升维思考的四种方式

作者简介

戴维？森普特（David Sumpter），曼彻斯特大学数学博士，数学科普作家，瑞典乌普萨拉大学应用数学教授，曾在牛津大学获得英国皇家学会院士。他的研究范围非常广泛，尤其擅长跨学科研究，如机器学习、人工智能、鱼群和蚁群的集体活动，以及足球运动背后的数学原理。2015年，为表彰萨普特在数学科学普及上做出的突出贡献，英国顶尖数学家成立的数学及应用研究所授予他凯瑟琳？理查兹奖。

内容简介

第四章 复杂思维 国际数学大会 安德烈·尼古拉耶维奇·柯尔莫哥洛夫站在黑板前等着。他很紧张，他很不习惯这种感觉。当面对他周末在避暑别墅教的高强度博士生小班时，或者在访问的学校面对那里的师生时，他都会有一种一切尽在掌控之中的感觉。在苏联，柯尔莫哥洛夫受到所有人的钦佩。尽管没有什么政治关系，但他在学术界已经上升到了很高的地位，因此1970年的法国尼斯之行，换成他的许多同志都是不会被批准的，但是他立即得到了批准。他的才智和成就使他无人能及。 但是这个舞台以及台下庞大的观众有所不同。这是国际数学大会，是精英数学家的会议，每四年在会上颁发一次著名的菲尔兹奖。柯尔莫哥洛夫知道听众中有许多“布尔巴基”团体的成员。这些主要来自巴黎的数学家是这门学科的清教徒。他们用尼古拉斯·布尔巴基这个笔名，共同撰写了系列教科书《数学原本》（Elements），旨在建立一种立足于最大严谨性的数学方法。他们认为，他们的方法不仅是所有研究的基础，而且应该从学校教育的最初几年开始教授这门学科。 正是这群人的存在让柯尔莫哥洛夫感到不自在。布尔巴基团队成员的目光只盯着他一个人。他们似乎非常严厉，要求他现在所说的话必须符合他们这个集体建立起来的严谨性。他想，这比苏联政治局会议还糟糕。他知道，只要进行了理性思考，就不必担心。毕竟，四十年前，当时他还年轻，他就提出了概率论的第一个框架。这已被证明是布尔巴基《数学原本》项目的一个重要组成部分。后来，他解决了许多重要的数学问题，以至于法国数学界一度有传言说，安德烈·柯尔莫哥洛夫不是一个人，而是苏联数学家的集体化名，相当于尼古拉斯·布尔巴基。但他当然只是一个人，一个紧张不安的人。 他想和布尔巴基团队说说他对他的学生、学校老师和他在教学中遇到的那些天真的十二岁孩子说过的那些话，和他们讨论那些小问题，讨论那些他认为介于琐碎和不可能之间的他感兴趣的挑战，讨论那些即使是小学生也可能有机会解决，但同时，即使是最有经验的教授也有可能被彻底难倒的任务。然后，他想谈谈为什么那些试图统一整个数学领域的大项目，比如他们的系列教科书《数学原本》，总是注定要失败。 终于，他开始了他的演讲。 他说：“首先，我希望谈一谈一些超出我的演讲的基本主题框架的观点。”他希望让听众为接下来的内容做好准备。在说这些话的时候，他意识到没有回头路了，他必须坚持到底。他必须把他的看法原原本本地说出来。 “纯数学是关于无穷的科学。”他的声音越来越大，“希尔伯特这个完全形式化数学概念的奠基人打造的泰坦尼克号数学之船，只会把数学家们送上天堂。” 可以听到现场观众倒抽了一口气。戴维·希尔伯特的“泰坦尼克号”工程就是70年前在1900年国际数学大会上公布的著名的23个数学问题。这些问题一旦得到解决，就意味着数学将成为严谨推理的唯一途径。希尔伯特希望数学成为一门关于无穷、无所不包、能解释一切的科学。柯尔莫哥洛夫的一些早期研究对希尔伯特伟大工程的构建至关重要，但是柯尔莫哥洛夫现在暗示，这艘伟大的数学之船注定要沉没。 他概述了布尔巴基团队在他们的教科书《数学原本》中对数字1的定义，并以此为例，说明了希尔伯特项目所面临的困难。对柯尔莫哥洛夫和每一个小学生来说，数字1就是数字1。这并不复杂。但是当布尔巴基团队定义数字1时，他们首先定义了一种基于维恩图的推理方式，来说明多组对象之间的关系。直到他们通过好多页的符号处理定义了多组对象之后，他们才可以定义数字1。 在柯尔莫哥洛夫看来，他们的工作方式被误导了。他认为，他们所有的复杂计算都违背了他所看到的小学生做数学的方式：利用他们的直觉。按照布尔巴基的方法，小学生在理解一个人、一头牛或一美元的存在之前，就应该能够理解维恩图的形式世界！数字1的定义当然应该直截了当，复杂的定义一定是错误的。 他说，布尔巴基数学在最基本的层面上是失败的。它使简单变得复杂，未能解决真正的复杂性。柯尔莫哥洛夫说，现在撞击希尔伯特数学之船的冰山是以电脑的形式出现的。他认为，在未来，物理学和其他科学领域的问题不会用集合论和维恩图提供的无穷数学来表述，而是直接以计算机模拟的形式编码。今天，苏联和美国的工程师们可以模拟包括宇宙飞船飞行和经济在内的一切事物。他宣称他们正走向算法时代，用一组组指令告诉学生如何找到正确答案，用一组组计算机代码可靠地执行我们的指令。 柯尔莫哥洛夫意识到他说得太笼统了。毕竟，他们来这里是为了研究数学，而不是用沉船、无穷的天堂或通往希尔伯特天堂的方法等比喻来谈论数学。他突然明白了为什么他在开始之前感到如此紧张：他只能在这样一个开场白之后，才能给出一个真正新颖的听众从未听说过的数学结果。在那一刻，他低头看着手中的笔记，他知道这正是他所拥有的东西。 紧张消失后，他抬头看着观众，大声说：“通过从算法的角度思考，我现在要对一个基本的数学问题给出新的解释：说某件事很复杂是什么意思？” 布尔巴基团队成员一声不吭，伸长脖子聚精会神地听着。苏联人的计算将取代他们信仰的无穷数学天堂？即使说得天花乱坠，他们也不会被说服，但他们可能会被逻辑论证说服。现在是倾听和考虑的时候了…… 矩阵 马克斯告诉我：“埃丝特说的是矩阵。” 在周六的晚餐上，我跟马克斯说起了前一天我和埃丝特在研究所的谈话。 马克斯说，在基本层面上，埃丝特对宇宙的认识和许多计算机科学家一样，认为宇宙就是一大堆1和0。他称之为矩阵观。毕竟，矩阵这个数学名词指的就是一组数字。但它也是一个令人回味的词，它抓住了现代世界中数据极其庞大这个本质。 当埃丝特研究矩阵时，她会问矩阵的哪些部分是可以预测的。她知道有随机性，但她的目标是将随机性降低到她能理解的维度。她在寻找模式。 “我毫不怀疑，”马克斯说，“像埃丝特这样的人在未来几十年里会变得越来越强大。” 他让我回想我们在运动酒吧的体育频道喧嚣声中度过的第一个晚上。他说，世界将越来越多地受到这种噪音的支配，不仅美国的酒吧是这样，在世界各地也都是这样。人工版本的体育运动和网络游戏，比如电脑游戏《毁灭战士》，将变得更加逼真，也更加吸引人。我们将戴上虚拟现实头戴式设备。我们将以前所未有的方式相互联系。使用万维网的将不再只是学者和书呆子，而是所有人，随时随地都可以聊天、辩论、分享图片和声音。随着我们从一个活动切换到另一个活动，我们的注意力水平会下降，无法辨别哪些东西重要，哪些东西微不足道。新闻、体育、政治、游戏、观点、真实的东西和虚构的东西结合在一起，成为了熵的无穷无尽的源泉。 马克斯接着说：“能整理、组织这些信息的人会变得富有和成功。”他说，埃丝特和她未来的斯坦福大学同事们将从矩阵中挖掘出大众觉得最有趣的东西。然后，他们的算法将创造更多的人工版本的文本、音乐和图片，使矩阵呈指数增长。他预计，随着信息膨胀，那些像盯着夜空的莉莉-罗斯一样双眼望天的人将成为输家。他们会发现令人惊奇的东西越来越多，同时再也看不到现实与幻想之间的区别。 他说：“即使那些能从矩阵中提取信息的人也会失去看出真相的能力，但这无关紧要，因为现实本身会改变形式。” “那么，埃丝特是对的？”我问，“一切事物都只是信息和概率分布？” 马克斯看着我。他在发表长篇大论时通常会看着我右肩略低的地方，但现在他的目光直接盯着我。我不得不把目光移开。 “你认真读过香农的论文吗？”他直截了当地问道。 我只能承认我真的没有时间去深入理解所有具体内容…… “我们在这里的原因，或者至少是我在这里的原因，”他说，“是因为我们反对埃丝特的观点。她错了。你，还有我，我们都拒绝纯粹从随机性的角度来看待世界，就像我们拒绝认为它是纯粹线性的或稳定的一样。” 如果我像他那样认真阅读了关于熵的那篇论文，我就会知道克劳德·香农很清楚，他的研究与真正的复杂性毫无关系。在引言中，他不露声色地写道：“讯息往往是有意义的，也就是说，它们指的是某些物理或概念实体，或依据某些系统与之相关联。” 马克斯说香农有点轻描淡写了：“香农是在告诉我们，他的理论几乎没有涉及到我们认为重要的东西，比如在物质世界与我们密切相关，但是在概念和思想世界与我们毫不相干的东西。它与真正的复杂性无关。” 香农在他的文章中写道，“通信中的语义与工程问题无关”。他并不是暗示讯息的意义（语义）不重要。相反，他想强调的是，他的方法处理的并不是最重要的事情。他的熵只是一个帮助存储和传输信息的技术解决方案。它不会告诉我们在讯息中收到的信息对我们意味着什么。 马克斯说，以音乐为例。1949年，也就是贝蒂·香农嫁给克劳德的那一年，她研究出了一种自动生成乐谱的算法。她与贝尔实验室的同事约翰·皮尔斯一起，设计了一个掷骰子并按照数学步骤编写和弦进行的系统。莫扎特和巴赫在他们那个时代也使用了随机性来创作音乐，但香农和皮尔斯的研究利用方程将这一过程形式化，改进了和弦的构造方式。结果喜忧参半。两位算法创建者称，有些曲子听起来“相当悦耳”，但他们也承认，和弦之间缺乏联系，有一种粘乎乎或跳跃的感觉，这说明歌曲不太成功。 马克斯说：“这就是电脑制作音乐的问题所在。它总会漏掉一些东西，要么没有深度，要么没有情感，要么没有意义。” 婚后，贝蒂和克劳德·香农组建了家庭，搬到了波士顿，克劳德成为了麻省理工学院的教授。他们继续致力于以技术为基础的项目。克劳德设计了一个能解迷宫的机器鼠，贝蒂完成了它的布线。他们共同设计了一个股票市场投资计划，这使他们成为了迅速发展的硅谷公司的成功的早期投资者。但他们对熵或抽象的信息度量都不特别感兴趣，而是关注对他们个人来说真正有意义的实践活动。 马克斯说，埃丝特就是漏掉了这一点，她把一切都归结为概率分布。但这给我们留下了一种和贝蒂·香农早期的算法音乐有些相似的方法：不连贯的和弦，在不同的想法之间跳跃，不太成功的歌曲。我们无法用这些方法捕捉人类的本性，无法触及复杂性的核心。 “这么说，你同意莉莉-罗斯的意见？”我问。 他大声说道：“不！我们当然不会接受占星术的胡言乱语。” 马克斯告诉我，莉莉-罗斯那些人看到这个巨大的矩阵就会目光迷离。他们只会看到神秘的东西。 他说：“在现代世界，我们需要更有批判性，而不是相反。” 他告诉我，我们——他、克里斯和我（他希望包括我）——正在寻找的是真正的复杂性理论。这个理论将构建一道分界线，一边是随机性和混沌，另一边是有序和稳定性。这个理论考虑了相互作用，但超越了捕食者-猎物循环模型和易感-感染-恢复疾病模型等过于简单的模型。 他说，这样的理论需要我们改变视角。它需要我们承认我们生活在一个万亿维度的世界里，还需要我们下定决心，努力寻找一条穿越这些维度的新道路。 马克斯用似乎不那么肯定的语气说道：“这就是我们在这里的原因，不是吗？这就是我们想要弄清楚的。我们都想知道这个矩阵的真正本质。这难道不是最重要的问题吗？在这个庞大的1和0阵列中隐藏着什么？在这些数据的哪个位置能找到我们一个个人？我们对香农所说物理和概念实体到底是怎么理解的？” “那到底是什么理论呢？”我问。 “嗯，我想就是在这最后一周克里斯要说的吧。他将告诉我们复杂性的秘密……至少他会告诉我们在这里工作的那些聪明人在这方面的研究都取得了哪些进展吧……” 到目前为止，马克斯似乎能回答我提出的每一个问题，但是我意识到，我不能继续刨根问底了。他不知道这类复杂性的秘密。现在我们俩的问题是，这个秘密可能是什么。 四个人同乘一辆车 在我们的旅程刚开始的时候，我们发现统计方法（均值和中位数、最大似然、数据中的直线关系）对观察社会模式很有用，但不足以捕捉到很多对我们个人非常重要的东西。这让我们更仔细地观察我们的互动——我们的讨论（和分歧）背后的规则，我们的社会流行病和我们经历的爆发点。然后我们发现了混沌。随机性是不可避免的，而且往往是因为我们为了回到正轨而采取的极端措施（突击式减肥或激烈的决心）而产生的。然后我们再一次关注数据。但这次看的不是平均值，而是结果的分布——身高、财富和我们的个人经历。混乱型思维教会我们放手。但是要求我们询问一些明智的问题，以深入了解他人。 这三种思维方式的成功之处在于对独特问题的分解：理解为什么交通堵塞是我们无法控制的；知道在哪些情况下节省时间可以让我们更快乐；仔细观察我们是如何回应他人的；思考我们生活的哪些方面需要加以控制，哪些方面应该放手。 但是在生活中，有很多时候情况尤其棘手，要么是多出了一个维度，要么是出现了一个不一样的层面，要么是有一些我们无法简化或分解的东西。举个例子，约翰、理查德、贝琪和索菲坐在一辆车里，很快就到科茨沃尔德了。虽然在我们的帮助下，约翰和理查德不再攀比看地图的技能，但我们还没有解决他们任何更深层次的问题。也许理查德脾气暴躁是因为工作中的问题让他焦虑；也许约翰特别想在周末外出时给索菲留下深刻印象；也许贝琪是在生索菲的气，因为她参加这次活动只是因为约翰喜欢她；也许索菲对约翰一点也不感兴趣，相反，她在想她可以去乡下长跑…… 当这四个朋友上车时，伴随着他们的还有各自的历史、关系和内心深处的想法。我们无法用简单的语言来明确定义这些关系。 简单地说：他们的生活——乃至我们所有人的生活——都是复杂的。 我们不一定能分解这种复杂性。这正是它复杂的原因。 但我们能找到一个定义，也就是说，我们能找到一种方法来衡量事物的复杂性。这也是安德烈·柯尔莫哥洛夫的切入点。 复杂性取决于它的最短描述 柯尔莫哥洛夫意识到，定义复杂性的难点在于准确地说出是什么导致某个事物更复杂。从山区流出的河网比穿过乡村的笔直运河更复杂吗？飞机机翼末端产生的湍流是否比船在水中缓慢行驶时产生的涟漪更复杂？抛硬币比苹果从树上掉下来更复杂吗？ 在某些情况下，这些问题可能像禅机一样微妙。从谷歌地球的角度来看，山腰上的溪流网络比乡村运河要复杂得多，然而，运河是人类聪明才智的产物，是人类复杂思维和复杂关系的产物，而这些复杂思维和复杂关系本身就比山区地形复杂得多。 1970年，柯尔莫哥洛夫在尼斯演讲中用一句话回答了复杂性之谜。他说，模式的复杂性就是可以用来生成该模式的最短描述的长度。 这就是运河本身没有河网复杂的原因：运河可以被描述为“在地面上A和B之间挖掘的一条直线”，而描述河网时需要描述山腰的轮廓。但柯尔莫哥洛夫的定义也解释了为什么规划和建造运河的过程比河网的形成过程更复杂：前者涉及工人的协调、复杂工具的制造、工程原理和劳动分工，而后者是水慢慢穿过泥土、石头和沙子时造成的结果。 ☆《每日电讯报》2023年度图书！ ☆《星期日泰晤士报》《卫报》《新科学家》好评推荐！ ☆四种思维工具帮助你解决现实生活中的实际问题：每月在节省时间方面的花费越多，你的幸福感就越强；在统计人均收入时，使用中位数比平均值更能真实地反映数据…… ☆这本书将告诉你：面对海量的复杂数据，你什么时候应该相信统计数据，什么时候应该怀疑?如何建立一个高效的团队?如何通过改变沟通方式来解决分歧?我们应在什么时候决定努力