高等代数与解析几何(上下第3版十二五普通高等教育本科规划教材)/南开大学数学教

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引言
　　0.1 概述
　　数学分析、高等代数与解析几何是大学数学系的三大基础课程。事实上，它们也是理工科的基础，由于数学、计算机的广泛应用，以致经济、管理等专业今天也离不开计算机，离不开数学，离不开数学就离不开这三个基础。通常在数学系它们是三门独立的课程，在教学中占有重要的地位，并占有很大比例。由于在大学教学中要反映科学的新发展，就必须在大学开设一些新的课程。事实上，各大学数学系中开设与计算机有关的课程已经越来越多了，这样就必须重新安排原来的课程以节省时间。由于数学分析与高等代数是数学中的两大支柱，应用又特别广泛，这两门课几乎没有削减的可能。其实，高等代数还随着计算机的普及而不断增强。如许多非数学专业开设的课程除高等数学（数学分析加解析几何）这一传统课程外，还增加了线性代数f高等代数的一部分）。在这种情况下，大多数数学系是采取削减解析几何的办法来减少基础课的学时，无疑，过分削减甚至取消解析几何是对数学学习的重大损失。其实，高等代数与解析几何关系非常密切，这两门课程的内容不可避免地有很多重叠部分。因而若将这两门课程合起来，不仅可以省出许多时间，而且也不会太多地削减解析几何的内容。从某种意义上说，反面会使这两门课程都得到加强。南开大学数学系数学专业就是本着这一宗旨将解析几何与高等代数统一为一门课程。这种作法也为数学家陈省身、杨忠道、王叔平等所提倡，本书是力求反映这种思想的尝试。
　　大家知道，初等代数是研究数及代表数的文字的代数运算（加法、减法、乘法、除法、乘方、开方）的理论和方法，也就是研究多项式（实系数与复系数）的代数运算的理论和方法。而多项式方程及多项式方程组的解（包括解的公式和数值解）的求法及其分布的研究恰为初等代数学研究的中心问题。以这个中心问题为基础发展起来的一般数域上的多项式理论与线性代数理论就是所谓的高等代数。
　　多项式理论有很长的历史。高等代数中的多项式不仅是实系数、复系数多项式，而且包括一般数域的数为系数的多项式。求一元多项式方程（高次方程）的解，或一元多项式的根，实际上就是求此多项式的一次因式，因而一元多项式理论将以因式分解为中心来展开。而多元多项式的问题复杂得多，我们只以对称多项式为中心来展开。
　　高等代数的另一部分，即线性代数理论，虽然历史久远，但在20世纪才形成一个独立分支。线性代数起源于（多元）一次方程组（又叫线性方程组）的解法。几何、力学与物理学等学科中的许多概念（如向量等）也是它的源泉。线性代数大致可以分为矩阵、线性空间和代数型三个对象。这三个对象间的关系是非常密切的，以致线性代数中的大部分问题在这三种理论中的每一种都有等价的说法。因此，在学习线性代数时要熟练地从一种理论的叙述转移到另一种去。当然，这三者的着眼点是不一样的。矩阵的观点与实际计算结合得最多，技巧性也很强。而代数型许多是从几何、力学与物理学科中提出来的。线性空间则着眼于更深刻、更透彻地揭示线性代数中各种问题的本质。这里，各种概念的明确性是至关重要的。此外，要指出行列式不仅在历史上，而且在今天仍然是一个重要的工具。
　　古典几何学是以空间图形为其研究对象的，如各种平面图形、空间图形等，其方法是直接考察图形。这种方法称为综合几何法或纯粹几何法。在古希腊时代，几何学几乎代表了全部数学。文艺复兴后，代数学在欧洲迅速发展。17世纪以后，数学分析发展非常显著，几何学也摆脱了和代数学相脱离的状态。特别是R．笛卡儿在空间设立坐标系之后，可以用方程来表示图形；反过来，图形也可以表示方程。所谓方程，实际就是数与数之间的关系。例如，在平面直角坐标系中，ax+ by=c（a，b，c为常数；x，y为未知数）表示了一条平面直线。反过来，一条直线也代表了这样一个方程。又例如，x2+y2=r2在平面直角坐标系中表示以原点为中心，r为半径的圆周。反过来，一个圆周也代表了一个二元二次方程（x-x0）2+（y-y0）2=r2。按照坐标把图形改变成数与数之间的关系问题而对之进行处理的方法称为解析几何。
　　以代数方法来研究几何问题，对某些问题带来很大方便。但因方法所限，研究的对象不可避免地有所限制。因而解析几何系统研究的平面曲线是一次曲线（直线）与二次曲线（如圆、双曲线、抛物线等）；系统研究的空间曲面为一次曲面（平面）、二次曲面以及锥面、柱面和旋转面；空间曲线多作为两曲面的交线。
　　既然解析几何是以代数为工具的，因而本着“工欲善其事，必先利其器”的原则，我们基本上是先讨论代数，而后用它去解决几何问题。但是，代数，特别是线性代数中许多概念、结果又概括了几何、力学、物理等学科中一些概念、结果，而产生更抽象、更本质的概念和结果，故有时先讲解析几何中的“原始”的概念、结果对理解代数也是很有好处的，也只有这样才能将这两门课真正统一起来。
　　不用坐标而直接考察图形的纯粹几何方法不仅用于古典几何的研究，而且也用于射影几何的研究。射影几何是由透视图法而发展起来的，它可以说是纯粹几何法指导下的产物。与射影几何密切相关的是仿射几何。现在射影几何与仿射几何也都可以用线性代数方法来研究，因而有人将解析几何、仿射几何与射影几何统归于线性几何之中。我们也将以代数的观点介绍仿射几何与射影几何的基本概念与基本定理，如Desargue定理等。由于教学课时所限，也只能如此而已。
　　许以超在《线性代数与矩阵论》一书的序中说：“所谓线性代数学，就是或者直接研究线性空间的几何问题，或者将线性空间的一些几何问题化为矩阵问题。”K.W.Gruenberg与A.J.Weir在其Linear Geometry（《线性几何》）一书的序中第一句话就说：“这主要是一本关于线性代数的书。”这些看法也适用于本书。
　　本书的第1章讨论多项式理论。我们在实际教学中只讲授一元多项式部分，多元多项式部分在抽象代数中讲授。第2章是行列式，包括用行列式解线性方程组的Cramer法则，第3章矩阵主要是讲矩阵的计算、初等变换及矩阵与线性方程组的关系，这3章的习题一般说来技巧性较强，为了介绍一些技巧，我们在这3章的最后都安排了一些例题。第4章是线性空间。其中第一、二节可以说是解析几何，这样我们可以更清楚线性空间的几何背景。第5章是线性变换。第6章多项式矩阵是为了讨论复线性变换而设的。实际上，在第5章的第8节及其习题中这个问题已经解决，但这种方法在其他书中未曾见过，一般书上都采用第6章的方法，这两种讲法采用一种即可。我们采用第5章第8节的讲法，因此第6章的多项式矩阵理论可以作为抽象代数中模论中更一般结果的特倒。第7章Euclid空间是通常Euclid几何的推广。向量的长度与向量间的夹角起着关键性的作用。在三维Euclid空间中的向量积与混合积是解析几何中的重要内容与重要工具，我们在本章最后一节讲述。第8章是双线性函数与二次型，实际上也是多元二次多项式，这是用代数方法研究的最重要的工具之一。它在数学分析中也是很有用的，因而在这章最后两节分别论述二次型在数学分析与解析几何中的应用。至此，高等代数的内容可以告一段落。同时解析几何中平面、直线的理论也基本论述完毕。作为解析几何学工具的代数也准备完了，因而在第9章我们就可以很轻松地讨论二次曲面了。第10章是仿射几何与射影几何，我们仍然采用代数方法而不是纯粹几何方法来处理。
　　最后要说明的是，线性空间的张量代数在几何学（如微分几何学）、物理学中有广泛的应用，因而也是很重要的。按其性质应属于线性代数，但一般却不在高等代数的课程中讲授，有的在抽象代数中讲授，有的在微分几何课中讲授。由于课时的原因，本书也不介绍。
　　正式内容前的预备事项一是介绍连加号、连乘号；一是介绍数学归纳法。当然也可以在正式内容中介绍，单独介绍一下的好处是避免讲述正式内容时枝叶过多而分散学生韵注意力。
　　0.2 预备事项
　　1. 连加号（∑）在数学中，为了使数学式表示简单明确，通常要规定一些特殊符号。连加号就是其中之一。
　　n个数a1，a2， ，an的和
　　简记为
　　当然，也可以记为等。
　　序列
　　中从第p项到第q项之和，则可记为
　　又如
　　则表示上述序列的第1项到第2k+1项中所有奇数项的和，即
　　以后，还可能出现两个、三个，甚至更多个连加号在一起的情况。
　　如有mn个数，我们可将它们排成一个长方阵：m个（横）行，n个（竖）列。将第i行，第j列的数表示为aij即有下面的表
　　第1行，第2行， ，第m行各数之和分别为
　　然后，再将这些数求和，即
　　这时可将此数记为
　　这数实际上是mn个数的总和。当然，我们也可先按列求和，而后将各列之和相加而求得总和。因此，我们有
　　其他还有许多情况，以后再逐渐熟悉。
　　2. 连乘号 与连加号相类似地，有连乘号。
　　n个数a1，a2， ，an之积
　　简记为
　　当然，也可以有多重连乘号。例如前面所说的mn个排成长方阵的数的积，可表示为
　　有时可能用到一些别的表示法，如
　　表示所有i　　为个因式之积。
　　3. 数学归纳法 我们知道，证明一个与自然数有关的性质E（n）对所有自然数成立，首先对数1证明E（1）成立，然后在“归纳假设”之下，即假定数n具有性质E（n）来证明数n +1具有性质E（n+1）。
　　这种证明方法的可靠性在于自然数集N有下面性质。
　　完全归纳原理 设S为N的子集，而且满足
　　1）1∈S；
　　2）若n∈S，则n+1∈S。
　　那么，S=N。
　　自然数集N除了上面的完全归纳原理的性质外，还有一个很重要的定理。
　　定理0.2.1 自然数集N的任一非空子集都有一个最小数。
　　证 设S是N的一个非空子集。于是有k∈S，因此集合是有限集，于是有最小数m。
　　显然，m∈S，s∈Sk，则s≥m。又若n∈S，n？Sk，则n>k≥m。故m是S的最小数。
　　由这个定理，我们可以建立第二数学归纳法：
　　为证明一个与自然数有关的性质E（n）对所有自然数成立，首先证明E（1）成立。在归纳假设对每个小于n的数成立下，证明E（n）成立。那么，E（n）对所有自然数都成立。
　　事实上，假设使E（n）不成立的自然数集为S。若S非空，即。则S中有最小数时，E（k）成立。故成立，即矛盾，因而我们知道第二归纳法成立。
　　例0.1 证明Fibonacci序列的通项公式为
　　证 直接验算有