2023浙江省专升本考试考前押密试卷·高等数学

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浙江省普通高等教育专升本考试 高等数学考前押密试卷（五）考试科目高等数学 考生姓名 考生编号 报考单位注 意 事 项1.答题前，考生须按规定将考生姓名、考生编号和报考单位填写到试卷规定的位置上，并在答题卡上填（涂）对应的信息。 2.所有答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，超出各题答题区域的答案无效。在草稿纸、试题上作答无效。 3.考试结束后，将试题和答题卡一并交回。 高等数学考前押密试卷（五）第页（共12页）浙江省普通高等教育专升本考试 高等数学考前押密试卷（五）第Ⅰ卷一、选择题（本大题共5小题，每小题4分，共20分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.设函数f(x)=x2sin1x5,x>0,e1x,x<0,则x=0是f(x)的（） A. 可去间断点B. 跳跃间断点 C. 连续点D. 第二类间断点 2.过曲线y=arctanx+ex上的点(0,1)处的法线方程为（） A. 2x-y+1=0B. x-2y+2=0 C. 2x-y-1=0D. x+2y-2=0 3.下列等式正确的是（） A. d∫df(x)=f′(x)+C B. d∫df(x)=f(x)+C C. ∫f′(x)dx=f(x)+C D. ddx∫df(x)=f(x) 4.下列级数或广义积分发散的是（） A. ∑∞n=1(-1)n+1n+3B. ∑∞n=1sin2n C. ∫3119-x2dxD. ∫+∞11(1+x2)2dx 5.微分方程4y″-12y′+9y=(3x2+2)e3x的特解y可设为（） A. x2e3x(ax+b)B. xe3x(ax2+bx+c) C. e3x(ax2+bx+c)D. x2e3x(ax2+bx+c) 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）6.设函数f(x)的定义域为［-1,1)，则函数ef(1-x)的定义域为。 7.设f(x)连续，f(0)=1，且当x→0时，∫x-sinx0f(t)dt与16ln(1+xa)为等价无穷小，则a=。 8.设f(x)在x=1处可导，且f′(1)=1，则limx→1f(x)-f(1)x3-1=。 9.设函数y=y(x)由参数方程x=t+et，y=sint确定，则d2ydx2t=0=。 10.函数y=xlnx的单调递增区间是。 11.设连续函数f(x)满足f(x)=x2-∫20f(x)dx，则∫20f(x)dx=。 12.设Ik=∫kπ0ex2sinxdx(k=1,2,3)，则I1,I2,I3的大小关系为。 13.微分方程y′-ytanx=secx的通解为。 14.已知点A(4,-1,2)，B(1,2,-2)，C(2,0,1)，则△ABC的面积为。 15.幂级数∑∞n=013n+1(x+1)n的收敛区间为。 三、计算题（本大题共8小题，其中16～19小题每小题7分，20～23小题每小题8分，共60分。计算题必须写出必要的计算过程，只写答案的不给分）16.求极限limx→∞3x2+55x+3sin2x。 17.设函数y=arctan2x1+x2，求dy。 18.求不定积分I=∫x21+x2arctanxdx。 19.求由抛物线2y2=x与直线x-2y=4所围成平面图形的面积。 20.设当x>0时， f(x)可导，且满足xf(x)=x+∫x1f(t)dt，求f(x)。 21.设f(x)=aex+1,x<0,bx+2,x≥0在x=0处可导，求常数a，b的值。 22.已知直线l:x+2y+3z+1=0,x-y-z+5=0,若平面π过点(2,1，-5)，且与直线l垂直，求平面π的方程。 23.求幂级数∑∞n=1(n+1)xn的和函数，并求级数∑∞n=1n+12n的和。 四、综合题（本大题共3小题，每小题10分，共30分）24.已知F(x)=∫x0(18t53-10t2)dt是函数f(x)的一个原函数，求曲线y=f(x)的凹凸区间与拐点。 25.假设某企业在两个互相分割的市场上出售同一种产品，两个市场的销售量分别是Q1=18-x2，Q2=12-x，其中x表示该产品在两个市场的价格（单位：万元/吨），该企业生产这种产品的总成本函数是C=2(Q1+Q2)+5，试确定x的值，使得企业获得最大利润，并求最大利润。 26.设函数f(x)在［0,3］上连续，在(0,3)内存在二阶导数，且2f(0)=∫20f(x)dx=f(2)+f(3)。证明： （1）存在η1∈［2,3］，使f(η1)=f(0)； （2）存在η2∈［0,2］，使f(η2)=f(0)； （3）存在ξ∈(0,3)，使f″(ξ)=0。 浙江省普通高等教育专升本考试 高等数学考前押密试卷（五）参考答案及解析第Ⅰ卷一、选择题 1.【答案】A 【解析】由题意得, limx→0+f(x)=limx→0+x2sin1x5=0，limx→0-f(x)=limx→0-e1x=0。 因为limx→0+f(x)=limx→0-f(x)=0，且函数f(x)在x=0处无定义，所以x=0为函数f(x)的可去间断点。 2.【答案】D 【解析】因为y′=11+x2+ex，则y′（0）=2，所以曲线上的点(0,1)处的法线的斜率为k=-12，则法线方程为y-1=-12x，即x+2y-2=0。 3.【答案】C 【解析】因为d∫df(x)=d∫f′(x)dx=d［f(x)+C］=f′(x)dx，故A、B两项错误。 C项，因为积分与求导互为逆运算，则∫f′(x)dx=f(x)+C，故C项正确。 D项，因为ddx∫df(x)=ddx∫f′(x)dx=f′(x)，故D项错误。 4.【答案】B 【解析】A项，∑∞n=1(-1)n+1n+3=∑∞n=1(-1)n+1un，由莱布尼茨判别法可知，当n=1,2,…,1n+3>1(n+1)+3,即un>un+1；且limn→∞un=limn→∞1n+3=0，则级数收敛。 B项，因为limn→∞sin2n不存在，所以由级数收敛的必要条件可知，级数发散。 C项，令x=3sint，则dx=3costdt，故 ∫3119-x2dx=∫π2arcsin133cost3costdt=π2-arcsin13， 因此广义积分收敛。 D项，令x=tant，则dx=sec2tdt，故 ∫+∞11(1+x2)2dx=∫π2π4sec2tsec4tdt=∫π2π4cos2tdt =∫π2π41+cos2t2dt=t2+14sin2tπ2π4=π8-14， 因此广义积分收敛。 5.【答案】C 【解析】微分方程的特征方程为4r2-12r+9=0，解得其特征根为r1=r2=32。因为f(x)=(3x2+2)e3x，且3不是特征方程的根，所以微分方程的特解可设为y=e3x(ax2+bx+c)。 第Ⅱ卷 二、填空题 6.【答案】(0,2］ 【解析】因为f(x)的定义域为［-1,1)，则在函数ef(1-x)中(1-x)∈［-1,1)，即x∈(0,2］。 7.【答案】3 【解析】limx→0∫x-sinx0f(t)dt16ln(1+xa)=limx→0∫x-sinx0f(t)dt16xa=limx→0(1-cosx)f(x-sinx)16axa-1 =limx→012x2f(x-sinx)16axa-1=3alimx→0f(x-sinx)xa-3=1， 所以a=3。 8.【答案】13 【解析】limx→1f(x)-f(1)x3-1=limx→1f(x)-f(1)(x-1)(x2+x+1) =13limx→1f(x)-f(1)x-1=13f′(1)=13。 9.【答案】-18 【解析】dydx=y′(t)x′(t)=cost1+et，d2ydx2=ddty′(t)x′(t)·1x′(t)=-sint·(1+et)-etcost(1+et)3，则 d2ydx2t=0=-18。 10.【答案】(e,+∞) 【解析】y=xlnx的定义域为(0,1)∪(1,+∞)。y′=lnx-1ln2x，令y′>0，则x>e，即y=xlnx的单调递增区间为(e,+∞)。 11.【答案】89 【解析】设I=∫20f(x)dx，对方程f（x）=x2-∫20f（x）dx两边同时取［0,2］上的定积分，得I=∫20x2dx-2I，则 I=13∫20x2dx=13·13x320=89， 即∫20f(x)dx=89。 12.【答案】I20，所以I1>0。 由题意得I2=I1+∫2ππex2sinxdx，因为当x∈(π,2π)时，ex2sinx<0，所以∫2ππex2sinxdx<0，故I20，所以 ∫2ππ［ex2-e(x+π)2］sinxdx>0， 即I3>I1。 综上I2