数学传奇(那些难以企及的人物)(精)

作者简介

蔡天新，浙江台州人，山东大学理学博士，浙江大学数学学院教授。也是位诗人、随笔和游记作家，近作有诗集《美好的午餐》《日内瓦湖》，随笔集《轻轻掐了她几下》《从A数到Z，我心仪的城市》，旅行记《美国，天上飞机在飞》《里约的诱惑——回忆拉丁美洲》，摄影集《从看见到发现》，童年回忆录《小回忆》，以及《数学传奇》《数学简史》等，主编《现代诗110首》（三卷），《漫游之诗》、《冥想之诗》。他的文字被译成20多种语言，并有10多种外版著作问世。蔡天新在上大学的路上第一次见到火车，如今足迹已遍及每个省市和100多个国家。2013年，他获得贝鲁特纳吉？阿曼（Naji Naaman）诗歌奖。2015年，他入选首届“杭州十大创新力人物”。 2017年，他的著作《数学传奇》获得国家科学技术进步奖。

内容简介

冯?诺伊曼：因为他，世界更加美好 从爪印判断，这是一头狮子。 —丹尼尔?贝努利 　　1.一颗匪夷所思的大脑 　　他本是一位富有的银行家的公子，放浪不羁，喜欢逛夜总会，却成了20世纪举足轻重的人物。“二战”以前他是杰出的数学家和物理学家，是美国普林斯顿高等研究院首批聘请的5位终身教授中最年轻的（29岁，最年长的爱因斯坦54岁）。“二战”期间他是盟军最好的爆炸理论专家，也是第一颗原子弹设计师和助推人。战后他创立的博弈论极大地开拓了数理经济学研究，影响了11位诺贝尔经济学奖得主的工作。而他最大的贡献是在计算机理论和实践方面，被誉为“电子计算机之父”。简而言之，他是20世纪美国引进的最有用的人才。此人便是匈牙利出生的犹太人约翰?冯?诺伊曼。 　　冯?诺伊曼身材敦实，有一双明亮的棕色眼睛、一张随时可以咧嘴一笑的脸和一颗奇异的大脑。他对自己专注的事情，有着惊人的记忆力，能够整页背诵英国作家狄更斯的小说《双城记》和《大英百科全书》中有启示性的条目。至于数学常数和公式，更是塞满他的大脑。他的阅读速度和计算能力也十分惊人，有时上厕所也要带上两本书。当他计算时，眼睛盯着天花板，面无表情，大脑却在高速运转着。如果是在快速运行的火车上，他的思想和计算速度也会加快。 　　他还有一种看似平常的能力，就是不断学习新事物的愿望和行动。在柏林期间的一个暑假，化学系本科生冯?诺伊曼返回布达佩斯家中，结识了一位读经济学的老乡，立刻向他咨询并要求推荐入门书籍，从此开始牵挂这门学科。还有一次他受邀去伦敦指导海军引爆德国水雷，却在那里学到空气动力学知识，并对计算技术发生浓厚兴趣。前者使他成为斜冲击波的先驱，后者让他开数值分析研究的先河。而他对电子计算机的介入，起因于月台上的一次邂逅，他在旅途中尤其多产，几乎所有成就都是在他主要从事别的工作时取得的。 　　对一个经常需要与出类拔萃的科学家合作，有时要与政治家、军事家打交道的人来说（从美国数学会主席到总统特别顾问他都担任过），还需具备敏锐的政治嗅觉和平衡能力。战前他曾预言，德国将会征服孱弱的法国，犹太人会惨遭种族灭绝；之后，趁着德国和苏联鹬蚌相争，美国会坐收渔利。他还认定，苏联人迟早会发明核武器，因为“原子弹的秘密很简单”。至于平衡能力，可能是与生俱来的。他还有个显著特点，不事张扬也不喜欢辩论，遇到紧张气氛善于讲段子化解。 　　当然，这颗天才的大脑也存在不足，他不像爱因斯坦和牛顿那样有独创性。但他却能抓住别人原创的思想火花，迅速进行深入细致的拓展，使其丰满、可操作。爱因斯坦来美国后只是个象征性的人物，而冯?诺伊曼却是无可替代的。鹰派成员、海军上将施特劳斯认为：“他有一种非常宝贵的能力，能够抓住问题的要害，把它分解开来，最困难的问题也会一下子变得简单明了。”诺贝尔物理学奖得主维格纳也曾谈道：“一旦冯?诺伊曼博士分析了一个问题，该怎么办就一清二楚了。” 当所有这些素质加在一起，集中到一个人身上，优势便非常突出了。维格纳承认他在这位比自己低一届的中学校友面前怀有自卑情结，他在获得诺奖后接受科学史家库恩的采访时说道：“不管一个人多么聪明，和冯?诺依曼一起长大一定有挫折感。”另一位诺奖得主、德裔美国物理学家贝特也曾感叹：“冯?诺伊曼这样的大脑是否意味着存在比人类更高一级的生物物种？”在人类历史上，他属于那种在黑板上写几个公式就能改变世界的少数几个人之一。法国布尔巴基成员迪厄多内甚至相信，冯?诺伊曼是“最后一个伟大的数学家”。 　　2.午餐时分的家庭聚会 　　1903年12月28日，冯?诺伊曼出生在多瑙河畔的匈牙利首都布达佩斯。其时匈牙利和奥地利虽然组成了奥匈帝国，但那只是外交和军事上的联合，内政和经济各自独立，且有自己的国名、国王和语言。与绝大多数欧洲人不同而与中国人一样，匈牙利人的姓在前名在后，这成了学者们考证他们的祖先来自中亚或蒙古草原的重要依据。10岁那年，做银行家的父亲因担任政府经济顾问有功，被授予贵族头衔，从此家族姓氏前多了一个von，变成了冯?诺伊曼。 　　在冯?诺伊曼出生前的35年里，布达佩斯是欧洲发展最快的城市—如同纽约和芝加哥（内战胜方）是美洲发展最快的城市—人口从全欧第17名一举跃为第6名。布达佩斯率先实现电气化，铺设了欧洲第一条电力地铁，并用电车取代公共马车，建成横跨多瑙河的伊丽莎白大桥，那是当时世界上最长的单孔桥。那会儿匈牙利正处于黄金时代，布达佩斯颇有巴黎的情调，歌剧院的音响效果超过了维也纳，来自世界各地的保姆不计其数，夜总会女郎耐心地倾听客人们的政治主张。 　　在第一次世界大战爆发前的半个世纪里，布达佩斯和纽约是各国犹太人优先考虑移民的城市。在这两处人间天堂里，他们迅速成为医生、律师那样的专业人士或成功的商人。相比之下，移民到纽约的犹太人大部分出身较为低下，布达佩斯更为那些中产阶级和上层社会的犹太人向往，那里有着理想的中学教育环境。尤其重要的是，在中欧其他国家犹太人仍低人一等的时候，在匈牙利已经有所改变。冯?诺伊曼的父亲来自乡村，通过律师资格考试后进入银行，开始了兴旺发达的事业。再通过联姻，成为殷实的犹太家族成员。 　　10岁以前，冯?诺依曼接受的是典型的犹太式教育。外语学习特别受重视，家长们认为，只会说马扎尔语的孩子将来连生存都成问题。先是德语，然后是法语和英语。年龄稍长以后，还要学拉丁语和希腊语。说到拉丁语，它在匈牙利已经被教了几百年了。这是一种公理化的语言，会使人头脑条理化，逻辑性增强。当然，数学也至关重要。从小他就表现出计算方面的天赋，这方面的遗传来自外祖父。母亲的艺术素养帮助他发现数字的优雅，后来成为他对学问境界的一个要求。 　　冯?诺伊曼也酷爱历史，据说他曾在极短的时间里，啃完一套44卷的《世界史》，且书中夹满了小纸条。当然，冯?诺伊曼并非万能，他在击剑和音乐方面才华平平，虽然家里请来出色的大提琴教师，他却永远处于指法练习阶段。不过，匈牙利犹太人中不乏伟大的指挥家和钢琴家。美语里的电影一词movie，也很有可能从匈牙利语mozi演变而来。创造好莱坞的正是移居美国的匈牙利人，其中包括福克斯和祖可，后者是派拉蒙公司的奠基人。 　　必须提及的是，冯?诺伊曼家有一个很好的传统，那就是午餐时分的家庭聚会，父亲再忙也要回家。孩子们争相提出一个个问题，比如海涅的某一首诗、反犹主义的危害性、“泰坦尼克”号的沉没、外祖父的成就，等等。（相比之下，我们的大学餐厅里最不缺少的是高清电视机。）有一天，小冯?诺伊曼提出，眼睛的视网膜成像原理不同于照相负片上的小颗粒，应该是多通道或多区域输入。综观他的一生，都对中枢神经系统的运转技术和人工输入机器或机器人的技术之间的区别感兴趣。 　　10岁那年，冯?诺伊曼上了中学，在德语里叫Gymnasium。那些视德国为精神领袖的国家，包括奥匈帝国也用这个词，本意是体育馆或健身房。自古希腊以来，那里便是年轻人赤身裸体参与竞争的地方。那时候匈牙利采用精英教育，引入激烈的竞争机制，对十分之一高智商的学生进行精心培养。这项政策有利于犹太人的脱颖而出，对他们来说，研究理性的数据比与人打交道更容易。二战结束后，日本模仿了匈牙利的精英教育模式，不仅迅速提升了经济实力，还培养出10多位诺贝尔奖和菲尔兹奖得主。 　　在那前后，共有四位年龄相仿的犹太男孩进入布达佩斯三所最顶尖的学校，他们后来全部移居美国。除了冯?诺伊曼以外，还有齐拉特、维格纳和特勒，主要是依靠这四个匈牙利人，美国研制成功了原子弹和氢弹。正是后面这三位物理学家在1939年夏天说服爱因斯坦给罗斯福总统写信，才有了“曼哈顿计划”。齐拉特率先提出了链式反应的理念，维格纳建立了中子吸收理论，而特勒（杨振宁的博士生导师）则被誉为“氢弹之父”。作为犹太人，他们对纳粹德国有一种恐惧和厌恶感，这促使他们奋不顾身地投入核武器的研制。 　　“一战”结束以后，匈牙利被邻国瓜分走三分之二的土地。可是，精英教育并未受影响，中学校长十分赏识冯?诺伊曼的数学才华，把他推荐给布达佩斯大学的教授。17岁那年，他与一位教授合作研究车比雪夫多项式根的求解，在一家德国杂志发表了处女作。1921年， 冯?诺伊曼以获得厄特沃什奖圆满地结束了自己的中学时代，这个奖的得主还有齐拉特、特勒，以及工程学家、超音速飞机之父—冯?卡门，后者是中国核工业奠基人钱学森的博士生导师。 　　3.辗转在欧罗巴的土地上 　　中学的最后一年，老冯?诺伊曼开始为儿子的前途操心。他征询了包括冯?卡门在内的许多朋友的意见，决定让儿子学化学工程。小冯?诺伊曼要去柏林大学和苏黎世联邦工业大学学习化学工程，但他真正感兴趣的却是数学，而数学家在匈牙利的前景并不被看好。结果，他一边在柏林和苏黎世学化工，一边在布达佩斯大学注册成为数学博士候选人。也就是说，尚不满18岁的年轻人要在相距遥远的三座城市兼读跨专业的本科生和研究生。由此可见，冯?诺伊曼是多么自信和坚毅。 　　1921年秋天，冯?诺伊曼来到德国首都柏林。原来他是想要拜犹太化学家哈伯为师。这个哈伯在1915年发明了毒气，极大地帮助了 “一战”时期四面受敌的德国。1918年德意志战败，当年哈伯却因另一项发明—用氢和氮合成氨—获得诺贝尔化学奖（物理学奖的得主也是德国人、量子力学的开创者普朗克）。这一点足以说明，瑞典确实保持了中立国的立场。可是，冯?诺伊曼到柏林以后，却意外地 “失踪了两年”。 　　事实上，那时他的主要兴趣在集合论方面，虽然在大学听过爱因斯坦的讲座，但更多地受到数学老师施密特的影响。施密特是希尔伯特早年的学生，也是策梅罗（Z）的朋友。后者为消除罗素悖论率先提出了一个公理化的集合论，可惜在明确性方面存在歧义。几年以后，另一位德国数学家弗兰克尔（F）提出了替代公理，这个集合论被称为ZF系统。1931年当哥德尔证明了不完备性定理以后，ZF系统成为康托尔连续统假设成立的唯一希望。直到1963年，这一希望才被美国数学家柯恩摧毁，后者因此获得了菲尔兹奖。 　　1923年，冯?诺伊曼终于完成了他的长篇论文，投给德国《数学杂志》，编辑交给弗兰克尔审阅。弗兰克尔读后深感震惊，随即邀请20岁的冯?诺伊曼到德国中西部的马伯里作客，最后建议他以“集合论的一种公理化”为题发表。冯?诺伊曼所建立的公理体系后经瑞士数学家贝尔纳斯（B）和奥地利数学家哥德尔（G）的完善，形成了集合论中一个新的系统—NBG系统，至今它仍是集合论最值得信赖的基础之一。 　　多年以后，已经移居以色列的弗兰克尔回忆往事，引用了18世纪瑞士数学家贝努利读到牛顿论文时说的一句话：“从爪印判断，这是一头狮子。”这篇论文尚未发表，已经在重量级人物中间传阅，从那时起，化学系本科生冯?诺伊曼便时常受邀到哥廷根，成为数学大师希尔伯特家的常客。相差40多岁的一老一少常在书房或花园里一待就是几个小时，弄得哥廷根一些教授心里不是滋味。有趣的是，也是在那两年里，现代主义文学的代表作艾略特的《荒原》和乔伊斯的《尤利西斯》得以问世。 　　现在，让我们把目光转向苏黎世。冯?诺伊曼在柏林的两年，只是修了一些化学的基础课程，拿学位却要到苏黎世。1923年秋天，他在苏黎世联邦工业大学开始了第二阶段的学习。虽然功课全优，但摔破的实验室玻璃容器难以计数。其时，他早已经与这所大学两位最好的数学家—外尔和波利亚建立了密切的关系。外尔去外地讲学开会的时候，化学系本科生冯?诺伊曼会代课。波利亚说过最怕哥德尔提问，有一次他在课上提起一个悬而未决的数学问题，下课时已经被冯?诺伊曼解决了。 　　1925年夏天，冯?诺伊曼在苏黎世获得化学工程学士学位。次年春天，他在布达佩斯通过数学博士论文答辩，年仅22岁。在希尔伯特的安排下，他来到哥廷根做访问学者，此时他已经被量子力学迷住了。那以后，他被柏林大学聘为无薪讲师。这是19世纪以来德国为那些有意走学术之路的年轻人设置的岗位，也是取得教授席位的必由之路。没有编制和薪水，所得酬劳来自修课学生的学费，这迫使年轻人发愤图强。 　　冯?诺伊曼在柏林大学待了两年以后，又转到了汉堡大学。在担任无薪讲师期间，他在集合论、代数学和量子理论方面取得了一系列重要的研究成果，受到了数学界的瞩目。例如，在测度论方面，冯?诺伊曼发表了《一般的测度理论》，把测度问题从欧氏空间推广到一般的非阿贝尔群，证明了所有可解群都是可测度的。在算子理论方面，冯?诺伊曼首先给出了希尔伯特空间的抽象定义，从中建立起了自己的谱理论，这是泛函分析诞生的必要条件。 迄今为止，牛顿力学仍统治着这个世界的大部分领域，适用于我们肉眼所能看见的一切事物。当物体运动速度太快时，爱因斯坦相对论的某些定律才开始起作用。量子力学是理论物理学和现代技术的基础，它直接导致了电子革命和原子弹的诞生。量子力学的一个基本点是原子状态的数学描述，冯?诺伊曼证明了：原子的状态可用希尔伯特空间中的单位向量来表示，这使得量子力学的两种表示方式，即海森堡的矩阵力学和薛定谔的波动力学相互统一。 　　4.大萧条时期的美利坚 　　1929秋天，美国的普林斯顿大学便向他伸出橄榄枝，邀请他担任客座讲师。原来此前，他在苏黎世的老师外尔到普林斯顿做了一年的访问教授，适逢希尔伯特退休，外尔奉命返回哥廷根接替老师的职位，同时向美国人推荐了冯?诺伊曼。显而易见，客座讲师只是一个过渡职位。可以说，因为德国教授位置的稀缺，也因为战争的逼近，让美国获得了一个不可多得的人才。冯?诺伊曼先是回了趟布达佩斯，皈依天主教，完成了人生大事—结婚。随后，他便携带着新婚妻子，在法国乘船渡过了大西洋。 　　那会儿美国正处于经济大萧条时期，但冯?诺伊曼很快就爱上了这个移民国家。美国人讲究实效、言之有物，不墨守成规。第二年，他便顺利晋升教授。又过了两年，雄心勃勃的普林斯顿高等研究院成立，冯?诺伊曼成了首批聘请的终身教授。加上爱因斯坦和外尔，高等研究院首批聘请的5位教授中，有3位来自德国。这3个人当中，只有外尔不是犹太人，但他是犹太人的女婿。有人做过统计，1933年及以后从德国移民到美国的科学家中，有11人获得了诺贝尔奖，10人参与了“曼哈顿计划”。 　　说到普林斯顿高等研究院（下简称高研院），人们似乎只有羡慕和崇拜了。即便在大萧条时期，教授们也仍拿着高薪，而不用承担任何义务。那里还有一些奇怪的规则，比如，从不招收研究生，只吸纳优秀的博士生做博士后研究。对此，有不少人不以为然。“曼哈顿计 划”领导人奥本海默就不愿意当那里的教授，认为在那里“唯我独尊的星星们孤独、绝望地发着各自的光”。多数科学家都认为，在自己缺少灵感时，学生们“提出的相关问题”会刺激他们，“教学和学生使得生活有意义”。 　　即便是爱因斯坦，也在普林斯顿感受到了压抑气氛。他在给物理学家玻恩的信中写道：“我觉得自己像是在穴中冬眠的熊。”当初他抵达美国，纽约市长带着一支乐队到码头恭候，结果却吃了闭门羹，一艘汽艇直接把客人接到了新泽西；甚至罗斯福总统邀请爱因斯坦共进晚餐时，也被高研院方面婉言谢绝。有些人以为，顶尖科学家都不食人间烟火。爱因斯坦在给比利时女王的信中写道：“一座古怪而死板的村庄，住着一群盛名之下其实难副的人。”信的落款写的是，“集中营，普林斯顿”。 　　甚至性格豁达的冯?诺伊曼，在普林斯顿过得也不开心，每到夏天来临，他都携带妻女迫不及待地返回欧洲。三年以后的那个夏天，他的妻子没有跟他回来。不过，他的学术研究却没有停止过，且总是成绩卓著。20世纪90年代，当高研院快要迎来60华诞时，院方认真总结了三个标志性的成果，分别是：哥德尔对连续统问题的研究，杨振宁和李政道推翻宇称守恒定律，冯?诺伊曼的工作。当然，现在必须加上怀尔斯对费尔马大定理的证明。 　　在普林斯顿期间，冯?诺伊曼从数学意义上总结了量子力学的发展，出版了《量子力学的数学基础》，它至今依然是一部经典著作。此 外，他还推出统计学中著名的弱遍历定理。他在群论方面的研究也取得了突破，在紧致集情况下解决了希尔伯特第5问题。在一位年轻数学家的协助下，冯?诺伊曼写出了“算子环”的系列论文，后来成为量子物理学的强有力武器，并催生出连续几何学这一副产品。人们为了纪念他，将其命名为冯?诺伊曼代数。这一切，应归功于他的年轻和持续的创造力，他是一个懂得如何放松和思考的人。 　　5.水雷和“曼哈顿计划” 　　1937年，冯?诺伊曼宣誓加入了美国国籍。同年，日本全面发动侵华战争。接下来的两年里，德国吞并了奥地利和捷克斯诺伐克，意大利吞并了阿尔巴尼亚。希特勒军队侵入波兰，英国和法国对德宣战。此前，冯?诺伊曼已被邀请到马里兰州的阿伯丁，担任陆军机械部所属弹道试验场实验室顾问。迎接他的是一门新的学问—火炮弹道学，科学家们早就发现，炮弹穿越浓度变化的空气的运动阻力和轨迹是非线性方程。于是，冯?诺伊曼成了前计算机时代冲击波和弹道轨迹的计算者。 　　不过，直到1941年底日本偷袭珍珠港，冯?诺伊曼一直没有在阿伯丁花费太多精力，他相信英国能够暂时抵御德国的入侵，美国不会太早宣战。他继续撰写有关算子环的论文。期间他还涉猎天体物理学，与印度裔物理学家钱德拉塞卡（1983年诺奖得主）联名发表了一篇题为《恒星的无规则分布引起的引力场统计》的论文。闲暇时，冯?诺伊曼开始革新经济学，不过这得等战后才能发挥更大的作用。当然，他也为阿伯丁工作，与人合作写下诸如《逐次差分估计的可能误差》的研究报告。 　　这份报告使他成为最重量级的爆炸理论专家，待到美国参战以后，他更是声名鹊起，成为复杂爆破的计算大师。他在陆军机械部名声大振后，很快也被海军机械部盯上了。冯?诺伊曼被转到水雷作战处，3个月以后，他被派到英国工作，与第二任妻子乘上了轰炸机。英国之所以需要他，是因为德国人在英吉利海峡上布下了大量的水雷。狡猾的德国人设置了机关，在感应若干次以后才爆炸，其中的模式无法解破。这对冯?诺伊曼来说可谓是小菜一碟，他运用数学技巧轻而易举地完成了这项任务，避免了海军官兵无谓的牺牲。 　　到了1943年5月，华盛顿要求伦敦送他们最好的爆炸理论专家回国。冯?诺伊曼却希望在英国再待上一段时间，他在那里学到了许多空气动力学方面的知识，甚至觉得“我还对计算技术也有了不同寻常的兴趣”，最后一句话很可能意味着他已经见过图灵了，后者在普林斯顿大学攻读数学博士时，曾是冯?诺伊曼挑中的助手之一。可是，等到年中某个时候，美国还是强行召回了冯?诺伊曼。他的下一个任务令其无法抗拒，那牵涉到人类发明的分量最重的一个词—核。 　　冯?诺伊曼被任命为新墨西哥州的洛斯阿拉莫斯实验室顾问，那以后，他便身兼四处职务了：普林斯顿、陆军机械局、海军机械局、洛斯阿拉莫斯实验室。冯?诺伊曼对投放日本的两颗原子弹的贡献究竟有多大呢？众所周知，核武器的研制要依靠集体的智慧和力量，第一个取得成功的美国人更不可能例外。先是冯?诺伊曼的布达佩斯老乡齐拉特在1933年“灵光乍现”，想到了链式反应。按照他的设想，以等比级数的数量形式释放中子，可以在几百万分之一秒内，在狭小的空间里释放出超出人类想象的巨大能量。 　　可当时，包括爱因斯坦、卢瑟福、玻尔在内的资深物理学家都轻视他的发现，爱因斯坦甚至开玩笑说，“原子能研究就如同在黑夜里开枪射中一只体形娇小且珍稀的鸟”。当时在伦敦一家医学院工作的齐拉特要求到英国海军部任职时，同样遭到了拒绝。1937年，齐拉特来到了美国。同年，“因认证出由中子轰击产生新的放射性元素以及他在这一研究中发现由慢中子引起的反应”而获得诺贝尔奖的意大利物理学家费米在斯德哥尔摩领奖后，也适时转移到了美国。 　　此时洛斯阿拉莫斯人才济济，除了“匈牙利四人帮”，还有玻尔、费米，以及实验室主任、土生土长的美国物理学家奥本海默。虽然冯?诺伊曼本人是出色的物理学家，但主要是对量子力学的数学化做出了贡献。他却通过自己的努力，成为物理学家最尊敬的数学家，指导了原子弹最佳结构设计，确保体积不大，可以装进一架轰炸机。与此同时，他还利用数字模拟实验，提出了实现大规模热核反应的方案。这不仅节约了时间，也节约了财力和物力。据说每次他来到实验室，同行都会把他团团围住，向他讨教某些计算问题。 　　经过一段时间的协作努力，科学家们确认，铀–235和钚–239是裂变的最佳材料。两者的区别在于，钚可以通过化学方法分离获取，而铀因其同位素有着相同的化学性质，只能一个个地分离原子。钚弹一个月可以制作两到三枚，而一枚铀弹需花费一年时间。他们曾遇到无法解决的难题，适用于铀弹的炮击法不适用于钚弹。冯?诺伊曼发挥了聚爆专家的作用，亲自设计了一枚由棱镜构成内爆的装置，在第一次核试验中获得了成功。 值得一提的是，当初美国计划投放原子弹的六个候选地点是：京都、广岛、横滨、东京皇宫、小仓军械库和新澙。冯?诺伊曼是决定投放地点的委员会成员，陆军部长对京都提出异议，认为京都既是故都，又是佛教和道教圣地，摧毁它会引起公愤。而且战后政治格局和经济形势恐会改变。接着横滨也被排除了，因为以往轰炸得够多了，且离东京太近，改由长崎代替。美国人意识到，投降的决定将在首都做出。1945年8月6日，铀弹“小男孩”投放广岛，三天以后，钚弹“胖子”投放长崎，第二次世界大战由此结束。 　　6.商人如何赢取最大利润 　　原子弹在日本投放后，奥本海默引用了印度史诗《薄伽梵歌》里的诗句自我忏悔：“现在我成了死神，世界的毁灭者。”爱因斯坦也深感痛悔，他认为给罗斯福总统寄出的那封信，是自己一生所犯的最大的错误。1954年，核反应堆的设计师费米患癌症去世，冯?诺伊曼也因参与比基尼岛上的核试验遭受核辐射。稍后，苏联的马雷舍夫和中国的邓稼先也没有逃脱厄运，即便是奥本海默，也只活到了62岁。冯?诺伊曼认为，既然原子弹可以制造出来，那么，寄希望于独裁者的良心发现是不足取的。冯?诺伊曼的亲人中有不少死于对纳粹的恐惧，有些是在他们移居美国以后。 　　战后，对冯?诺伊曼那样的实干家来说，有太多有关民生和建设的事情要做。即便在1944年，洛斯阿拉莫斯同僚们最忙碌的时候，他也抽空对经济学做了全面思考，那一年，他与经济学家摩根斯坦合著的《博弈论与经济行为》正式出版，立刻获得凯恩斯母校剑桥大学的经济学家斯通（1984年诺贝尔奖得主）的赞誉，并被称为凯恩斯的《就业、利息和货币通论》之后最重要的经济学教科书。说到博弈论，它本是应用数学的一个分支，后来在经济理论和应用中发挥了重要作用，同时教导商人如何运作以赢取最大利润。 　最早提出博弈问题的是法国数学家波莱尔，他以创建实变函数论里的波莱尔集闻名，同时也是一位著名的政治家和教育家。他首先定义了策略的应对，提出了最优策略、混合策略、均衡策略、两人与多人对策、零和与非零和对策等问题。零和对策给竞争者的支付总和为零或常数，而非零和对策的支付总和是可变的。前者一个竞争者的所得恰好是另一个竞争者的所失，后者竞争者可以同时有所得或有所失。 　　1928年，柏林大学无薪讲师冯?诺伊曼发表了第一篇重要的博弈论文章《关于伙伴游戏理论》，利用一个表示讨价还价能力的矩阵建立了关于零和两人对策的极大极小定理，后来成为博弈论的基石和中心定理。作为一个应用，冯?诺伊曼讨论了合作对策问题，特别考虑了零和三人对策中有两方联合的情形。为此他引入了数学中的特征函数概念，明确给出了一般的博弈方案，并在附加条件下证明了，多人对策问题的解是存在并且唯一的。 　　1932年，冯?诺伊曼在普林斯顿的一个数学研讨班上，做了一个报告。从数学的角度指出了经济问题的解决方案，可谓是一种新型的扩张经济模型：所有商品以尽可能低的成本和尽可能大的量生产。这是一种理想的模型，一旦达到最大的增长率，就会自动产生一个动态的平衡。1945年，这篇报告被译成英文在英国重新发表，标题是《普遍经济均衡的一个模型》。大约半个世纪以后，此文被公认为是数理经济学最重要的论文。 　　冯?诺伊曼把经济学引入具有线性、非线性编程和未来发展动力模型的科学，使人们能够更好地理解计划经济和市场经济的无为及有为所在。迄今为止，包括萨缪尔森在内的六位诺贝尔经济学奖得主承认自己的工作受到冯?诺伊曼的影响，还有十多位获奖者的工作是对他创立的博弈论的直接发展或应用，其中最著名的一位是数学家、电影《美丽心灵》的原型约翰?纳什。这些经济学家来自美国、英国、德国、苏联和以色列，即使在日本，也有经济学家遵循他倡导的模式。战后日本的国家政策是，“努力在10年内将实际收入增加一倍”。 虽然如此，西方仍有一些经济学家对冯?诺伊曼的理论不以为然，甚至心生怨恨，这部分是因为存在着种种误解，更主要是因为他是经济学专业的一个闯入者。随着时间的推移和实践的检验，这些误解逐渐消除。今天，冯?诺伊曼被公认为是博弈论的创立者，也是现代经济学的重要分支数理经济学的开拓者。萨缪尔森发出由衷的赞叹：“冯?诺伊曼是无与伦比的，他不过在经济学领域蜻蜓点水，这一领域便今非昔比了。” 　　7.让人类生活得更加美好 　　自从牛顿和莱布尼茨发明了微积分，实现了物理学的数学化之后，科学家对计算的需求大大增加。莱布尼茨为此感叹：“一个优秀的人像奴隶一样把时间耗费在计算这一苦差事上，真是太不值得了。”他因此发明了一种类似机械化算盘的机器，只要摇动四周的轮子，就可以做加法或乘法运算，这比早些时候帕斯卡尔发明的台式加法器要高级。但到了19世纪，异想天开的英国数学家巴比奇却认为，计算机应该以精确的、数学形式的逻辑为基础，不久，爱尔兰人布尔发明了新形式的数学—布尔代数。 　　在洛斯阿拉莫斯，原子核裂变过程中所提出的大量计算任务，促使冯?诺伊曼关注电子计算机的研制情况。《博弈论与经济行为》出版的当年，他在月台上遇到了第一台电子计算机ENIAC的设计师，后者向他做了汇报。冯?诺伊曼立刻予以关注。他发现这台机器的主要缺陷是，仍采取以往机电式计算机的“外插型”。冯?诺伊曼亲自参与宾夕法尼亚大学和高研院两台计算机的设计。他建立了计算机内部最主要的结构原理—存储程序原理，确定由五个部分组成，即计算器、控制器、存储器、输入和输出装置。 　　与ENIAC相比，这两台机器有不少改进，最重要的是：将十进制改为二进制，程序和数据均由二进制代码表示；程序由外插变成内存，当算题改变时，不必变换线路板而只需更换程序。由存储原理构造的电子计算机被称为冯?诺伊曼型机，或冯?诺伊曼结构，这一结构一直使用至今。冯?诺伊曼被誉为“电子计算机之父”，他本人担任高研院计算机技术研究所所长。1951年，他设计的电子计算机IAS终于获得成功，其运行速度是ENIAC的数百倍。 　　不过，冯?诺伊曼本人对计算机的主要兴趣并不在于设计与制造，而是如何利用这种新型工具，开创现代科学计算的新天地。1950年，冯?诺伊曼领导了一个天气预报研究小组，完成了数值天气预报史上首次成功的计算。随着天气预报和其他科学、工程领域计算需要的增加，计算方法对于计算速度的提高可以说与计算机硬件同等重要，于是在纯粹数学与应用数学之外，一门新的数学分支计算数学应运而生，冯?诺伊曼无疑也是这门学科的早期奠基人。 　　在历史上，许多民族的数学家都创造了各种便捷的数值计算方法。换句话说，计算机有其适合的计算方法和技巧。在这方面，冯?诺伊曼做出了许多重要贡献，他先后创造了蒙特卡洛等10来种计算技巧，在各个领域得到了广泛的应用。蒙特卡洛是一种通过人工抽样寻求问题近似解的方法，它将需要求解的数学问题化为概率模型，在计算机上实现随机模拟获得近似解。举例来说，在总统选举以前，只需少量取样或随机取样，民意调查者就会对投票选举结果做出较准确的判断。 　　蒙特卡洛方法体现了计算机处理大量随机数据的能力，是计算机时代新型算法的先锋。先是模拟产生各种概率分布的随机变量，继而用统计方法把模型的数字特征估计出来，从而得到实际问题的数值解。这一方法在金融工程学领域也得到广泛的应用，比如金融衍生产品期权、期货、掉期等的定价及交易风险估算，变量的个数（维数）有时高达数百甚至上千个，这就是所谓“维数的灾难”。蒙特卡洛方法的优点在于，它的计算复杂性不依赖于维数。 如果冯?诺伊曼活到今天，看到计算机数量激增和能力提高，无论公司、机关还是学校、家庭，无论上天还是入地都不可或缺，一定会倍感欣慰。用冯?诺伊曼女儿的话说：“虽然成年人因电子游戏带坏了青少年而指斥计算机，但这可能会使他感到有趣，甚至窃喜，因为他的个性中有童真、嬉戏的一面。”可是，我们也有理由猜测，冯?诺伊曼在惊诧于计算机造福全社会和全人类的同时，也会为它没能帮助在科学上取得更大的成就而沮丧。 　　8.假如他的生命能够延长 　　“假如他的寿命像一般科学家那么长，活到现在，他会不会使我们的生活发生很大的变化呢？”1992年，冯?诺伊曼的传记作者、英国经济学人麦克雷曾这样发问。对此他自己的回答是肯定的。从冯?诺伊曼晚年未曾发表的笔记来看，他对科学的未来有自己的设想。事实上，在他生命的最后时刻，他还在探究一些其他科学家压根儿没有想过的问题。例如，从人类的神经系统可以学到哪些技巧应用于计算机？这有点像小时候家庭午餐聚会上提出的问题。 　　20世纪前半叶，冯?诺伊曼亲自参与了三项革命性的突破—对原子的科学认识、量子力学的数学化，以及电子计算机的诞生，并做出了卓越的贡献。而从他的讲座和留下的笔记显示，他希望在未来可能的三项重大突破中扮演同样的角色，它们是：对大脑的科学认识、对细胞（基因）的科学认识，以及对自然环境的治理（如使冰天雪地的冰岛变成气候宜人的夏威夷）。遗憾的是，在所有这些期望中，迄今为止只有对基因的理解取得了令人满意的进步，那还是基于他在世时DNA双螺旋分子结构的发现。 　　假如冯?诺伊曼的生命能够延长，“他会因为分子生物学而感到兴奋，就像当年因为量子力学而兴奋一样，他会非常期待将之数学化”。至于其他科学领域的发展，显然不如冯?诺伊曼预计或期望的那么快那么好，这可能是因为世界过早地失去他的缘故。与发明巨型弩炮摧毁罗马人舰队的阿基米德一样，冯?诺伊曼也曾用自己掌握的数学技能，帮助美国赢得第二次世界大战的胜利。1956年，冯?诺伊曼获得了首次颁发的爱因斯坦纪念奖和费米奖。 　　1957年，正当遥远的中国大陆发动一场大规模的“反右运动”时，冯?诺伊曼的生命即将到达终点，核辐射带来的骨癌细胞已经在他的体内扩散。很早以前他就意识到了，最聪明能干的人是犹太人和中国人，他在笔记里称赞汉语是诗歌的语言。1937年，冯?诺伊曼从美国数学家、控制论发明人维纳处了解到中国数学的现状，产生了到中国访问的愿望，在维纳的安排下清华大学向他发出了邀请。遗憾的是，两个月以后发生了卢沟桥事变，日本侵华战争全面爆发，他的愿望落空了。 如果多才多艺的冯?诺伊曼能来中国，其推动力将难以估量，而他自己也可能从这一新奇的东方之旅中获取无穷灵感。早春二月，冯?诺伊曼在华盛顿陆军医院去世，享年53岁。弥留之际，美国国防部正副部长、陆海空三军总司令以及其他军政要员齐聚在病榻前，聆听他最后的建议和非凡的洞见。此前，艾森豪威尔总统亲自给坐在轮椅上的冯?诺伊曼颁发了一枚特别自由勋章。黄昏时分，夕阳的余晖洒落在波托马克河两岸，也透进了陆军医院的玻璃窗。这是日落前最后的辉煌，20世纪最伟大、最活跃的大脑之一停止了思想。 　　 2010年春天，杭州彩云居 任何天才人物的辉煌不是用眼睛而是用精神才能看见的！数学家更是如此。 2017年，获“国家科学技术进步奖”二等奖。 2017年，入围第十二届“文津图书奖”科普类推荐图书。 2014年，以此书为蓝本的视频公开课《数学传奇》入选国家级精品课程。 2013年，获“高等学校科学研究优秀成果奖”。 2009年，入选“深圳读书月推荐书目”和“青岛新闻网年度十佳图书”。 以时间为线索，梳理数学发展的历史脉络；以人物为线索，描绘数学家的传奇人生。 《数学传奇》讲述的是数学的故事。而数学本身的发展，离不开数学家，所以这本书是对那些做出杰出贡献的数学家的一次梳理。但是本书的高度并不在于数学本身，而是从数学出发，总结数学家的成就得失，探讨数学与政治、数学与诗歌的关系。