实变函数与泛函分析学习指导

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第1章　集合与测度
　　定理1.1　设是一集族， B是任一集合， 则
　　定理1.2 (De Morgan对偶律)　如果为全集， 是的子集族， 则
　　推论　设X为全集， 如果是X的子集族， 则
　　定义1.1　设是一列集合， 简记为{An}. 称集合为{An}的上限集， 记为或; 称集合为的下限集， 记为或. 如果， 则称集列{An}收敛， 并称这个集合为集列{An}的极限集， 记为.
　　定理1.3　设是一列集合， 则
　　从而.
　　定义1.2　设是一列集合. 如果， 则称这列集合为单调递减集列， 简称为递减集列; 如果， 则称这列集合为单调递增集列， 简称为递增集列. 递增集列与递减集列统称为单调集列.
　　单调集列收敛， 如果是递增集列， 那么; 如果是递减集列， 那么.
　　定义1.3　设为全集， ， 作上的函数
　　称为集合的特征函数.
　　定理1.4　设X为全集， 是X的子集族， 则
　　(1)
　　(2)
　　(3)
　　(4) 如果， 当A（i=1，2，3， ，n）互不相交时，
　　(5)
　　(6)
　　定义1.4　设X1，X2， ，Xn是n个非空集合. 称下列有序元素组的集合
　　为X1，X2， ，Xn的Descartes乘积， 简称为X1，X2， ，Xn的积集， 记为
　　特别地， 记
　　定义1.5　设X，Y是两个非空集合， 如果存在一个法则f， 使得对于任意x∈X， 在Y中有唯一确定的元素y与之对应， 则称f是X到Y的一个映射， 记为. y称为x在映射f之下的像， 记为y=f(x).X称为映射f的定义域， 记为.
　　集合称为映射f的值域， 记为. 当Y=R时， 将映射f叫做函数. X×Y的子集称为映射f的图像， 记为. 如果， 称Y的子集为在映射f下的像， 记为f(A); 称X的子集为映射f下B的原像， 记为.
　　设X，Y，Z都是非空集合， 映射， . 定义
　　则是X→Z的映射， 称为f与g的复合映射.
　　定义1.6　设X，Y是两个非空集合， 映射. 如果， 当x1≠x2时， 有， 则称f是X到Y的单射; 如果， 则称f是X到Y的满射; 如果f既是X到Y的单射， 又是X到Y的满射， 则称f是X到Y的双射， 或称f是X到Y的一一对应.
　　如果中的集合， 则; 如果的子集， 则.
　　定理1.5　设是两个非空集合， 映射. 如果集合， 是的子集族， 是的子集族， 则
　　(1) 当是单射时，
　　(2) 当是满射时，
　　(3)
　　(4) 当为单射时，
　　(5)
　　定义1.7　设A，B是两个非空集合， 如果存在一个A到B的双射f， 则称集合A与集合B对等， 记为A~B.
　　定理1.6 (Bernstein)　设A，B是两个集合. 如果A对等于B的一个子集， 又B对等于A的一个子集， 则A与B对等.
　　定义1.8　如果集合A与正整数集合N对等， 那么称A是可数集或可列集. 如果A既不是有限集也不是可数集， 则称A是不可数集.
　　将有限集和可数集统称为至多可数集.
　　集合A是可数集当A且仅当中的元素可以排成无限序列的形式
　　定理1.7　任一无限集中含有可数子集.
　　推论　可数集的每个无限子集也是可数集.
　　定理1.8　可数个可数集的并集是可数集.
　　定理1.9　有理数集Q是可数集.
　　定理1.10　区间[0，1]是不可数集.
　　推论　任何区间I(开区间、闭区间、半开区间、无限区间)都是不可数集.
　　定理1.11　如果集合A中的元素为直线上互不相交的开区间，　那么A是至多可数集.
　　定义1.9　设是非空集合， 如果映射
　　满足下列条件(称为度量公理):
　　　　(1) 正定性， 且;
　　　　(2) 对称性
　　(3) 三角不等式
　　则称是上的度量函数或距离函数， 非负实数称为两点之间的距离．定义了距离的集合称为度量空间或距离空间， 记为. 如果不需要特别指明度量， 简记为.
　　如果X1是度量(X，d)空间的非空子集， 显然也是X1上的度量函数， 这时称是的子空间.
　　命题1.1　中的Euclid距离满足度量公理.
　　在Rn中可以定义其他的度量， 如， 定义或. 以后我们提到空间， 除非特别说明， 都是指赋予Euclid距离的度量空间.
　　定义1.10　设是度量空间中的一个点列，如果， 则称点列收敛于， 也称是点列的极限， 记为或.
　　定理1.12　度量空间（X，d）中的极限具有唯一性.
　　定理1.13　设度量空间（X，d）中的点列{xn}收敛于x0， 则{xn}的任意子列也收敛于.
　　命题1.2　在度量空间Rn中， 点列收敛于当且仅当时， .
　　设，度量空间中的集合
　　叫做以x0为球心、δ为半径的开球， 也称为x0的δ邻域. 如果度量空间X中的子集M能被包含在一个开球中， 则称M为有界集， 否则称为无界集. 设是的非空子集， 如果存在的邻域， 则称是的内点， 的全体内点的集合称为的内部， 记为. 如果存在的邻域， 使得， 则称是的外点. 如果， 有
　　则称是的边界点， 的全体边界点的集合记为， 称为的边界. 如果， 有
　　则称是的聚点， 的全体聚点的集合记为， 称为的导集. 如果集合的每一点都是它的内点， 即， 则称为开集. 如果， 则称为闭集. 记， 称为的闭包. 如果但不是的聚点， 则称是的孤立点.
　　空集以及本身既是开集也是闭集.
　　定理1.14　设是度量空间， 是的非空子集.
　　(1) 是闭集， 并且， 另外是包含的最小闭集， 即当是闭集且时， ;
　　(2) 是开集， 并且， 另外是包含于的最大开集， 即当是开集且时， ;
　　(3) 是闭集当且仅当;
　　(4)
　　(5) 是的外点;
　　(6) 若是开集， 则是闭集;
　　(7) 若是闭集， 则是开集;
　　(8) 任意多个开集的并集是开集， 有限个开集的交集是开集;
　　(9) 任意多个闭集的交集是闭集， 有限个闭集的并集是闭集;
　　(10) 当且仅当存在， ， 使得.
　　定理1.15　设是度量空间中的子集， 则是闭集当且仅当对中的任意点列， 如果时， ， 那么.
　　设， 是度量空间中的非空子集， 称为点到集合的距离， 记为.
　　定理1.16　设， 是度量空间中的非空闭子集. 如果， 则到的距离.
　　设是度量空间， 是的非空子集， 显然也是上的度量函数，称为的度量子空间， 在不产生混淆时简称子空间. 设， 子空间中的开球
　　称为在子空间中的邻域. 设是的非空子集， 如果存在在子空间中的邻域， 则称是在子空间中的内点， 在子空间中全体内点的集合称为的相对内部， 记为. 记， 如果并且， 有
　　则称是在子空间中的边界点， 在子空间中的全体边界点的集合记为， 称为相对边界. 如果， 有
　　则称是在子空间中的聚点， 在子空间中全体聚点的集合称为的相对导集， 记为. 如果集合的每一点都是它在子空间中的内点， 即， 则称为相对开集. 如果， 则称为相对闭集. 记， 称为的相对闭包.
　　空集以及本身既是相对开集也是相对闭集.
　　定理1.17　设为的度量子空间， 是的非空子集.