写给孩子的趣味几何学

作者简介

雅科夫·伊西达洛维奇·别莱利曼（1882—1942） 出生于俄国格罗德省别洛斯托克市，是享誉世界的科普作家、趣味科学的奠基人。17岁时，他开始在报刊上发表作品。1909年大学毕业以后，他开始全力从事科普写作和教育工作。别莱利曼一生共创作了105部作品，其中大部分是趣味科学读物，并且很多作品被翻译成数十种语言，对青少年的科学学习产生了深远影响，对世界科普事业的发展做出了卓越贡献。

内容简介

Chapter 1 树林中的几何学 1.1利用阴影测量物体的高度 在我还很小的时候，曾在树林中遇见一位秃顶的看林老人，只见他在一棵大松树下摆弄着一个四方木板样子的仪器，我很好奇地问他在干什么，他回答说他正在用仪器测量松树的高度。我原本以为他要带着那个小巧的仪器爬上树梢去量树高，然而他丝毫没有上树的意思，反而把那台小仪器放回自己的口袋中，然后对大家说他已经测量完毕。 那时的我对此感到十分惊奇，要知道，对于当时年幼无知的我而言，测量树高的方法应该只有把树砍倒或者费力爬上树梢测量这样的笨办法，但是这位秃顶的看林人仅仅用一个小仪器就测量出大松树的高度，这简直是神奇无比的魔术！ 上学以后，我学习到了一些几何学基本原理，才终于明白小时候百思不得其解的奇妙魔术不过是对最基本原理的简单运用罢了。 运用几何学基本原理来测量物体高度的方法数不胜数，其中最古老的测高法便是古希腊哲学家泰勒斯利用阴影对金字塔进行测高的方法。 公元前6世纪特殊的一刻，人在太阳光投射下的影子长度与人的身高相等。正是这一刻，在埃及最高的金字塔脚下，在疑惑的法老和祭司们面前，泰勒斯完成了对宏伟金字塔测高的任务。因为在那个时刻，金字塔投下的阴影长度正好与其高度相等，泰勒斯通过测量阴影的长度得到了金字塔的高度。 泰勒斯巧妙利用三角形的一个特性，借助阴影解决了测量金字塔高度的难题。而关于三角形的其他特性，大约在公元前300年，被另一位希腊数学家欧几里得发现，并撰写出一部著作，成为两千年来人们学习几何学必不可少的教材。一些今天我们每一个中学生都熟知的定理，其实都来自这部书，也正是有了泰勒斯、欧几里得这样无数前人的努力，才使得我们现在能站在巨人的肩膀上去看待和思考这些问题。 对于现在的中学生来说，泰勒斯当年使用的方法其实非常简单，它包含了三角形的以下两个特性（泰勒斯发现了其中的第一个特性）： （1）等腰三角形的两个底角相等。反过来，如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对应的两边也相等。 （2）任意三角形的三个角的角度之和为180°。 依据这两个特性，泰勒斯推定出，当一个人的身影和他的身高等长时，太阳光应该正以45°角投射到平地上。因此，金字塔的塔尖顶点、塔底中心点和塔的阴影端点之间正好构成了一个等腰直角三角形。 这个方法在晴朗的日子里对独立的树木进行测量十分方便，但是有很大的局限性。一方面，如果在树木林立的树林里测量，树木的影子往往会与旁边树木的阴影重叠在一起，不便于测量。另一方面，在一些高纬度地区，太阳经常低垂于地平线上，很难等到合适的测量时机（此时人的影子长度与身高相等），只有等到夏季的正午时分，才可使用这个方法。 当然，只要将上面的方法略加改进，我们并不一定非得等到那个特殊时机才可测量。在测高时，先测量出所测物的阴影长度，然后测出自己的身影或者一根木杆的阴影长度。这样，根据它们之间的比例计算就可得到所测物的高度了（图1-1）： AB∶ab=BC∶bc 这个式子之所以成立，正是利用了相似三角形ABC和abc的相似性原理，简单说来，就是树影长度是你身影长度的几倍，树高也就是你身高的几倍。 图1-1用阴影测量树的高度 我们应该真正掌握这其中的几何学原理，而不是死记规则。因为在另外一种情况下，这个规则就不适用了。如图1-2所示，在路灯灯光投射出阴影的情况下，木柱AB比木桩ab大约高出2倍，然而木柱的阴影BC却要比木桩bc的阴影多出约7倍。这是因为太阳光线和路灯光线并不一样，路灯是点式光源，所以其光线是发散的，而太阳光线则是彼此平行的。 图1-2 在什么情况下不适用这种测量方法 你也许会疑惑，太阳光线在放射出的瞬间就已交织在一起，又怎么判断出太阳光线是平行的呢？的确，从理论精确的角度讲，太阳光线的确存在角度，只是这个角度小得几乎可以忽略不计。举这样一个简单的几何学计算就能证明。假设从太阳某点放射出的两道光线，落在了地球表面相距1千米的两个地点，有一把无限大的圆规，我们可以把圆规的一只脚放在发射光线的那个点上，另一只脚以日地距离（即150 000 000千米）为半径画一个圆。通过计算，两道光线半径之间的圆弧长度达到1千米。而画出的这个巨大的圆的周长应为2π×150 000 000≈940 000 000千米。该圆周每一度的弧长都是圆周的1360，长度约为2 600 000千米；一弧分是一度的160，也就是43 000千米；而一弧秒则是一弧分的160，也就是720千米。而我们假设的圆弧长只有1千米，因此，与之对应的角只是1720弧秒。再精确的天文仪器，也难以测量如此微小的角度。所以，在测量的实践中，我们完全可以把太阳光线看作是彼此平行的直线。 不过，在运用这个方法进行实际测量的时候，还存在一个问题。由于太阳并不是一个点状光源，而是由无数点及其放射出的光线所组成的巨大发光体。所以太阳光投射出的阴影尽头总有一道轮廓模糊、颜色暗淡的半影，我们总是很难确定其界限，所以无法做到完全精确地测量出阴影的长度。如图1-3所示，树影BC段后面就有一段半影CD，而半影CD与树顶A形成的角度与我们平时看太阳圆面时所夹的角度其实是相等的，叫作半度。因此即便在太阳所处位置并不低的时候，有时因这两个阴影测量的不精确所带来的误差也可能达到5%及以上，有时再加上地面不够平坦等不可避免的因素，使得误差更大。因此，在一些诸如山区的地方，阴影测高法不建议采用。 图1-3 形成的半影 1.2两个简单的方法 除了利用阴影，我们还有其他办法可以简单快捷地测量出物体的高度吗？答案是当然有。只要掌握了几何学的基本原理，我们就可以组合出千变万化的测量方法，下面再介绍两种比较简单的方法。 第一种方法是自制简易测量仪。需要的材料有：一块一面光滑的木板，一张纸，一支笔，三枚大头针，一个小重物。这些材料十分简单，即使是野营时都不难找到。找齐材料以后，需要在木板光滑的一面上画一个等腰直角三角形。这时如果你身边并没有能画出直角的三角板或者可以画出等边的圆规，你可以把纸片对折两次，从而得到一个直角，再利用这张得到的纸三角量出相等距离。总之，开动你灵活的脑筋，办法总是多种多样的。当等腰直角三角形画好以后，就把三枚大头针分别钉在三角形的三个顶点上，测量仪的制作就算完成了（图1-4）。 图1-4 大头针测高仪 需要注意的是，应该在离被测树木有一定距离的地方，手持仪器，在a点上绑一根下端系有小重物的细线，使得三角形的直角边ab始终与地面平行。然后，人靠近或者远离树，通过移动找出点A（图1-5），使得当从点A经a和c朝树顶C方向望去时，刚好无法看到树顶C。这意味着此时直角三角形的斜边（也称作弦）ac的延长线通过了点C。即a、B、C构成直角三角形，而∠a=45°，所以aB=BC。 又因为AD=aB，所以你只需在平地上量出你与树木之间的距离AD，再加上与你身高相等的BD，就可得到树高CD了。 图1-5 使用大头针测高仪测高 如果制作仪器对你来说有点麻烦，下面还有一种更简单的方法。不用制作仪器，你只要找到一根长木杆，把它垂直插入地里，使其露在地面上的高度等于你的身高。但是你需要选择这样一个插杆地点，如图1-6所示，当你面朝上躺在地上时，应该可以看到树顶和木杆顶端在同一直线上。因为这时三角形Aba是等腰直角三角形，所以通过测量AB就可得到所求的树高了。 图1-6 另一种测量树高的方法 1.3儒勒·凡尔纳的巧妙测高法 作家儒勒·凡尔纳曾在其著名小说《神秘岛》中，生动地介绍过一种巧妙的测高法。 工程师对哈伯特说：“走，我们今天得去量一下那个眺望岗的高度。” “需要带上什么工具吗？”哈伯特问。 “不需要，什么都不需要带。今天我们要用另外一种同样简便又准确的方法。” 哈伯特是个好学的年轻人，他希望尽可能多地学些东西，于是他跟着工程师，走下了花岗岩壁，往岸边方向走去。 工程师用一根长的直木杆与自己比对，他要再确认一下木杆的长度是否与自己的身高相等，尽管他对自己12英尺（1英尺=0.304 8米）的身高不可能不了解，但这也是为了测量能更加精确。 哈伯特拿着工程师之前让他拿着的一个悬锤，跟在工程师身后。说是悬锤，那其实就是一块系在绳子下端的小石块。 两个人走到离花岗岩壁大约还有500英尺的地方时，工程师把木杆插入沙土里，大约有2英尺深。在固定好木杆后，他又用悬锤调整木杆，使它垂直在地面上。 接着，他在离木杆有一段距离的沙地上躺下，眼睛正好可以看到木杆的顶端以及峭壁的边缘在同一直线上（图1-7）。在躺下的地方他仔细用木橛做了一个记号。 图1-7 儒勒·凡尔纳小说里主人公在测量岩壁的高度 “你知道几何学的基本常识吗?”工程师起身问哈伯特。 “嗯，知道。” “那你记得相似三角形的特性吗?” “它们的相对应的边成比例。” “对的！我正在试图构造两个相似的直角三角形来帮助我们完成测量。你看到没有，我把这根垂直的木杆作为小三角形的其中一条边，而木橛与杆脚之间的距离是另外一条边，至于弦则由我的视线充当，对了，我的视线还是大三角形的弦，它们两者在同一直线上。至于大三角形的另外两条边，分别是我们要测量的岩壁高度，还有从木橛到岩壁脚之间的距离。” “哦，我知道了！”哈伯特激动地大喊，“木杆和岩壁的高度之比，不正是木橛分别到木杆和岩壁脚之间的距离比吗！” “你说得完全没错，就是这样。所以我们根本不需要直接去测量岩壁的高度，只要我们通过测量得出比例算式中的前面三个项，也就是你刚刚说的两个距离，以及木杆的高度，我们完全可以通过计算得到我们所需要的岩壁高度，因为那正是比例算式中的第四个未知项。” 两个水平距离测量的结果分别是：小三角形的一边为15英尺，而大三角形的一边为500英尺。 结束测量后，工程师记录如下： 15∶500=10∶x 500×10=5 000 5 000÷15≈3333 所以计算可得岩壁高度约为333英尺。 1.4 侦察兵的测高法 上面我们介绍的几种测量高度的方法，都要求人必须躺在地上，有时并不太方便。在伟大的卫国战争时期的侦察兵就使用了一种不需要躺下就可以测量高度的方法。 在战争前线，当时的中尉伊万纽克的分队接到一个命令，必须如期在一条河上造出一座桥。造桥需要大量木材，然而河对岸已被法西斯占领，中尉只能派出由上士波波夫率领的侦查小组前往附近的一片树林去测量常见树木的直径及高度，以算出架桥所需要的树木总数。 侦察兵们选了一棵树，借助一根测量的木杆，就完成了测量（图1-8）。 图1-8 使用测量杆测量高度 在距离被测树木不远的地方，侦察兵把一根比自己稍高的木杆垂直插入地下。接着面朝大树沿着Dd的延长线往后退，直到自己面朝树顶刚好可以看到木杆顶端b与树顶B在同一直线上的A点为止。然后头部不动，眼睛望向水平直线aC的方向，在木杆和树干的c、C两点做好标记。 于是根据相似三角形abc和aBC的对应关系，列出比例式 BC∶bc=aC∶ac 计算出： BC=bc×aCac 其中，bc、aC和ac的距离都可直接测出，进而计算得到BC值，再与可直接测得的CD相加，便得到树木的高度了。 正是依靠侦察兵这种简便准确的方法，得到了架桥所需的树高数据，中尉得以及时确定架桥地点和方式，架桥的战斗任务也得以如期顺利完成。 1.5笔记本测高法 灵活利用一些日常生活用品进行测高，往往会有意想不到的效果。你有没有试过用那种可以装在口袋里的袖珍笔记本（笔记本沿边插有铅笔）进行测量呢？在这里运用的依然是相似三角形的原理。 如图1-9所示，把笔记本拿到一只眼睛前面，竖直放置，使插有铅笔的一侧朝向被测物体，然后把铅笔慢慢垂直往上推，直至从眼睛a点向上望时可以看见铅笔尖b与树顶B同在一条直线上。此时，三角形abc和三角形aBC相似，BC可以通过下列比例式计算求得： BC∶bc=aC∶ac 在这几个数值中，bc、aC和ac的距离可以通过直接测量得出，要求树高BD还需要测量出CD的长度，又因为CD的距离与人眼到地面的距离相等，因此只要量出Aa即可。 图1-9 使用笔记本测量树高 我们再仔细想一下，就会发现，由于笔记本的宽不变，当你与被测物的距离总是一定时，树高就完全体现在铅笔被推出的bc部分上了。也就是说，如果你做个有心人，预先计算好铅笔被推出的不同长度分别对应了哪些高度值，并把它们标记在铅笔杆上，你就拥有了一部可以装在口袋里并带有刻度的测高仪！ 1.6无须靠近大树的测高方法 有时候，我们会遇到这样的情况：我们想测量一棵大树的高度，却由于某种原因无法靠近树木进行测量，上述的办法因此皆无法施行，这怎么办呢？ 答案其实很简单，我们只要借助一部巧妙的仪器就可以解决难题，而这部仪器也并非运用了多么高端的技术，同样通过自制就可以完成。如图1-10所示，可以把两根木条固定成如图直角，使得ab等于bc，bd为ab的一半即可。又或者在一块合适的木板上，把四枚大头针相应钉在a、b、c、d四个点的位置上，也同样可以制作仪器。 图1-10 怎样使用两根木条制作的最简单的测高仪测高 测量时，先利用悬锤调整好木条cd的垂直度，然后先后在两个地方进行测量（图1-10）。从点A开始时，应把仪器的c端朝上，测完后，应在距离点A有一定距离的点A′处测量，此时应把仪器的d端朝上。注意选择点A时应使从点a朝c端望去时，可见其与树梢B在同一直线上。同理可以这样选择点A′，当从a′点向d′望去时，可看到d′与B重叠。测量工作的关键在于找到点A和A′这两个点， 因为被测树高的一部分BC等于距离AA′。从下列算式可以很容易地弄明白BC与AA′的相等关系： 因为 aC=BC，a′C=2BC 所以 a′C-aC=BC 运用这个仪器，即使无法靠近大树，我们也能测量出大树的高度。当然，如果在可以走近树木的情况下使用这个仪器，仅需要找到A或A′其中一点就可测量，更是方便。 这是一份知识满满、趣味多多的珍贵礼物，能够激发孩子对科学的好奇心和探索欲，培养孩子的学习能力、思考能力和想象力，告诉你如何帮助孩子爱上几何学！ ★阅读本书，你将破解关于几何学的诸多奥秘： 如何利用阴影测量物体的高度？ 天空中的月亮为什么忽大忽小？ 地平线离我们到底有多远？ 蒙上眼睛之后为何难以走直线？ 不打破蛋壳能称出蛋壳的质量吗？ ……