给孩子的数学课

作者简介

吴军 博士 “文津图书奖”“吴大猷科普著作奖”得主 约翰·霍普金斯大学工学院董事 毕业于清华大学、美国约翰·霍普金斯大学，计算机科学博士。先后就职于谷歌和腾讯，分别为中日韩算法的主要设计者和搜索业务副总裁。现为硅谷投资人。注重子女科学素养教育，女儿就读常青藤名校，曾为其择校亲自走访过英美数家著名大学。 用生动文字讲述科普知识一直是吴军博士的强项，著有《全球科技通史》《信息传》《智能时代》等十余部畅销书，作品多次获得包括“文津图书奖”“中国好书”“中华优秀出版物”等在内的图书大奖。其中，《给孩子的科技史》自出版以来，深受家长和孩子的喜欢，好评如潮。

内容简介

圆周率是怎么算出来的 圆是常见的形状，我们盛菜的盘子，汽车的轮子，甚至天上的太阳和月亮，都是圆的；圆又是特别的，它难以测量，不好计算，但古希腊著名学者毕达哥拉斯却认为，圆形是完美的。 人类从何时开始认识圆，今天已经无法考证了。不过早在苏美尔人统治美索不达米亚时期，他们就发明了轮子。由于圆周是弯曲的，不同于直线组成的长方形和三角形，所以圆的周长和面积都很不好计算。不过，在很多早期文明中，人们都发现，无论圆有多大或者多小，用圆的周长除以圆的直径，得到的都是一个基本固定的数值。因此人们便给这个神奇的数取了一个专有的名字，叫做圆周率。在很长的时间里，各国数学家用不同的符号表示这个数，有些人甚至用的是圆的周长除以半径的得数，但这样不便于交流。所以，到了18世纪，数学家们采用希腊字母π代表圆周率，这种习惯沿用至今。 一边是圆周弯曲的弧线，一边是我们容易测量的直线，要找到它们之间关系并不容易，需要用到很多数学知识，因此人类不断提高圆周率计算精度的过程，也正是数学发展的过程。 早期对圆周率的估算只能从经验出发，或者说，是靠测量。比如，在古埃及，人们将它近似为22/7≈ 3.143，而古印度人则用了一个更复杂的分数339/108 ≈ 3.139来表示。在其他的早期文明中，也都有关于对圆周率估算对记载。但是不同人测量的方法不同，得到的圆周率的值也各不相同。除了22/7这个比较简单的估值曾经被多个文明采用外，各个文明对圆周率的估值几乎没有重叠的。通过经验对圆周率进行估计，是人类计算这个值的第一个阶段。 在欧几里得建立起欧氏几何之后，人们发现，圆的周长介于它的内接多边形和外切多边形周长之间，而且，多边形的边越多，它的周长就越接近圆的周长，如图1所示。这是人们第一次不用经验，而靠数学的方法来计算圆周率的值。著名数学家阿基米德就用这种方法，通过计算边数非常多的内接多边形和外切多边形的周长，给出了圆周率的范围，即在223/71到22/7之间，大约在是3.1408和3.1429之间。因此，今天圆周率也被称为阿基米德常数。公元150年前后，著名天文学家托勒密给出了当时最准确的圆周率估计值3.1416。几百年后，祖冲之将这个常数的精度扩展到小数点后7位，即3.1415926～3.1415927。这是人类估算圆周率的第二个阶段，用几何的方法计算π。 14世纪之后，随着代数学的发展，数学家们能够解出比较复杂的二次方程，于是阿拉伯和欧洲数学家们不断增加内接和外切多边形的边数，圆周率估算的精度也不断提高。但是这个方法实在太复杂，比如1630年奥地利天文学家克里斯托夫·格里恩伯格在将圆周率计算到小数点后38位时，用了10^40个边的多边形。1040是一个巨大的数字，如果我们把地球上海洋里的水都变成一个个水滴，那么水滴的个数也只有这个数字的一亿亿分之一。可以想象，要想靠这种方式继续提高圆周率的精度，难度有多大。事实上，直到今天格里恩伯格依然是利用内接和外切多边形估算圆周率的世界纪录保持者。这倒不是因为今天无法再增加多边形的边数，而是没有必要，因为数学家们已经找到了更好的数学工具来估算圆周率——利用数列。 人类计算圆周率的第三个阶段是使用数列。在这个阶段，圆周率的计算被大大简化了。1593年，法国数学家维埃特发现： 根据这个公式，我们可以直接计算圆周率。这个连乘积中的每一因子到后来无限接近于1，多乘一个或少乘一个，只是影响估算的精度而已。如果想要获得更高的精度，只要多乘几项就好了。这种方法比用无数边的多边形容易多了。当然，在没有计算机时，开根号运算也不太容易。于是1655年，英国数学家约翰·沃利斯发现了一个不需要开根号的计算的公式： π/2=（1/2×2/3）×（4/3×4/5）×（6/5×6/7）×…… 利用这个公式，只要做一些简单的乘除计算，就可以得出π的值。 在牛顿和莱布尼茨发明了微积分之后，圆周率的计算就变得非常简单了，这便是圆周率计算的第四个阶段。牛顿用三角函数的反函数做了一个小练习，轻易地就讲将圆周率计算到小数点后15位。在此之后，很多数学家都把计算圆周率当做练手的工具，并且很轻松地就将它估算出几百位。现在，已经没有人把将圆周率多计算几位当做什么了不得的事情来看了，他们只是将它作为一种智力游戏来玩。 今天有了计算机，懂得编程的人可以用计算机轻而易举地将圆周率计算出任意有限位，这可以算是计算圆周率的第五个阶段。比如2002年，计算机将π算到了小数点后1万亿位。不过，需要指出的是，今天用电子计算机计算时，其算法仍然是基于微积分的。 可以说，人类估算圆周率的历史，就是数学发展史的一个缩影。最先是从直觉和经验出发估计圆周率，然后使用几何的办法计算它。当然，几何的方法比较复杂，后来人们终于找到了代数的方法、微积分的方法，这使得圆周率的计算越来越简单了。再往后，人类就学会使用计算机解决数学问题了。从这段历史，我们可以看到数学作为工具的作用——要想把事情做得更好，就需要更强大的数学工具。 了解了圆周率的发展史，你可能会好奇，为什么几千年来，人类要乐此不疲地计算圆周率呢？为什么不能简单地使用22/7这样的近似值替代小数点后无数位数的圆周率π呢？ 简单地讲，使用数学理论解决实际问题，不仅要经常用到圆周率，而且对精度的要求特别高。比如，在近代的工业革命中，发明各种机械就离不开和圆相关的计算，大到火车，小到钟表的设计和制造，都需要准确计算圆周运动的速度和周期。在天文学上，我们计算地球自转和公转的周期，以及日月星辰的位置，也都要用到圆周率。如果我们在计算时使用的圆周率精准度不够，上述计算很可能失之毫厘，谬以千里。在现代科技领域，圆周率的应用更加广泛，比如，我们手机用的全球定位系统GPS，对圆周率精准度的要求就特别高。 1.俞敏洪、李永乐、郝景芳一致推荐；清华附中校长王殿军盛赞 2.40个影响世界的数学问题，展现科学家闪耀的智慧光芒 圆周率是怎么计算出来的？飞毛腿为什么追不上乌龟？理发师到底给不给自己剪头发呢？ √2为什么不是有理数？从一个个问题中，科学家开始探索奇妙的数学世界——用于测量金字塔的高度，预测彗星轨迹，探索大脑结构、走进量子世界…… 3.100多个课本上没讲透的知识点，打牢基础，提前开跑！ 针对中国余数问题、斐波那契数列、杨辉三角、印度象棋和麦粒等等中小学数学课本上的知识点进行了拓展；并对勾股定理、无理数、进制等基本概念进行了深入讲解，帮助孩子打牢基础。 4.像数学家一起思考，习得受益一生的数学思维 数学思维好的人，在学习中很容易做到举一反三，对知识活学活用，成绩自然差不了；在工作和生活中，也能看透事情的底层逻辑，逻辑思维更强，更容易成功。 5.启发式提问，故事性讲述，趣味性注解+漫画，激发孩子的数学兴趣 6.吴军博士重磅青少年科普新作 “文津图书奖”“吴大猷科普著作奖”得主吴军，继《给孩子的科技史》之后，重磅科普新作。