医学高等数学(供临床预防基础口腔麻醉影像药学检验护理法医等专业使用第3版案例版高等

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第一章函数、极限与连续
　　Function and Limit and continue
　　案例1-1
　　当X射线经过机体组织或别的物质时，它的能量要被吸收一部分.设原来的强度为I0，经过单位厚度的物质时有p%吸收.
　　问题：试问经过d单位厚度的物质时，剩下的强度I等于多少？
　　函数是事物间量与量相互联系、相互制约规律的数学抽象，是表达变量间复杂关系的基本数学形式，是高等数学的主要研究对象.极限则动态地刻画了变量的运动和演进的变化趋势，是高等数学的基本研究方法.有了极限，人们才可能以高于初等数学的观点和方法来研究函数.本章在初等数学基础上，进一步介绍函数、极限的基本内容，并引出连续的概念和性质，为学习一元微积分奠定基础.
　　第一节函数
　　函数概念的萌芽可以追溯到古代对图形的研究，随着社会的发展，人们开始逐渐发现，在所有已经建立起来的数的运算中，某些量之间存在着某种规律.
　　一、 函数的概念
　　事物的发展和变化，本质上是量的演变.如果在所考虑的问题或变化过程中，一个量始终保持同一数值，这样的量称为常量(constant).如果在所考虑的问题或变化过程中，一个量可以有不同的数值，这样的量称为变量(variable).例如，圆的面积S=π×r2，其中，π为常量，r为圆的半径，而面积S与半径r可以取不同的值，视为变量；再如，儿童服药的剂量常取决于儿童的体重，如果治疗时间较短，该儿童体重可视为常量；若此疗程长达数年，其体重就是一个变量，因此，一般可以把常量看成特殊的变量.
　　函数是数学中最主要的概念之一，概念是数学的基础，概念性强是函数理论的一个显著特点，只有对概念做到深刻理解，才能正确灵活地加以应用.
　　定义1.1设x和y是某变化过程中的两个变量，如果对于变量x的每一个允许的取值，按照一定的对应法则，变量y总有一个确定的值与之对应，则称变量y是变量x的函数(function).变量x称为自变量(independent variable)，变量y称为因变量(dependent variable)，记为
　　y=f(x)，x∈D
　　D是自变量x的所有允许值的集合，称为函数的定义域(domain).而因变量y的所有对应值的集合称为函数的值域(range).
　　从函数的定义可知，函数的定义域和对应法则是函数的二要素，一旦二者确定，函数的值域也就相应地确定了.
　　在数学中，通常不考虑函数的实际意义，而抽象地用算式表达函数，因此约定函数的定义域就是使函数有意义的自变量取值的全体.
　　例1.1
　　确定下列函数的定义域.
　　(1)
　　(2)
　　解要求函数的定义域，只需求出使函数有意义的x的取值范围.
　　(1) 要使函数有意义，必有
　　解此不等式组得x>1或x≤-1，所以该函数的定义域可表示为
　　(2) 要使函数有意义，必有1-x3>0且3-2x≥0，所以该函数的定义域可表示为(-∞，1).
　　实际问题中，求函数的定义域要注意其实际意义.
　　例1.2在自由落体运动中，设物体下落的时间为t，下落的高度为h，运动规律为s=12gt2，其中g为重力加速度，求函数s的定义域.
　　解从抽象的算式看，t可以取一切实数值，但考虑到实际意义，显然应有t≥0且0≤s≤h，而t=2sg，故定义域为0，2hg.
　　例1.32003年中国非典型肺炎(SARS)流行时，感染人数随时间变化的规律通过实际观测的数据表示，我们用最引人关注的时间段里公布的全国疫情报告中的8组数据来反映新增病例数N与时间t的关系，见表1.1.
　　表1.12003年全国SARS流行高峰期新增病例报告
　　图1.1
　　将表1.1中的数据(ti，Ni)以描点的形式标记在坐标平面上，然后用光滑的曲线连接这些点.则此曲线N=N(t)也表示这个时间段全国新增病例数N与时间t的关系，此为图形表示法，见图1.1.
　　还可以用解析式法表示N与时间t的关系.由于影响新增病例数N的因素很多，绝非一个时间变量t所能完全确定的，故N=N(t)这类解析式只能近似模拟这种关系，例如用N(t)=α+βtγ来拟合这一关系，这里α、β、γ均为常数，在流行病学中有具体含义.
　　上述函数均为单值函数，即自变量x在其定义域上取值时，函数y只有一个确定的值与之对应.如果y有两个或两个以上的值与之对应，称y为x的多值函数，如y=±x.
　　函数的表达方式通常有公式法、图像法和表格法，甚至可以用一段文字来表述.
　　二、 分段函数
　　在生物、医学和工程技术等应用中，经常遇到一类函数，当自变量在不同范围内取值时，其表达式也不同，这类函数就是分段函数.历史上最著名的Dirichlet函数就是一个分段函数：
　　定义1.2在定义域的不同范围上，用不同的解析式来表达的一个函数，称为分段函数(piecewise function).
　　例1.4x为任意实数，不超过x的最大整数称为x的取整函数.记为f(x)=［x］.例如［π］=3，［3］=1，25=0，-25=-1，取整函数的定义域是(-∞，+∞)，值域是整数集Z，这是一个分段函数，它的图形是阶梯状的，见图1.2.
　　图1.2
　　例1.5
　　在生理学研究中，血液中胰岛素浓度c(t)(单位/毫升)随时间t(min)变化的经验公式为
　　式中k为常数，这是一个分段函数，见图1.3.
　　图1.3
　　图1.4
　　例1.6未成年人服药剂量的Cowling公式为c=(a+1)d24，根据此公式，到多大年龄时，该剂量达到成人剂量？(d为成人剂量)
　　显然，令c=d可解出a=23，故Cowling公式应为
　　这是一个分段函数，见图1.4.
　　三、 复合函数
　　定义1.3设y是u的函数y=f(u)，u是x的函数u=φ(x)，若x在u=φ(x)的定义域或其子集上取值时，所对应的u值使y=f(u)有定义，则称y是x的复合函数(compound function)，记为y=f(φ(x)).其中，u称为中间变量(intermediate variable).
　　例1.7求由y=eu，u=v+sinv，v=1-2x构成的复合函数.
　　解u是y的中间变量，v是u的中间变量，依次代入可得y=e1-2x+sin(1-2x).
　　例1.8求由函数y=u3和u=sinx构成的复合函数和由函数y=sinu和u=x3构成的复合函数.
　　解(1) 由函数y=u3和u=sinx构成的复合函数是
　　y=sin3x；
　　(2) 由函数y=sinu和u=x3构成的复合函数是
　　y=sinx3.
　　以上是两个或两个以上函数层层“嵌套”构成的复合函数.但需注意，不是任何两个函数都可以复合成一个复合函数的，如y=1-u及u=x2+2就不能复合成一个复合函数.因为函数u=x2+2的值域为［2，+∞)，在此区间上y=1-u没有意义.
　　我们不仅要学会把若干个函数复合成一个复合函数，而且要善于把一个复合函数分解成若干个简单的函数.所谓简单函数，是指基本初等函数或是常数与基本初等函数四则运算后的结果.
　　例1.9试分解复合函数y=tan2（5-2x）.
　　解显然是由y=u2，u=tanv，v=w12，w=5-2x复合而成.
　　例1.10试分解复合函数y=lg2［cot(x2+1)］.
　　解y=u2，u=lgv，v=cotw，w=x2+1.
　　四、 初等函数
　　1.基本初等函数
　　通常把幂函数、指数函数、对数函数、三角函数及反三角函数等五类函数统称为基本初等函数(basic elementary function).见表1.2.
　　表1.2基本初等函数表
　　续表 以五年制临床医学专业、药学专业本科生为主要使用对象，兼顾与医学相关的其他专业。