概率论与数理统计(第二版)

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第1章 随机事件与概率
　　1.1 随机事件
　　1.1.1 必然现象与随机现象
　　人们在实践活动中所遇到的现象，一般来说可分为两类：一类是必然现象，或称确定性现象；另一类是随机现象，或称不确定性现象。
　　必然现象是指在相同条件下重复试验，所得结果总是确定的现象；只要试验条件不变，试验结果在试验之前是可以预言的，例如：在标准大气压下，将水加热到100℃，水必然沸腾；用手向空中抛出的石子，必然下落；作等速直线运动的物体，如无外力作用，必然继续作等速直线运动等等，这些现象都是必然现象。
　　随机现象是指在相同条件下重复试验，所得结果不一定相同的现象，即试验结果是不确定的现象；对这种现象来说，在每次试验之前哪一个结果发生，是无法预言的，例如：新生婴儿，可能是男孩，也可能是女孩；向一目标进行射击，可能命中目标，也可能不命中目标；从一批产品中，随机抽检一件产品，结果可能是合格品，也可能是次品；测量某个物理量，由于许多偶然因素的影响，各次测量结果不一定相同等等，这些现象都是随机现象。
　　对随机现象，是否有规律性可寻呢？人们经过长期的反复实践，发现这类现象虽然就每次试验结果来说，具有不确定性，但经过大量重复试验，所得结果却呈现出某种規律性。例如：
　　（a）掷一枚质量均匀的硬币，当投掷次数很大时，就会发现正面和反面出现的次数几乎各占1/2。历史上，蒲丰（Buffon）掷过4040次，得到2048次正面；皮尔逊（ K. Pearson）掷过24000次，得到12012次正面。
　　（b）对一个目标进行射击，当射击次数不多时，对弹孔分布看不出有什么规律性；但当射击次数非常多时，就可发现弹孔的分布呈现一定的规律性：弹孔关于目标的分布略呈对称性，且越靠近目标的弹孔越密，越远离目标的弹孔越稀。
　　（c）从分子物理学观点来看，气体分子对器壁的压力是气体分子对器壁碰撞的结果。由于分子是时刻不停地、杂乱无章地运动着，速度和轨道都是随机的，因而对器壁的碰撞也是随机的，初看起来器壁所受的压力是不稳定的，可是实验证明，由于分子数目非常大，各分子运动所具有的随机性在集体中互相抵消、互相平衡了，使得器壁所受的总压力呈现一种稳定性，分子数目越大，压力越稳定。
　　从上述各例可以看到，随机现象也包含着规律性，它可在相同条件下的大量重复试验或观察中呈现出来，这种规律性称为随机现象的统计规律性。
　　概率论与数理统计就是研究随机现象统计规律的一门数学学科。
　　1.1.2 随机试验与事件、样本空间
　　对随机现象的研究，总是要进行观察、测量或做各种科学试验（为了叙述方便起见，统称为试验）。例如，掷一硬币，观察哪面朝上；向一目标进行射击，观察是否命中；从一批产品中随机抽一产品，检查它是否合格；向坐标平面内任投一根针，测量此针的针尖指向与x轴正向之间的交角，等等，这些都是试验，仔细分析，这些试验具有如下的共同特点：
　　（a）试验可以在相同条件下重复进行；
　　（b）试验的所有可能的结果不止一个，而且是事先已知的；
　　（c）每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个，但究竟出现哪一个结果，试验前不能确切预言。
　　如掷硬币的例子，试验是可以在相同条件下重复进行的，试验的可能结果有两个，即正面和反面；每次试验必出现其中之一，但投掷之前是不可能预言出现正面还是出现反面。
　　人们将满足上述三个条件的试验，称为随机试验，简称试验，以字母E表示。
　　为了研究随机试验，首先要知道这个试验的所有可能结果是哪些，随机试验的每一个可能结果称为基本事件也称作样本点，用。表示，全体基本事件的築合称为样本空间，记为S。
　　在讨论一个随机试验时，首先要明确它的样本空间，对一个具体的试验来说，其样本空间可以由试验的具体内容确定，下面看几个例子。
　　例1.1.1 掷一均匀对称的硬币，观察正反面出现情况，这是一个随机试验，可能结果有两个：正（正面朝上），反（反面朝上）。故样本空间
　　例1.1.2 将上述硬币掷两次，观察正反面出现情况，这也是一个随机试验，可能结果有四个：（正正），（正反），（反正），（反反）。这里括号内的第一个和第二个字，分别表示第一次和第二次掷的结果，故样本空间
　　例1.1.3 记录某电话交换台在一段时间内接到的呼叫次数，这个试验的基本事件（记录结果）是一非负的整数，由于难以规定一个呼叫次数的上界，所以样本空间
　　例1.1.4 从一批灯泡中抽取一只灯泡，测试它的使用寿命。设t表示寿命，则样本空问
　　例1.1.5 观察某地区一昼夜最低温度x和最高温度y。设这个地区的温度不会小于T0也不会大于T1，则样本空间
　　在试验中可能发生也可能不发生的事情称为随机事件，简称事件，以字母A，B，C， 表示。有了样本空间的概念便可以用集合的语言来定义事件，下面先从一个例子来分析。
　　例1.1.6 在例1.1.2中，若设事件A=“第一次出现正面”，在一次试验中，A发生当且仅当在这次试验中出现基本事件（正正），（正反）中的一个，这样可以认为A是由（正正），（正反）组成的，而将A定义为它们组成的集合
　　又如事件B=“两次出现同一面”，B发生当且仅当基本事件（正正），（反反）中的一个出现，而将B定义为它们组成的集合
　　类似地，事件C=“至少有一次出现正面”，可定义为集合
　　事件D=“第一次出现反面”，可定义为集合
　　一般地，人们将事件定义为基本事件的某个集合，即样本空间的某个子集，称事件A发生，当且仅当A中某一基本事件出现。
　　样本空间S和空集作为S的子集也看作事件，由于S包含所有的基本事件，故在每次试验中，必有一个基本事件e∈S发生，即在试验中，事件S必然发生，因此，S是必然事件。又因在中不包含任何一个基本事件，故在任一次试验中，永远不会发生，因此，是不可能事件，常用S，分别表示必然事件与不可能事件。
　　必然事件与不可能事件可以说不是随机事件，但为了今后研究的方便，还是把它们作为随机事件的两个极端情形来处理。
　　再看几个事件的例子。
　　例1.1.7 在例1.1.3中，若设A=“呼叫次数不超过三次”，B=“呼叫次数大于五次”，则A={0，1，2，3}，B={6，7，8， }。
　　例1.1.8 在例1.1.4中，设A=“寿命小于五小时”，则A={t：0≤t<5}。
　　例1.1.9 在例1.1.5中，设A=“最高温度与最低温度之差不超过10℃，则
　　1.2 事件的关系与运算
　　在实际问题中，往往要在同一个试验中同时研究几个事件以及它们之间的联系，详细分析事件之间的关系，不仅可以帮助人们更深入地认识事件的本质，而且还可以大大简化一些复杂的事件。
　　在下面的叙述中，为直观起见，用平面上的一个矩形域表示样本空间S，矩形内的每一点表示样本点（基本事件）；并用矩形内的两个圆分别表示事件A和事件B。
　　1.事件的包含与相等
　　若事件A中的每一个样本点都属于事件B（图1.1），则称事件B包含事件A，记作或。
　　显然，这时事件A发生必然导致事件B发生，故B包含A，也常定义为：“若A发生必然导致B发生，则称B包含A”。
　　例如，在例1.1.6中，由于A={（正正），（正反）}，C={（正正），（正反），（反正）}，故有。
　　对任一事件A，有。
　　如果ACB，且BCA，则称A与B相等，记作A=B。
　　2.事件的积（或交）
　　同时属于A和B的样本点的集合（图1.2）称为A与B之积（或交），记为或AB。
　　显然，事件AB发生等价于事件A与事件B同时发生，常称AB为A与B同时发生的事件。
　　例如，在例1.1.6中，AB={（正正）}，AC =A；在例1.1.7中，对任意事件A，有SA=A；且若，则有AB=A。
　　3.互不相容事件
　　若，即A与B不能同时发生（图1.3），则称A与B为互不相容的事件（或互斥事件）。
　　例如，在例1.1.7中，A与B是互不相容的事件，再如必然事件S与不可能事件是互不相容的事件。
　　如果A1，A2， ，An中的任意两个事件是互不相容的，则称A1，A2， ，An是互不相容的。
　　4.事件的和（或并）
　　至少属于A和B二者之一的所有样本点组成的集合（图1.4）称为A与B之和（或并），记为。
　　显然，事件发生，表示A发生或B发生或A与B同时发生，即A与B中至少有一个发生，因此，常称为A与B中至少有一个发生的事件，若A与B是互不相容的事件，则它们的和也记为A+B。
　　例如，在例1.1.6中，由于A={（正正），（正反）}，B={（正正），（反反）}，D={（反正），（反反）}，故
　　5.事件的差
　　包含在A中而不包含在B中的样本点的集合（图1.5）称为A与B之差，记为A-B。
　　显然，事件A-B发生，表示事件A发生而B不发生。
　　例如，在例1.1.6中，A-B={（正反）}，A-D=A。
　　对任意事件。
　　6.对立事件
　　S与A之差S-A称为A的对立事件，记为A（图1.6）。
　　由定义可知，在任一次试验中，A与五不可能同时发生，但A与A二者之中必然有一个发生，因而，五就是事件“A不发生”，且A=A。
　　显然，若事件A，B满足
　　则A，B互为对立事件：B=A，A=B。
　　此外，对任意两事件A，B有
　　事件的和与事件的积都可以推广到n个事件及可列无限多个事件上去。
　　用或表示“A1，A2， ，An中至少有一个发生”的事件，称之为A1，A2， ，An的和。当A1，A2， ，An互不相容时，它们的和可写成A1+A2+ +An或。
　　用或表示“A1，A2， ，An同时发生”的事件，称之为A1，A2， ，An的积。
　　用表示“A1，A2， ，Ai， 中至少有一个发生”的事件，称之为A1，A2， ，Ai， 的和。 工科大学本科各专业，财经、理科类某些专业，工程技术人员