微分几何简明教程

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第1章 曲线论的基本概念
　　在本章中，我们对正则参数化的曲线引入Frenet标架，并通过Frenet标架的无穷小形变发现满足前言中基本条件(1)和 (2)的几何量(即曲线的曲率和挠率).
　　1.1 正则参数化的曲线
　　R3中一个正则参数化的曲线是指一个满足的光滑映射，其中是一个区间，对，记.
　　我们称为正则参数化曲线的参数.设是一个光滑函数，由定义可知是一个正则参数化的曲线当且仅当对任何成立.此时，我们称的一个参数变换.
　　1.2 弧长参数
　　R3中一个弧长参数化的曲线是指一个满足的光滑映射，并称的弧长参数.
　　对任何正则参数化的曲线，取，令的弧长参数，即.此外，由定ds义可知，正则参数化曲线的弧长参数在相差一个常数的意义下唯一.
　　1.3 Frenet标架的运动方程、曲率和挠率
　　由于对任何正则参数化的曲线总可取到弧长参数，因此只要先对弧长参数化的曲线构造几何量，再通过参数变换即可给出正则参数化曲线的几何量.
　　设是弧长参数化的曲线，由可知.即与处处正交.因此，在处可引入R3的一组基
　　从而
　　由于是反对称3×3矩阵，即存在使得
　　(1.1)
　　(1.2)
　　(1.3)
　　由(1.1)和可得 对等式两边微分可知当时在的处可定义，.由上面的讨论可知
　　即
　　(1.4)
　　我们称为的曲率，F=[T，N，B]为的Frenet标架，并称(1.4)为曲线γ的标架运动方程.
　　任取和弧长参数化的曲线，则由定义可知仍然是弧长参数化的曲线，再由(1.4)可知Aγ+a和γ有相同曲率和挠率.如上定义的曲率、挠率自动满足前言中的基本要求(2).
　　我们先通过一个具体的例子来体会以上定义的几何量取三个实数a，b，c满足a2+b2=c2.定义圆柱螺旋线由定义可知γ是弧长参数化的曲线，γ的Frenet标架[T，N，B]由下面的式子给出的曲率和挠率分别为.
　　在这个例子中，曲率与圆柱螺旋线在x1x2-平面上的投影的弯曲程度有关，挠率与圆柱螺旋线在x3-轴方向的平移速度有关.
　　我们现在考虑如何对一般的正则参数化曲线来定义曲率和挠率的概念.设是正则参数化的曲线，作参数变换是一个区间，使得是弧长参数化的.由从而，的曲率为.
　　(1.5)
　　因此，若定义的曲率为
　　(1.6)
　　则κ(t)的定义与参数选取无关，即对任何参数变换并且当是弧长参数化时，(1.6)与前面给出的曲率定义一致.
　　(1.7)
　　对曲率处处非零的正则参数化曲线，由和(1.5) 式可知，的挠率为.
　　因此，若定义的挠率为
　　(1.8)
　　则T(t)的定义与参数选取无关，即
　　(1.9)