莫德尔-韦伊定理——从一道日本数学奥林匹克竞赛试题谈起

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书籍目录

第一章 椭圆曲线理论初步…………………………………1
1.1 引言 ……………………………………………………………1
1.2 牛顿对曲线的分类 ………………………………………………2
1.3 椭圆曲线与椭圆积分………………………………………………4
1.4 阿贝尔、雅可比、艾森斯坦和黎曼…………………………………5
1.5 椭圆曲线的加法……………………………………………………6
1.6 椭圆曲线密码体制 ………………………………………………9
第二章 莫德尔一韦伊群 ……………………………………11
2.1 问题背景…………………………………………………………11
2.2 国内外研究现状 …………………………………………………12
第三章 关于椭圆曲线的莫德尔一韦伊群 …………………16
3.1 定义…………………………………………………………16
3.2 莫德尔一韦伊群……………………………………………………17
3.3 关于BSD猜想………………………………………………18
3.4 高度………………………………………………………………19
3.5 莫德尔一韦伊群的生成元 ……………………………………21
第四章 椭圆曲线中的韦伊猜想………………………………22
4.1 椭圆曲线上的猜想……………………………………………22
4.2 模形论…………………………………………………25
4.3 表示论……………………………………………………28
4.4 朗兰兹猜想…………………………………………………35
4.5 附注 ……………………………………………………………37
第五章 椭圆曲线、阿贝尔曲面与正二十面体 ………………43
5.1 引言…………………………………………………43
5.2 正二十面体…………………………………………………44
5.3 椭圆曲线…………………………………………………45

5.4 阿贝尔簇 …………………………………………………………………………49
5.5 阿贝尔簇的射影嵌入 ……………………………………………………………51
5.6 Horrocks-Mumford丛……………………………………………………54
第六章 数域上的椭圆曲线 ……………………………………………………59
6.1 扭群结构 …………………………………………………………………………59
6.2 自由部分 ……………………………………………………………………………62
6.3 典范高度及计算莫德尔一韦伊群………………………………………………68
第七章 椭圆曲线的黎曼假设…………………………………………………75
7.1 引言 …………………………………………………………………………75
7.2 陈述 ………………………………………………………………………………76
7.3 整体(域的)Zeta函数 …………………………………………………………………77
7.4 哈塞定理的初等证明 ………………………………………………………………82
第八章 椭圆曲线上的有理点个数……………………………………………87
8.1 引言 …………………………………………………………………………87
8.2 簇上的有理点 ……………………………………………………………………89
8.3 椭圆曲线的秩 ………………………………………………………………………95
8.4 2-Selmer 群的平均阶数…………………………………………………………100
8.5 推广与推论 ………………………………………………………………………107
第九章《千年难题》的书评……………………………………………………111
参考资料………………………………………………………………………114