信息光学数字实验室（Matlab版研究生教育十二五规划教材）

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内容简介

实验一 二维抽样定理
　　一、实验目的
　　通过计算机仿真掌握二维抽样定理(惠特克香农抽样定理，Whittaker Shannon sampling thcorcm)，包括带限函数的定义、连续函数的离散化（抽样过程），以及利用抽样函数重构原函数的过程和还原条件等。
　　二、实验原理
　　随时间或空间连续变化的物理量转换为数字信号后，不再是随时间或空间连续变化的物理量，而是一系列离散分布的抽样值阵列，如果一个物理量可以用函数g(z，y)表示，那么该物理量的一系列离散分布的抽样需要满足什么条件才能重构原函数g(x，y)呢？这个答案最早由Whittaker给出，Shannon又将它用于信息论研究，即所谓的惠特克-香农抽样定理。图1-1是连续函数的抽样及重构过程示意图。
　　图1-1 连续函数的抽样及重构
　　Whittaker相Shannon认为，如果抽样点取得彼此非常靠近，就可以认为这些抽样数据是原函数的精确表示，对于带限函数只要抽样点之间的间隔不大于某个上限，就可以准确地重建原函数。
　　所谓带限函数(band-limited function)，是指这类函数的傅里叶变换只在频率空间的有限区域R上不为零，图1-2给出了一个典型的带限函数在空域及频域的分布，抽样定理适用于带限函数。
　　图1-2 带限函数在空域及频域的分柿
　　考虑二维函数g(x，y)在矩形格点上的抽样，抽样函数gs(x，y)定义为
　　(1-1)
　　式中comb为梳状函数。抽样函数由函数阵列给出，各个δ函数在x方向和y方向上的间隔分别为X和Y。二维函数的抽样过程见图1-3。
　　图1-3 二维函数的抽样过程
　　设x和y方向上的频率坐标为u和v，则gs(x，y)的频谱Gs（u，v）可以从函数comb(r/X，y/Y)的变换式与函数g(x，y)的变换式的卷积给出。因为对式(1-1)两边同时作傅里叶变换有
　　(1-2)
　　其中表示卷积运算，“F{}”表示作傅里叶变换，且（其中）
　　(1-3)
　　而
　　所以得到
　　(1-4)
　　(1-5)
　　图1-4函数及其频谱
　　假如函数g(x，y)是带限函数，它的频谱G只在频率空间(u，v)的有限区域R上不为零。抽样函数的频谱不为零的区域可由在频率平面内的每一个(n/X，m/Y)点的周围划出区域R来得到。如果X和y足够小，则I/X和l/Y的间隔就会足够大，以保证相邻的区域不会重叠，相关函数及其频谱如图1-4所示。
　　为了确定抽样点之间的最大允许间隔，令2Bx和2BY分别表示完全同住区域R的最小矩形沿“方向和口方向上的宽度，如果抽样点阵的间隔满足
　　可保证频谱区域分开而不混频，原函数可完全恢复，1/(2Bx)和1/(2BY)为抽样点阵在u方向和砂方向上允许的最大间隔。
　　用频域中宽度2Bx和2BY的位于原点的矩形函数作为滤波函数
　　(1-7)
　　让抽样函数gs（x，y）的频谱Gs(u，v)通过滤波器便能准确地复原G（u，v），如图1-5所示。
　　(1-8)
　　图1-5 从抽样函数的频谱恢复原函数的频谱
　　将G(u，v)=Gs(u，v)H(u，v)对应到空域，有
　　(1-9)
　　式中
　　(1-10)
　　而且（其中“F-1{}”或“iF{}”表示作逆傅里叶变换）
　　因此
　　(1-12)
　　当抽样间隔取最大允许抽样间隔，即
　　(1-13)
　　最终得到
　　(1-14)
　　上式的结果称为Whittaker-Shannon抽样定理，它表明，对带限函数在一个间隔合适的矩形阵列上的抽样值，在每一个抽样点上插入一个由sinc函数的乘积构成的插值函数，其权重为相应点上g(r，y)的抽样值，就可以绝对准确地复原原函数。
　　如果带限函数g(x，y)沿u方向和v方向上的带宽分别为2Bx和2BY，但抽样时间隔X和y过大不满足式(1-6)，即X>1/(2Bx)，Y> 1/(2BY)，称为欠采样(under_sam-pling)。此时I/X和l/Y的间隔不够大，频域中函数频谱不为零的区域在每一个(n/X，m/Y)点的周同将会相互重叠，于是，假设仍然用矩形函数rect( u/U) rect(v/V)作为滤波函数，如果取U≥2Bx，V≥2BY，将出现混频，反之，如果取U<2Bx，V<2BY，将容易出现高频丢失，两者都不能正确复原原函数。图1-6是按抽样定理用sinc函数和抽样函数重构原函数的示意图。
　　实验一 二维抽样定理
　　图1-6 用sinc函数和抽样函数重构原函数
　　三、实验内容
　　(1)利用Matlab中自带的peaks函数创建一个二维带限函数，通过傅里叶变换观察其频谱，并测量其带宽，理解“带限”的含义；
　　(2)构建二维梳状函数，并显示其空间分布及频谱，观察改变梳状函数的空间间隔——抽样间隔后频谱的变化；
　　(3)利用梳状函数对连续函数抽样，得到该函数的抽样函数，在空域观察抽样函数；
　　(4)观察抽样函数的频谱，并与原连续函数的频谱作比较，体会抽样函数的频谱、梳状函数的频谱，以及连续函数的频谱之间的卷积关系；
　　(5)改变抽样间隔，或调整原连续函数的带宽，观察抽样函数频谱的混叠和分离现象，总结其规律；
　　(6)根据抽样间隔构建二维矩函数滤波器，并对抽样函数的频谱完成滤波和逆傅里叶变换，观察原连续函数的带宽改变，或抽样间隔改变后，利用抽样函数重构原函数的效果，体会欠采样，继而理解抽样定理。
　　四、参考程序及实验结果
　　程序流程图