大学数学基础.1（法文版）

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Chapitre 1 Groupes， anneaux et corps
　　Prérequis : dans tout ce chapitre， les notions suivantes sont supposées connues :
　　. le cours de logique (en particulier， implications et équivalences) ;
　　. notion d’ensemble et opérations usuelles sur les ensembles ;
　　. image directe et image réciproque d’une partie par une application ;
　　. composition d’applications， propriétés de la composition ;
　　. injection， surjection， bijection et leurs propriétés ;
　　. produit scalaire et déterminant dans le plan et dans l’espace， produit vectoriel dans l’espace.
　　Vous connaissez depuis longtemps l’addition et la multiplication de nombres réels (ou de nombres entiers). En fait， vous avez appris que ce sont des opérations qui ont un certain nombre de règles de calculs. Dans ce chapitre， on va généraliser ces “opérations” (ce qu’on appellera des lois de composition interne) et les règles de calcul. Ceci va nous amener à définir des notions de structures algébriques : notions fondamentales en mathématiques qui permettent essentiellement de manipuler des objets (des nombres， des ensembles， des applications， des vecteurs ) et de faire des “calculs” avec ces objets.
　　Vous verrez par la suite que ces structures reviennent naturellement dans tous les domaines mathématiques， mais aussi dans tous les domaines scientifiques.
　　1.1 Groupes
　　1.1.1 Loi de composition interne
　　Définition 1.1.1.1 Soit E un ensemble non vide. On appelle loi de composition interne sur E toute application La valeur f(x; y) pour un couple s’appelle le composé de x et y pour cette loi.
　　Exemple 1.1.1.2 Voici quelques exemples et contre-exemples de lois de composition interne :
　　. l’addition sur N est une loi de composition interne ;
　　. la multiplication dans C est une loi de composition interne sur C;
　　. si E est un ensemble donné， alors [ est une loi de composition interne sur P(E) ;
　　. le produit vectoriel ^ est une loi de composition interne sur R3 ;
　　. la loi
　　 est une loi de composition interne sur F(E;E) mais n’est pas une loi de composition interne sur F(E; F) (lorsque E et F sont deux ensembles distincts) ;
　　. par contre， le déterminant dans le plan n’est pas une loi de composition interne : àdeux vecteurs， on associe un nombre réel et non pas un vecteur.
　　Notations :
　　. on utilise souvent l’expression “l.c.i.” pour dire “loi de composition interne”. C’est une abréviation qui est tolérée ;
　　. en général， on utilise un symbole pour désigner le composé de x et y， comme par exemple On dira donc souvent : “soit * une loi de composition interne sur E” (au lieu de f) et on notera y au lieu de f(x; y).
　　Définition 1.1.1.3 Soient E un ensemble non vide et une loi de composition interne sur E. On dit que :
　　. * est associative si ;
　　. * est commutative si;
　　. * possède un élément neutre s’il existe e2E tel que.
　　Exemple 1.1.1.4 Reprenons les exemples précédents.
　　. La loi sur N est associative， commutative et admet 0 pour élément neutre.
　　. La loi sur C est associative， commutative et admet 1 pour neutre.
　　. La loi est associative， commutative et admet ; pour neutre.
　　. La loi n’est ni associative， ni commutative et n’admet pas d’élément neutre. En effet，
　　On peut remarquer que dans la pratique， ceci signifie que les règles de calcul de produit vectoriel sont “plus difficiles” que les règles de calcul dans R par exemple. Pour s’en convaincre， il suffit d’écrire la formule du “double produit vectoriel” et de comparer avec le “double produit” dans R :
　　alors que pour; wtrois vecteurs de l’espace :
　　Formule nettement plus “difficile”， ne serait-ce qu’à retenir.
　　. Si E est un ensemble， la loi
　　 sur F(E;E) est associative， admet un élément neutre (IdE) mais n’est pas commutative si E contient au moins deux éléments).
　　Dans toute la suite， sauf mention explicite du contraire， E est un ensemble quelconque non vide.
　　Proposition 1.1.1.5 Soit * une loi de composition interne sur E. Si * admet un élément neutre， alors il est unique.
　　Preuve :
　　Définition 1.1.1.6 Soit * une loi de composition interne sur E admettant un élément neutre e. Soit x un élément de E. On dit que x est inversible pour la loi * s’il existe y 2 E tel que . Un tel y est alors appelé un inverse de x.
　　Attention : il faut bien vérifier les deux égalités se peut qu’il existe y 2 E tel que mais que. Par exemple， si est muni de la loi ， on a vu que IdN est l’élément neutre et si on considère les applications f et g définies par :
　　Proposition 1.1.1.7 Soit * une loi de composition interne sur E， associative et possédant un neutre. Six 2E est inversible， alors son inverse est unique.
　　Son inverse est alors noté.
　　Preuve :
　　Remarque : on peut plus généralement définir les notions d’élément inversible à droite，d’élément inversible à gauche， d’inverse à droite et d’inverse à gauche de la fa.on suivante :
　　. on dit que est invers