总是用垂直于一条母线的平面将其切割，并以对应于特定类型圆锥的名称命名相应的曲线；于是，他们称抛物线为“直角圆锥截线”，椭圆为“锐角圆锥截线”，双曲线为“钝角圆锥截线”。后世的阿基米德对这些截线就是这样称呼的。 在这以后，阿里斯塔俄斯写了五卷《立体迹》，欧几里得写了四卷《圆锥曲线原本》。这些书均已遗失，但根据帕普斯的叙述，我们得到了关于其内容的一些提示。阿里斯塔俄斯对立体轨迹的工作涉及抛物线、椭圆或双曲线，换句话说，这是一部把圆锥曲线作为轨迹处理的著作。欧几里得的书的范围肯定与阿波罗尼奥斯著作前三卷的范围大致相同，尽管这些主题的阐述在阿波罗尼奥斯著作中更系统和更完备。此外，欧几里得还写了《曲面轨迹》一书，对其具体内容，我们虽一无所知，然而我们可以合理地假定，它涉及的是圆锥面、球面和圆柱面，也许还有其他二次曲面。 阿基米德也对圆锥曲线理论的发展作出了重大贡献。他的存世著作中，《抛物线求积》《论球与圆柱》（Ⅰ,Ⅱ）《论拟圆锥与旋转椭球》等给出了圆锥曲线的许多性质。 阿波罗尼奥斯的一个重大发现是他认识到双分支双曲线起源于同一条曲线。此外，在前人研究的基础上,加上许多进一步的发现和论证，他参照欧几里得《几何原本》的风格写成了《圆锥曲线论》，把形式与状态几何学发展到最高水平。这本书可谓把有关圆锥曲线的内容网罗殆尽,故在以后将近20个世纪中，人们未能增添多少新内容。直到17世纪笛卡儿(R.Descartes，1596—1650)、费马(P.de Fermat，1601—1665)创立坐标几何，用代数方法重现了圆锥曲线(二次曲线)理论；笛沙格(G.Desargues，1591—1661)、帕斯卡(B.Pascal，1623—1662)创立射影几何学，研究了圆锥曲线的仿射性质和射影性质，才使圆锥曲线理论发展到一个新的阶段。然而这两大领域的基本思想都可以从阿波罗尼奥斯的《圆锥曲线论》中找到其根源。 七、 中译本翻译说明 （略） 《导读》参考文献略。 1. 科学元典丛书销量超过100万册。 2. 名作名译，名家导读，彩色插图，超值珍藏。 3. 借助公认的现代符号，使大部分读者都能读懂。