区间不确定性优化设计理论与方法

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第1章 绪论
　　1.1 不确定性优化问题的研究意义
　　优化是在多种（有限种或无限种）决策中挑选出最好的决策方法，被广泛应用于工业、农业、国防、工程、交通等诸多领域，对于系统性能的提高、能耗的降低、资源的合理利用及经济效益的增长均有显著作用。传统的对于工程问题的分析和优化设计一般基于确定的系统参数和优化模型，并借助经典的确定性优化方法［16］进行求解。然而，在许多实际的工程问题中，不可避免地存在着与材料性质、几何特性、边界条件、初始条件、测量与装配偏差等有关的误差或不确定性，这些误差或不确定性虽然在多数情况下数值较小，但耦合在一起可能使结构或系统响应产生较大的偏差，影响系统性能甚至导致失效。下面列举一些存在不确定性的实际工程问题［79］：
　　(1) 在对齿轮进行动态分析时，由于齿轮的结构复杂性、轮齿变形以及制造和安装误差等因素带来的轮齿啮合误差，包括齿距偏差、齿形偏差以及齿距和齿形偏差造成的传动误差等，是齿轮啮合过程中主要的动态激励之一［10］；另外，齿轮刚度在齿轮系统运转时也不断地随啮合位置而变化，很难用确定的数值来精确描述［11］。
　　(2) 对于复杂的机床结构和系统，至今难以建立物理坐标系下的整机动力学模型，其主要原因是机床结构结合面动力学模型的准确建立非常困难：当机床运转时，各部件之间的接触、间隙、附着和滑动等状态将显著改变结构的刚度和阻尼特性，使其呈明显的不确定性；外界的干扰也会影响甚至完全改变结构连接处的接触和滑动情况，从而影响或改变结构的刚度和阻尼［1214］。
　　(3) 在核电厂结构中，预应力混凝土安全壳和钢筋混凝土剪力墙主厂房的结构参数，如材料强度、结构刚度和阻尼，以及地震力的谱值、峰值加速度、持续时间等载荷参数都具有较大的不确定性［15］。
　　(4) 车辆垂直侧面碰撞的特点是碰撞后两车在同一象限内运动，按不同方向旋转及发生一次以上的接触等［16］，由于事故本身包含不确定参数，车速鉴定和事故分析仍具有较大的不确定性。此类事故中的不确定因素主要包括汽车的载重量、碰撞后汽车的质心位移及路面摩擦系数等［17］。
　　(5) 对液体火箭发动机进行可靠性仿真计算时，需要考虑发动机内部干扰造成的不确定性，如管路压降的变化量和涡轮效率的变化量等。它们是由零件安装差异、组件液流试验测量误差以及使用了统计数据等造成的［18］。
　　实际系统中，造成不确定性的原因主要有：结构的制造、安装误差；参数的计算和测量误差；系统在不同工况下，载荷等参数的变化；参数具有一定的变化区域，无法精确测定；理论模型对物理模型的表征误差等。事实上，绝大多数实际的工程问题或多或少含有一定的不确定因素，只是由于数学处理上的困难和不便，在很多场合才不得不做出简化，将多重不确定性转化为单重不确定性或将不确定性简化为确定性。从辩证法的观点看，不确定性是绝对的，而确定性是相对的。对于不确定系统或结构的优化设计，经典的优化理论和方法难以完成，需要通过不确定性优化（uncertain optimization）方法进行建模和求解，求解过程中需充分考虑不确定性对于系统的影响，并在对不确定变量解耦后建立新的优化模型。
　　不确定性优化理论是传统优化理论的延伸，利用不确定性优化方法进行设计时，无须对模型或参数做出较多简化和假设，可以建立更为客观和真实的优化模型，从而获得更为可靠的设计。不确定性优化的研究具有重要的理论意义和工程意义。半个多世纪以来，不确定性优化的理论和方法得到了广泛的研究，并越来越引起人们的关注，目前已成为先进设计及相关领域的一个重要研究方向，相关方法已被成功应用于诸多实际工程领域，如生产过程［1921］、网络优化［22］、车辆调度［23，24］、能源［25，26］、设备选址［27，28］、结构优化［2931］等。这些问题的研究一方面反映了不确定性优化在实际应用中行之有效，另一方面也给出了大量不确定性优化的研究背景和工程应用前景，并为其提供动力源泉。
　　1.2 随机规划和模糊规划
　　不确定性优化问题的研究最早始于20世纪中叶Bellman和Zadeh［32，33］以及Charnes和Cooper［34］的研究工作。在传统的数学规划中，优化模型中的参数通常被假定为确定的值，但在一个不精确或不确定的环境中，这种人为的假设往往带来较大的建模误差。在现有的数学规划理论中，通常采用随机和模糊两类分析方法来描述一个真实决策问题中的不精确或不确定参数，并形成随机规划（stochastic programming）和模糊规划（fuzzy programming）两类不确定性优化理论和方法。在随机规划中，不确定参数被视为随机变量，并假定其精确的概率分布为已知；在模糊规划中，不确定参数被视为模糊集合，并假定其模糊隶属度函数为已知。
　　1.2.1 随机规划
　　随机规划是随着线性和非线性规划理论的应用和发展而逐步发展起来的，它的形成可追溯至20世纪50年代。最早提出随机规划问题的是线性规划创始人之一的Dantzig［35，36］以及Beale［37］，他们将线性规划应用于航线班机最优次数的设计，考虑到客流量的随机性，提出了有补偿的二阶段优化问题。而后，Wets等［38，39］对此类问题进行了系统的研究。Charnes等［40］首先提出了概率约束规划模型，也称为机会约束规划（chance constrained programming），并应用于炼油厂的生产和存储问题。而后，Borell［41］、Prekopa和Dempster［42］对随机规划作出了重要的理论贡献，研究发现了概率规划问题的可行解集合的凸性与概率测度拟凹性之间存在的必然联系。在60年代和70年代，随机规划的模型、方法、理论和应用都得到了较大的发展，如Markowitz的均方差分析方法、Dupacova的惩罚模型、Neumann的效用模型等，另外Garstka与Ziemba等将其应用于经济均衡分析、金融风险测度等方面，得到了许多重要结论［43］。近年来，随机规划在理论和应用的各个方面都得到了进一步发展，相关研究成果和文献众多，如随机线性规划［44，45］、随机整数线性规划［4648］、随机非线性规划［49，50］、鲁棒随机规划［51，52］、基于可靠性的设计优化［5359］等。对于众多的随机规划方法，如果按照随机变量出现的位置来划分，大致可以分为两类：随机变量存在于目标函数中和随机变量存在于约束函数中。
　　1）随机变量存在于目标函数中随机变量存在于目标函数中的随机规划方法主要有两种模型：E模型和P模型。E模型中，通过优化目标函数的期望值，将不确定性优化转换为确定性优化问题；P模型中，通过最大化目标函数不小于或不大于某一指定值的概率，将不确定性优化问题转换为确定性优化问题进行求解。
　　2) 随机变量存在于约束函数中在实际问题中，处理规划问题中的随机变量常见的有两种方式：一种是等待观察到随机变量的实现以后再解出相应的规划问题；另一种是在观察到随机变量的实现以前就依据以往的经验做出决策。但事先考虑到，如果随机变量等到实现观察以后却发现所做决策是不可行解，采取不同处理方法将产生不同的随机规划模型。如图1.1所示，当随机变量出现在约束函数中，依据随机变量处理方式的不同大致形成三类随机规划问题：分布问题、二阶段（多阶段）带补偿的随机规划问题和机会约束规划问题。对于分布问题，在观察到问题中随机变量的实现以后，这些变量将成为确定的值，从而得到相应的确定性规划问题。对应于不同的观察值，则得到不同的确定性规划问题，从而有不同的最优值。所以对于此类问题，要解决的不仅仅是确定性规划问题，而且还要知道所有这些问题的最优值的概率分布情况。对于机会约束规划，是考虑到所做决策在不利情况下可能不满足约束条件而采用的一种处理方法：允许所做出的决策在一定程度上不满足约束，但该决策应使得约束条件成立的概率不小于某一置信水平。对于二阶段带补偿问题，处理方法如同机会约束规划，也是在观察到随机变量的实现之前做出决策，但当约束条件违背时将引入惩罚（引进补偿量，使原约束条件满足）。不同类型的随机规划问题之间存在一定的联系，它们之间可以相互转化［60］。
　　图1.1 随机变量存在于约束函数中的三类随机规划方法［60］
　　1.2.2 模糊规划
　　模糊规划与随机规划的主要差别在于不确定参数的建模方式。在随机规划中，不确定量是由离散的或连续的概率分布函数来描述的；而在模糊规划中，将不确定量视为模糊数（fuzzy number），将约束看成模糊集。将约束的满足程度定义为一隶属度函数，可以允许约束在一定程度上不满足。
　　目前，模糊规划无论是在理论研究还是在应用方面都得到了长足的发展。自从Bellman和Zadeh［33］提出模糊决策以来，针对实际问题许多学者提出了各种解决方法，不同的决策问题和决策者可能有不同的决策方法和偏，文献［33］和［61］介绍了模糊规划中的一些常用方法。根据Inuiguchi和Ramik［62］，模糊规划可大致分为如下三类:
　　1）带有容差的模糊规划
　　这类规划方法首先由文献［33］提出，它在模糊目标和约束下处理决策问题。模糊目标和约束体现了目标函数值以及约束在不确定性下的弹性，此后Zimmermann［63］等学者又发展了此类方法。
　　2）带有不确定因素的模糊目标和约束
　　此类规划方法处理的是目标函数和约束中的不确定系数，而不是模糊目标和模糊约束。Dubios和Prade［64］求解了带有不精确系数的线性等式系统，第一次对模糊规划问题提供了一种可能的应用。多年来，多种不同方法［6568］被提出来求解带模糊系数的线性规划问题。
　　3）带有容差及不确定性的目标规划
　　Luhandjula等［69］把目标值引入带有模糊系数的目标函数及约束中，同时基于可能性理论进一步发展了此类方法［70］。
　　就目标函数和约束的性质而言，模糊规划可分为线性规划和非线性规划［71］。自模糊规划概念提出以来，大部分研究局限于线性规划问题，通过构造各个不同的等价模型把模糊线性规划数学模型转换为确定性模型，从而通过传统的数学规划方法进行求解，该方面研究已趋于成熟。但是，模糊非线性规划由于其目标函数和约束的复杂性、可行域的不规则性，较难找到一个行之有效的求解方法。该方面目前也已有一系列成果出现［7277］，而且仍然是一个处于发展中的研究方向。
　　1.2.3 随机规划和模糊规划存在的困境
　　迄今为止，随机规划的研究取得了大量的成果，并被较广泛地应用于实际工程问题，然而其理论研究和工程应用方面也同时存在着较大不足或困境［78］：
　　（1）随机规划必须基于不确定参数的精确概率分布，而构造精确的概率分布需获得大量的样本信息。对于很多实际工程问题，由于测量技术、经济性或实际条件所限，往往难以获得足够的样本信息。所以在随机规划问题的实际求解中，对随机变量的分布类型及其相应参数，工程人员往往做出一定程度上的近似和假设。然而，现有研究表明，参数概率分布的微小误差可能导致很大的不确定性分析偏差［79］。
　　（2）并非所有的非线性规划算法都能有效地用来求解随机规划问题（其中适用的几种包括障碍函数法、支撑超平面法等），而且求解的随机规划问题基本上只限于线性约束情形，或者各个随机变量都只取有限多个离散值的情况。求解困难的主要原因在于：在每一迭代点处，求约束函数的函数值或梯度向量时，需计算依赖于决策量的多维积分，计算量过大，因此需要开发一些收敛速度更快的算法；在计算依赖于决策量的多维积分，即多维随机向量落在某一区域的概率时，往往需要采用Monte Carlo方法，但是常规的Monte Carlo方法计算量很大，必须加进许多特别的技巧和减少估计量方差的措施才能使之行之有效［79］。对于更复杂的约束条件，往往只能采用逼近方法［80，81］进行处理。
　　模糊规划