老龄化背景下中国养老保险体系的长寿风险管理理论研究/清华汇智文库

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高建伟，华北电力大学教授，博士生导师， 新世纪优秀人才，北京市优秀人才。

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第1章长寿风险理论 研究概述 11长寿风险概述 111长寿风险的定义 长寿风险是人们经济生活中的风险之一，目前尚未有统一的定义，国内外学者大多将其定义为由于个人或群体（聚合）的死亡率下降，预期寿命延长，造成养老金不足而产生的风险。本书分别从个体和聚合两个角度来界定长寿风险。 （1） 个体长寿风险 个体长寿风险是指由于个人的实际寿命高于未来寿命的预期，而导致的养老金储备不足的风险。个体长寿风险的产生原因主要有：人们并未参加任何养老金计划，只依靠个人储蓄养老；提前退休，过早地使用养老金；自身积累的财富不足或低估自己的预期寿命，积累的财富使用过快。对于个体长寿风险的管理包括强制个人参加国家基础养老金计划，不提前退休，为退休生活积累充足的财富，积极参加补充性的养老保障计划。 （2） 聚合长寿风险 聚合长寿风险是由于人口死亡率群体性降低，预期寿命系统性延长，年金或养老金计划的提供者的养老金实际支出大于预期支出，管理成本上升，形成巨大的养老金缺口。聚合长寿风险是一种系统性风险，它是整个养老群体寿命系统性延长所产生的风险，不可能在该群体内实现风险分散。由于具有群体性，长寿风险的影响也是巨大的，会给社会发展造成严重后果。本书主要研究聚合长寿风险。 （3） 长寿风险与人口老龄化的关系 长寿风险和人口老龄化虽然存在密切的联系，但是二者是不同的概念，不能混淆。人口老龄化是人口在年龄结构方面发生变化，具体指某个地区或国家老年人口增多，年轻人口减少，老年人口比例提高。它主要是由于人口生育率降低，人口实际寿命延长造成的。按照国际公认的标准，一个地区60岁以上老年人口比例达到10%或65岁及以上老年人口占总人口的7%，则该地区进入老龄化社会。我国2010年人口普查中，60岁以上人口的比例达到1326%，中国已经步入老龄化社会。长寿风险是由于人口实际寿命延长高于预期寿命而导致的财务风险，表现为个人储蓄不足及国家养老金支付困难。一个地区或国家的长寿风险是由于养老制度不完善造成的。 综上所述，人口老龄化和长寿风险存在共同成因，即人口实际寿命延长，生育率降低，老年人口增多，形成老龄化社会，再加上社会养老保障制度的滞后性，造成了社会的长寿风险。 112长寿风险产生的原因 长寿风险是多方面因素共同作用的结果。人口预期寿命延长、社会老龄化以及社会保障制度的滞后性是长寿风险产生的主要原因。 （1） 社会和自然因素 人类社会文明的进步对延长寿命具有巨大的贡献，良好的自然环境是人们保持身体健康的基本条件。自然环境的优良程度是决定人们身体健康的重要因素，随着生产力的发展，人们的生存环境发生了巨大改变。虽然目前世界环境远不如工业革命之前的年代，但是随着世界各国人们环保意识和健康意识的增强，人类正在打造适合自己生存的生活环境，为预期寿命延长提供了良好的自然环境。和谐的社会环境、良好的人际关系是人们延年益寿的必要条件。美国心理学教授霍华德·马丁经过20年的研究发现，影响人类寿命的第一因素是人际关系，由此可见，和谐的社会环境对预期寿命延长是有所帮助的。此外，健全的法律制度和完善的社会保障制度也为老年人获得基本生活保障提供了强有力的保证。 （2） 宏观经济因素 经济技术的发展为人们的生活提供了经济保障，是预期寿命延长的最主要因素。随着生产力的提高，社会经济迅速发展，生活质量得到改善，预期寿命不断延长。科学技术的进步也为人民健康生活提供了良好的医疗卫生条件，使人口死亡率大幅降低。社会的进步和经济的发展为人类提供了更加良好的生存环境，抵御灾害和疾病的能力提升，人口的平均寿命延长，养老金计划的支付期大大延长，长寿风险由此产生。 （3） 社会保障制度因素 虽然人口预期寿命延长、老龄化是造成长寿风险的最直接、最表象的原因，但长寿风险的根本成因却是社会保障体系相对人口老龄化的滞后性。人口预期寿命延长，养老资源需求大大增加，给养老保险体系造成了巨大的压力。传统的现收现付制养老保障制度在面对庞大的老龄化人口时，会出现严重的缺口；完全积累制可能面临严重的市场风险，又会失去政府的再分配功能；我国现行的统账结合模式是一种世界首创的养老金混合管理模式，虽然可以在一定程度上弥补前两种保障制度的不足，但是我国养老金的管理仍处于转制过渡阶段，存在养老金缺口巨大、个人账户空账运行现象严重、资金供应不足、管理体制不够完善等问题。 （4） 逆向选择因素 金融市场的发展为养老保障体系提供了发展空间，保险公司已成为养老市场的主要成员。保险公司的养老保险产品是依据一定时期的生命表，计算出平均预期余命来定价，其生命表是严格制定的，不能更改。由于生命表的滞后性，实际死亡率变化会导致精算预期寿命偏离实际值。如果实际值长期大于精算预期值，保险公司将收不抵支，出现长寿风险。而在出现长寿风险的状态下又往往会出现逆向选择的现象，即具有长寿可能的被保险人向保险公司投保，原则上为了规避风险，保险公司可以拒绝接受申请，但是在预期寿命系统性延长的情况下，保险公司的客户群体都是高风险人群。由于这样的逆向选择，保险公司不断接受高风险投保，长寿风险会不断恶化。 113长寿风险的影响 随着人口老龄化加深，长寿风险问题将越来越严重，对个人、家庭、养老保障体系乃至社会的发展都会产生不利的影响。 （1） 长寿风险对个人的影响 对于个人来说，实际寿命大于预期寿命，往往会因为财富积累不足难以维持退休后的生活，从而只能减少退休后的支出，这样老年人的生活质量将大打折扣。“养儿防老”的传统养老模式下，对于没有任何养老保障计划的老年人，其晚年生活只能靠子女承担，然而计划生育的实施使我国人口结构呈现倒三角形态，独生子女家庭在养育儿女的同时还必须负担四位老人的生活资本，对年轻一代形成巨大的家庭压力。严重的通货膨胀使传统的“储蓄型养老”失去意义，即便是老年人参加了基本养老保障计划，但是日益增长的消费压力使养老金难以保障老年人退休后的生活。长寿风险严重影响个人及家庭的基本生活。 （2） 长寿风险对基本养老保险的影响 我国的基本养老保险是政府强制职工参与的一种养老保障制度，基本养老保险实行“统账结合”的管理方式，由统筹账户和个人账户组成，统筹账户由政府收支，个人账户退休后归个人所有。“统账结合”的管理方式是改革后形成的模式，基本账户难以维持老题能避免效用函数带来的缺陷，但该方法也存在不尽合理之处：其以预期收益与实际收益之差的平方作为优化目标，从而导致实际收益超过目标收益的部分也被视为风险，这与现实情况不符，至今这一问题仍未得到解决。此外，在养老基金或寿险基金投资中，尚未发现将长寿风险纳入投资组合模型，研究通过投资组合消纳长寿风险具有重要的理论意义和实际价值。 134基于风险证券化的长寿风险管理 长寿风险证券化的发展主要源于寿险业对长寿风险转移的需求。近年来，长寿风险证券化已成为长寿风险管理领域中的重要创新，是寿险证券化中颇为活跃的领域。国外学者和机构对长寿风险证券化的研究主要集中在长寿债券、生存互换和远期合约等衍生品的设计及定价方面。例如，Blake和Burrows（2001）首次提出可以利用生存债券对长寿风险进行套期保值，开创了长寿风险证券化的先河。其后，人们研究了生存互换、q远期等产品的设计及定价。长寿风险证券化市场通常是非完全市场，其定价方法可归为两类：第一类是风险中性定价方法；第二类是概率分布扭曲（distortion of distribution）定价方法。 风险中性定价方法本质上是基于测度变换，将原来的实际概率测度转换为虚拟的风险中性测度，进而利用无套利理论进行定价。例如，Milevsk和Promislow（2001）运用死亡险产品和零息债券的资产组合对年金产品进行套期保值。然而，由于年金险业务和死亡险业务的投保人群存在差异，因此长寿风险的完全自发套期保值很难实现。其后，Dahl和Mller（2006）将风险中性方法应用于长寿风险套期保值的金融产品定价的研究，但因风险中性测度为虚拟测度，因而在应用中很难进行验证。Cairns等（2008）将风险中性定价方法应用于死亡率风险证券化产品定价，在理论上得出了较好的结果，但还未能进行实证研究。Li和Ng（2011）运用风险中性定价方法对EIB/BNP生存债券和蕴含的长寿风险进行了定价，为长寿风险的风险中性测度提供了应用案例。Cairn（2013）对生存互换的定价进行了研究，然而由于柜台交易的特点，很难获得生存互换的交易信息。Wong等（2014）在非完全市场条件下，分析了生存债券的设计及定价机制和模型，指出生存指数模型的构建是长寿债券设计的难点和关键点。目前现有研究中的生存指数大多利用经典的死力模型得到，不能充分体现生存概率的复杂性，没有将模型的预测能力与计算性质较好地统一起来，导致长寿债券的定价研究与实际应用仍存在一定距离。 概率分布扭曲定价方法实际上是通过概率扭曲，变换概率测度实现了在不完全市场中对风险进行定价。例如，Wang（2000，2002）利用概率分布扭曲的方法提出一类Wang定义的扭曲算子，定义为Wang变换，并将Wang变换与资本资产定价（CAPM）模型、BlackScholes期权定价公式进行了比较分析，结果表明Wang变换可以复制CAPM模型和BlackScholes期权定价公式的结果，因此Wang变换适用于金融和保险风险的定价。Lin和Cox（2005）在非完全市场下，将Wang变换方法引入巨灾死亡率风险定价研究，验证了Wang变换方法在巨灾死亡率债券定价研究中的可行性和有效性。Blake等（2006）在金融期货发行的成功经验和失败教训的基础上，提出了死亡率期货的实现方式，指出死亡率指数的选择是影响生存期货成功的关键因素。Denuit等（2009）在LeeCarter模型框架下，定义了一种新的死亡率指数，进而运用Wang变换研究了q远期的定价问题，但其构建的死亡率指数的构造忽略了死亡率的跳跃性特征。McShane和Cox（2012）运用Wang变换对生存债券进行了定价，得出长寿风险的市场价格。Dawson等（2013）在定义一种新的死亡率指数的基础上利用Wang变换研究了生存互换定价问题，但该Wang变换以及上述学者所用的Wang变换均为单因子Wang变换。单因子Wang变换假设真实分布已知，然而在构造死亡率指数时，只能通过参数估计得到其分布情况，因此采用单因子Wang时无法规避由参数估计不确定性产生的误差。针对该问题，Hamenoe和Babner（2015）利用双因子Wang变换研究了长寿债券定价问题，但并未考虑长寿债券投资者的偏好。 国内学者对长寿风险证券化的研究处于初始阶段，至今，多数研究还仅处在定性讨论和框架设计阶段。例如，余伟强（2006）首次引入长寿风险概念，并对长寿风险的生存债券进行了探讨。陈秉正和祝伟（2008）对长寿风险证券化的设计及定价机制进行了归纳总结。尚勤（2014）从投资者的视角对欧洲投资银行和法国巴黎银行联合发行长寿债券的失败案例进行了研究。目前，中国证券市场发展还不完善，如何科学设计长寿风险证券化是一个重要的理论研究问题。 长寿风险证券化实质是利用金融衍生品定价理论和生存指数模型研究长寿定价问题，因为金融衍生品定价理论已日臻完善，目前国际上对于长寿风险证券化的研究主要是研究生存指数。在定价方法上，Wang变换比风险中性定价方法更具有优势。Wang变换分单因子和双因子两种方法，双因子Wang变换方法可以降低由参数估计不确定性产生的误差，可克服单因子Wang变换方法的不足。 14本 章 小 结 本章从长寿风险的定义、产生的原因及影响等方面对长寿风险进行了分析。结合我国延迟退休政策的现状，分析了现行养老保障体系存在的隐患，对我国长寿风险的管理概况进行了梳理，分别从死亡率预测模型研究、长寿风险评估问题研究、长寿风险控制和长寿风险转移四个方面对国内外研究现状进行了深入分析。 第2章长寿风险下的 死亡率模型 死亡率的预测不仅对于人口科学的研究十分重要，同时也是人寿保险产品定价、养老产品定价和养老金财务计划的关键部分。只有依赖较为准确的未来死亡率预测，才能推测出未来人口的变化情况，为社会保障部门和保险公司提供依据。自第一个死亡率预测模型出现以来，人类在关于死亡率的研究道路上就没有停止过脚步。在世界各国，依据过去的经验数据和模型对未来死亡率做出的预测大多低于实际结果。死亡率的降低和预期寿命的延长，特别是死亡率的非预期性降低，给养老金制度安排和养老年金财务核算带来无法预期的财务压力。死亡率预测作为养老金财务规划的基础，对政府养老金制度、雇主职业年金、保险公司的团体和个人养老金业务等都有重要的影响，关系到各类养老计划的财务安全和可持续发展，因此，人口死亡率的准确预测对经济社会的持续稳定发展，显得尤其重要。 预测人口死亡率的模型主要可以从生物医学、社会统计和精算三个方面分为三类：第一类是基于生物医学进展的模型；第二类是基于社会统计领域的因果因素模型；第三类是趋势外推模型。死亡率预测模型的体系如图21所示。 死 亡 率 模 型1基于生物医学进展的模型 2因素因果模型微观因素模型弱点模型 机体老化模型 DNA修复模型 宏观因素模型 3趋势外推模型静态死亡率模型De Moivre模型 Gompertz模型 Makeham模型 Weibell模型 动态死亡率模型离散时间死亡率模型LeeCarter模型 LeeCarter模型扩展形式 年龄—时期—队列（APC）模型 连续时间死亡率模型短期死亡率模型 远期死亡率模型 死亡率市场模型 图21死亡率模型分类示意图 第一类模型主要考虑重大医学和生物学发现对人类寿命延长的贡献。第二类模型体现了社会经济因素，主要是在死亡率与社会经济水平因素之间建立回归等统计计量关系。该类模型包含各种外部信息因素，把死亡率分解成各个独立的部分，进而对每个部分单独进行预测，最后归总得到死亡率的预测值。该类模型涉及流行病学和生物医学研究，除了性别、年龄因素外，模型会使用各种指示变量来描述健康、生活方式、卫生保健、生存环境、社会支持及社会经济状况。这些因素和变量可以分为微观变量（影响个体生存的因素）和宏观变量（影响社会群体生存的因素），从而因果因素死亡率预测模型可被分为微观因素死亡率模型和宏观因素死亡率模型。微观因素死亡率模型主要运用于个体老化过程和疾病过程等方面的研究，是从个体角度去探寻与死亡率相关的因素。Yashin曾介绍过一些个体老化与死亡率相关联的模型，如弱点模型、机体老化模型和DNA修复模型等。该研究是依赖随机变换个体生存机会的协变量对被观察者和没有被观察者的影响建立模型的，这样才能结合弱点的老化模型进行死亡率的预测。微观因素死亡率模型中也含有许多用于描述发病率的，如传染病发作及蔓延模型、PHM（Population Health Model）模型和莫顿随机风险因素变化模型等。微观因素死亡率模型对数据要求过高，很少应用于实际死亡率预测中。宏观因素死亡率模型主要是从一个社会群体的角度去探寻对死亡率产生变化的影响因素。该类模型通常为统计回归模型，也有运用时间序列把死亡率指示变量作为非独立变量，吸烟行为、受教育程度、收入作为协变量，这样的模型将更加精确。但是需要注意的是，一些风险因素之间是有相互影响的，如吸烟行为与身体素质指标、饮食习惯与血压、经济收入与受教育程度等，所以在考虑这些风险因素对死亡率的影响时往往会高估各风险因素的作用。 第三类模型属于精算类型，趋势外推死亡率预测模型主要通过对过去的死亡率数据的分析建模，外推未来的死亡率，其基本假设是过去的死亡率数据包含了未来死亡率变化趋势的信息。趋势外推模型是我们真正关心和重点研讨的，其研究进展和实践价值也是相对比较有成效的，近几十年来兴起的随机死亡率预测模型的研究进展尤为突出，很多先进的统计理论和方法不断被引入该领域，给该领域带来了前所未有的发展空间。 21节将详细介绍第三类趋势外推死亡率预测模型的相关研究进展。此外，由于高龄人口样本数据少，死亡率预测计算的结果可信度低，采用传统的死亡率外推方法容易产生偏差，高龄人口死亡率的预测是不容忽视的难题，因此也特别补充了几种高龄人口死亡率预测模型。22节将详细介绍LeeCarter模型的四种参数估计方法。23节将构建基于不确定性理论的生存指数模型。24节则将给出不确定生存指数模型的求解算例。 21趋势外推死亡率预测模型 趋势外推死亡率预测模型主要是基于历史死亡率数据包含未来死亡率持续变化趋势的基本假设，运用历史的死亡率数据，构建对未来死亡率的预测模型。从是否考虑时间因素的角度来看，趋势外推死亡率预测模型主要可分为静态死亡率模型和动态死亡率模型两种。本节将分别介绍几种常用的静态、动态死亡率预测模型。 211静态死亡率模型 静态死亡率模型假设死亡率不随时间的变化而变化。最早的静态死亡率模型是Abraham de Moivre提出的直线死亡率模型，即De Moivre模型，它是第一个连续死亡率模型，模型假设死亡率服从均匀分布，即随着年龄的增长，死亡概率呈现直线变化，这种假设显然是不切实际的。Compertz提出了指数Compertz模型，拟合效果较好，得到了广泛的应用。Makeham对Compertz模型进行改进，加入了背景死亡率的因素。Weibell提出了死亡率的幂函数模型。 1De Moivre模型 De Moivre模型也称为均匀分布模型，由Abraham de Moivre于1724年提出，是表示死亡率模型的第一个连续性模型。模型假设死亡在人的整个寿命中服从均匀分布且生存概率是年龄的线性函数。De Moivre模型如下所示： F（x）=1w-x，0≤x≤w（21） 其中，F（x）表示x岁的人的死亡概率，w表示极限年龄。我们知道该模型假设死亡在人的整个寿命中服从均匀分布是不符合现实情况的。 2 Gompertz模型 自1825年Benjamin Gompertz提出指数Gompertz模型以来，由于其对死亡率数据拟合的效果很好，一直备受推崇，Gompertz模型甚至被称为Gompertz死亡率法则。尽管Bogaarts研究表明应用该模型预测死亡率使40岁以下人群的死亡率被低估，但是作为迄今为止最有影响力的死亡率预测模型之一，该模型一直被广泛应用。 u(x)=Bcx（22） 其中，u（x）为x岁的人的死亡率，B和c为模型参数。 3 Makeham模型 Makeham于1867年对Gompertz模型进行了修正，在模型中加入了一个常数项，这个常数项通常被称为背景死亡率。Makeham模型如下所示： u（x）=A+Bcx（23） 其中，u（x）为x岁的人的死亡率；A为常数项，也就是加入的背景死亡率。 4 Weibell模型 1939年，Weibell给出了死亡率的幂函数形式，它是一个具有灵活形式的死亡率模型。该模型最早用于机器设备由于损耗而产生故障的情况，其形式如下： u（x）=rθxθ（24） 其中，u（x）为x岁的人的死亡率，r和θ为模型参数。之所以说Weibell模型的形式灵活，是因为当θ>1时死亡率是递增的；当θ=1时死亡率是不变的；当θ<1时死亡率是递减的。 综上所述，静态死亡率模型都是从参数出发，依据死亡率经验数据，拟合不同的数学或统计曲线来描述死亡率变化的趋势，这种方法没有考虑死亡率在时间上变化的不确定性。近20年来，陆续有学者提出动态的随机死亡率模型，主要分为离散时间随机死亡率模型（discretetime stochastic mortality models）和连续时间随机死亡率模型（continuous stochastic mortality models），广泛用于对未来死亡率的预测。 212动态死亡率模型 动态死亡率模型是依据死亡率历史数据的变化，考虑了死亡率数据随时间变化的不确定性，运用时间序列的分析方法，提取时间因素对死亡率的影响，预测未来死亡率的随机变动。在通过随机不确定性推算未来的趋势时，动态模型不必假设未来的变化遵循历史数据的变化趋势。时间序列模型可能是随机预测模型中最复杂的技术，应特别指出的是，具有很长时间观测点的时候，时间序列模型对死亡率的拟合和预测效果最好。目前，已有很多研究运用时间序列模型推算未来死亡率，本节将具体介绍几种常用的动态随机死亡率预测模型。 2121离散时间随机死亡率模型 1 LeeCarter死亡率模型 LeeCarter死亡率模型（简称LC模型）被公认为随机预测方法中最典型的一个，也是死亡率预测应用最广泛的动态模型之一。LC模型是Lee和Carter在考虑到死亡率变动的不确定性及死亡率变动与年龄、时间的相关性后，于1992年对1900—1989年美国人口死亡率数据进行分析的过程中提出的一种动态死亡率模型。LC模型的主要特征是对数表达形式和时间序列模型预测方式。该模型简洁，拟合效果好，揭开了死亡率预测研究的新篇章。虽然最初该模型的提出是针对美国的人口死亡率，但是大量相关研究表明，该模型同样适用于其他国家的死亡率。因为其预测效果的可靠性，LC模型死亡率预测结果从此成为美国统计局对人口死亡率预测的基准。 LC模型考察了年龄和日历年两种指标变量，是一种时间序列趋势外推模型。该模型的主要思路是将年龄别的死亡率的变化分解成两个部分：一个是随着时间而变化的时间因子；另一个是不随着时间而变化的年龄因子。模型的公式为 mx（t）=exp［αx+βxk（t）+εx（t）］或ln（mx，t）=αx+βxk(t)+εx(t)（25） 其中，x表示x岁的人群；mx（t）表示在t时刻年龄为x岁的人群的中心死亡率，是死亡人数与平均年人数的比值；k（t）为时间因子，主要是描述t时刻死亡率水平的变化，反映对应年份死亡率的相对影响强度，即死亡率受时间的影响程度；αx为年龄因子，是依赖年龄因子的参数，主要是描述死亡率年龄模式的时间趋势，反映死亡率受年龄变化的影响，它是年龄别死亡率取自然对数以后的平均值；βx为对数死亡率的时间变化系数，从模型形式中得出它是k（t）的系数项，反映该年龄组的对数死亡率对时间因素的敏感度，主要描述各年龄别死亡率随时间t的变化；εx（t）表示在t时刻x岁死亡率的残差，即为随机扰动项或者误差项，反映与年龄相关的其他历史影响，它的均值为0，方差为σ2s。 虽然LC模型被广泛应用于死亡率预测，但仍然有其缺陷性：①模型是单因素的；②通常用（x）平均死亡变化率测度年龄效应βx，由于βx还可以确定（x）未来死亡率的波动水平，从而不能消除未来死亡率不确定性和死亡率变化率之间的相互影响；③原始的LC模型中年龄效应βx缺乏光滑性。数据分析表明，如果年龄效应βx缺乏光滑性，则与独立同分布标准正态假设相矛盾。 2多因素年龄―时期模型 2003年，Renshaw和Haberman提出了多因素年龄―时期模型（简称LC2模型）： mt，x=exp［αx+β（1）xκ（1）t+β（2）xκ（2）t］（26） 其中，κ（1）t和κ（2）t为相依的时期效应。 3 年龄―时期―队列（ageperiodcohort）模型 年龄―时期―队列模型，简称APC模型，最早由Frost（1939）提出并应用于结核病的分析研究中。其中，年龄（age）效应指的是不同年龄组之间的变化，这些年龄组反映生理变化、社会经验和地位变化等；时期（period）效应指的是随时间的变化；队列（cohort）效应指的是横跨不同出生年的人之间的变化。Greenberg（1950）首次将年龄、时期和队列三个因素量化，并采用统计学上的广义线性模型来描述。2006年，Debon，Martinez和Montes用APC模型预测西班牙、瑞典和捷克三个国家人口的死亡率变化，取得了良好效果。模型公式为 lnqx（t）1-qx（t）=αx+k（t）+γt-x（27） 其中，qx（t）表示t时刻x岁的人的死亡概率，αx表示年龄效应，k（t）表示死亡年效应，γt-x表示出生年效应。 APC模型有其自身的缺点：APC模型一般假设年龄效应、时期效应与队列效应两两相互独立，这与实际是有一定冲突的。例如，从统计角度看，时期效应考虑了人口健康状况、医疗服务等同时代因素，队列效应量化了战争、吸烟习惯等历史因素，显然时期效应和队列效应都会影响死亡率改善，死亡率改善也必然影响年龄发生变化。因此，APC模型用于死亡率拟合和预测的适用性还需要进一步的研究。 4 RenshawHaberman出生年效应模型 2006年，Renshaw和Haberman对LC模型进行了改进，加入了出生年效应。我们将该模型称为包含出生年效应的LC模型，其公式为 mx（t）=exp［αx+β（0）xτt-x+β（1）xk（t）+εx（t）］（28） 其中，t-x表示出生时的年份，则τt-x表示加入的出生年效应；β（0）x为依赖出生年因子的参数，主要是用来描述当出生年因子变化时，各个年龄组死亡率相对变化的系数。当β（0）x=0时，模型就回归到了初始的LC模型。 5RenshawHaberman队列效应模型 Renshaw和Haberman（2006）最早提出了考虑队列效应的随机死亡率模型： mt，x=exp［αx+β（1）xκt+β（2）xγt-x］（29） 其中，t-x表示出生年，γt-x表示队列效应，κt表示时期效应。在实际中，RenshawHaberman队列效应模型进行数据模型的似然函数可能不止一个，即稳健性较差。 2122连续时间随机死亡率模型 一些学者借鉴金融领域广泛应用的连续模型，提出了类似于远期利率模型和市场利率模型的随机死亡率模型，即连续时间随机死亡率模型。CairnsBlackDowd（2006）提出了三种常用的连续时间随机死亡率模型：①短期死亡率模型；②远期死亡率模型；③死亡率“市场”模型。 1短期死亡率模型 短期死亡率模型是比较成熟的新型模型，它是关于年龄x瞬时死亡率μ（t，x）的一维模型，其形式如下所示： dμ（t，x）=a（t，x）dt+b（t，x）TdW～（t）（210） 其中，a（t，x）表示漂移项，b（t，x）表示n×1维的向量，W～（t）表示风险中性测度Q下的n维标准布朗运动。在无套利市场中的风险中性生存概率如下所示： pQ（t,T,x）=Eexp-∫T0u（u,u+x）du|Mt（211）年人养老金支付，只能暂时以在职职工个人账户资金补充不足的部分。长寿风险的出现使统筹账户养老金实际支付大于预期支付，进一步加剧了基本账户收不抵支的状态。个人账户难以做实，养老金将长期存在资金缺口，这将失去“统账结合”管理模式的优势，养老保险制度改革的进度也将受到影响。 （3） 长寿风险对寿险业发展的影响 保险公司举办的养老保险是一种补充性养老保险，可以弥补基本养老金的不足。随着经济水平的快速提高再加上通货膨胀等因素，物价持续上涨，消费水平不断提高，加之高额的医疗费用，使老年人退休后的基本生活难以单靠基本养老保险来维持，而商业保险提供的各种寿险产品是人们养老的最佳选择。随着我国金融体系的不断完善，保险业得到了快速发展，商业保险逐步成为整个社会保障体系中的重要部分。从长寿风险的定义来看，长寿风险是一种非预测的系统性的风险，难以通过被保险人群体内部分散。从长寿风险的成因来看，由于寿险产品的定价机制的内部滞后性，以及逆向选择问题的存在，保险公司又不得不接受高风险的投保。如果不采取任何防范措施，保险公司的寿险产品必定长期面临亏损状态，严重阻碍寿险业乃至整个保险业的发展，从而影响整个社会保障体系的发展。 12我国长寿风险管理概况 121延迟退休政策推行现状 自从中共十八届三中全会正式提出“研究制定渐进式延迟退休年龄政策”以来，“延退”政策就在舆论的争议下坚定推进。其中一个重要原因就是决策层对未来养老压力的担忧。在2016年的全国两会上，工会界以《积极稳妥推进“延迟退休政策”实施》为题，进行政协委员大会书面发言。工会界认为延迟退休或意味着每年会减少约700万个就业岗位，建议我国探索试行弹性退休制度，更好地满足职工多元化需求。人力资源和社会保障部部长尹蔚民表示，2016年拿出延迟退休方案，并向社会广泛征求意见。不过就现行情况来看，政策的真正落地还有段时间。从方案的出台到具体实施，至少还要经过广泛征求意见、按程序报批、各地出台细则三道程序。延迟退休政策涉及面广，各方观点、意见尚不统一，因此政策方案制定后，必须经过向社会广泛征求意见进行完善修改，才能凝聚社会共识，确保政策出台后能够快速落地。当前男干部、男工人60岁，女干部55岁，女工人50岁的退休年龄，是根据国务院1978年制定的《国务院关于工人退休、退职的暂行办法》和《国务院关于安置老弱病残干部的暂行办法》确定的，当时经全国人大常委会批准。此外，中组部和人社部2015年出台政策，明确正、副处级女干部，具有高级职称的女性专业技术人员年满60岁退休，如本人申请可在55岁时自愿退休。此外，劳动法、社会保险法等法律对退休年龄并未有其他详细规定，因此延迟退休政策可能不涉及法律修改，但是方案完成修改后，还需经过相应程序报经批准后才能最终出台。参考养老并轨政策实施过程，延迟退休政策出台后，各地还将结合实际情况，在国家政策的基础上出台具体实施细则，以便基层执行落实。 122养老保障体系的隐患 当未来人口的实际死亡率低于预期死亡率时，就会发生长寿风险，因此目前我国养老保障体系的三个组成部分都面临这一隐患。 虽然目前政府制定的社会养老保险筹资模式已实现由现收现付制到部分积累制的转变，长寿风险发生的可能性得到一定程度的缓和，但同样不可轻视。在现收现付部分，当未来领取养老金的人群超预期增加时会使未来职工的缴费负担变大，尽管其并非理论意义上的长寿风险，但却是因为长寿所引起的风险；而在向完全基金制发展时，长寿风险同样会进行转移。若养老基金采用确定收益型（defined benefit，DB）计划，则无疑会面临长寿风险；若养老基金采用确定缴费型（defined contribution，DC）计划，当个人达到退休年龄时通常会购买商业年金保险，因此长寿风险将会转移至商业保险公司。我国个人养老金账户采取的运作形式更接近后者。尤其当个人对自身面临的长寿风险进行管理成为社会趋势时，往往会加剧提供管理手段者的总体长寿风险敞口。 企业年金同样存在DB计划与DC计划的选择问题，而其所面临的长寿风险分析思路亦同上。国务院宣布的养老金并轨决定方案提出了机关、事业单位在参加基本养老保险的基础上，还应为其员工建立职业年金。根据《证券时报》推算，这或将每年为职业年金增加缴费1 600亿元。虽然当前企业年金在中国的养老保障体系下尚属少数，但会是大势所趋。而随着企业年金的壮大，也将不可避免地遭遇英国企业年金所处的负债现状。在实际中，企业年金的长寿风险通常通过购买商业保险实现风险规避。 个人储蓄性养老保险相对导致未来商业养老保险产品的需求的增加，并且目前中国的中高收入人群也倾向于购买商业养老保险产品，这对保险公司的产品准确定价的能力是个考验。此外，目前保险公司的年金业务在提取准备金时使用的是由保监会颁布的《中国人寿保险业经验生命表》，而生命表的更新以十年为期。鉴于人口死亡率的改善趋势，十年的期限同样会带来部分的长寿风险，会产生准备金不足的问题。 综上所述，聚合长寿风险存在于基本养老保险计划和商业保险公司。我国保险业整体起步较晚，寿险业的长寿风险管理尚在起步阶段，也没有得到政府的足够重视以及财政及税收优惠政策的支持，政府在现阶段可能更关注我国居民的个人养老问题。 13国内外研究现状 国际上，自Milevsk和Promislow（2001），Olivieri（2001），Blake和Burrows（2001）提出长寿风险的套期保值和证券化思路之后，长寿风险的研究才逐步引起国外学者及研究机构的关注。国内研究中，余伟强（2006）首次引入长寿风险概念，此后，国内学者逐渐关注这一问题。随着人口老龄化问题日益严重，长寿风险已成为基本养老保险制度面临的主要风险之一，也是当前理论和实务研究的重点。 131死亡率预测模型研究 长寿风险源自未来死亡率改善趋势的不确定性，因此建立死亡率模型是研究长寿风险的基础。死亡率模型最初采用的是静态模型，该类模型主要包括Gompertz（1825）提出的指数模型（Gompertz模型）、Makeham（1860）在Gompertz模型的基础上的改进指数模型（Makeham模型）、Helligman等（1980）针对不同年龄人群提出的分年龄静态死亡率模型（HP模型）以及Carriere模型（1992）等。静态模型仅考虑死亡率与年龄的关系，忽略了死亡率随时间变化的趋势，不能准确预测死亡率的变化，因此需研究动态死亡率模型。动态死亡率模型可分为两类：第一类是离散型随机死亡率模型；第二类是连续型随机死亡率模型。连续型随机死亡率模型的建模思路是借助随机分析理论对死亡率进行建模，这与随机利率建模原理类似。离散型随机死亡率建模的特点是该类模型均建立在年度死亡率数据的基础上，依据统计分析，预测未来的死亡率。 经典的离散型随机死亡率模型主要有APC模型、LeeCarter模型、PB模型、RH模型、CBD模型五种。这五种离散型模型均有各自的优点及不足，代表性文献可参见［9］～［21］。例如，Frost（1939）提出的年龄—时期—队列（ageperiodcohort，APC）模型主要用于流行病导致的死亡率预测，但用于人口死亡率预测时适用性较差。LeeCarter（1992）考虑了死亡率波动的随机性，以及与时间和年龄的相关性，给出了一个简洁的死亡率预测模型，该模型的参数包括年龄组别的平均死亡率（反映分年龄人口死亡率自然对数平均水平）、时间效应因子（反映死亡率整体波动水平的指标）、年龄因子（用来描述对时间效应因子的敏感度）和误差项。LeeCarter模型弥补了静态模型的不足，具有对死亡率历史数据拟合较好、外推简便等优点，但LeeCarter模型的误差项不存在异方差，这与实际不符。针对这一不足，Brouhns等（2002）假定死亡人数服从泊松分布来代替LeeCarter模型的误差项，提出了著名的泊松对数双线性（PB）模型，这是目前较常用的一类LeeCarter模型。Brouhns等（2005）进一步将Bootstrap方法应用于泊松模型中来量化长寿风险。Delwarde等（2007）通过实证发现LeeCarter模型通常在五龄组数据下预测效果较好。Renshaw和Haberman（2003）首次提出了利用单龄组数据来估计模型的参数，进而使用三次样条方法进行光滑处理。此外，Delwarde等（2007）使用Brouhns等（2002）中提出的惩罚对数似然方法来光滑LeeCarter模型中的参数。关于LeeCarter模型的扩展方面，Renshaw和Haberman（2006）首次提出包含出生年效应的扩展LeeCarter模型，简称RH模型。Currie（2006）提出了RH模型的简化形式，简称Currie模型。Cairns等（2006）针对高龄人群（60～89岁）提出了基于年龄、世代效应的两因素死亡率模型（CBD模型）。Cairns等（2009）提出了含有世代效应的扩展CBD模型，在该扩展模型中，作为年龄效应的二次项，随时间的推移，世代效应将消失。与LeeCarter模型和CBD模型相比，RH模型拟合后产生的残差和出生年无相关关系，但该模型的稳健性较差。针对上述经典模型，有些学者做了对比分析或改进，例如，Sharon和Wang（2013）将Cairns等（2009）模型推广为不同地区死亡率相依的随机模型。Hanewalda等（2013）在CBD模型的基础上考虑低年龄人群和高年龄人群在时间效应上的差异，通过引入两个时间效应因子使模型具有更好的解释力。Jarner和Moller（2015）比较了LeeCarter模型、APC模型和CBD模型，指出LeeCarter模型具有相对优势。 连续型随机死亡率模型也是一类重要的死亡率预测模型，该类模型通常借鉴金融经济学领域中的连续利率模型，用布朗运动来模拟死亡率变化，也有采用跳跃过程代替布朗运动或者作为补充。例如，Dahl（2004）基于死亡率与连续利息率的相似性，给出了死亡率的期限结构，将随机利率模型应用于死亡率建模中。Chen和Cox（2009）进一步探讨了含系统性死亡率风险的寿险产品负债的评估和对冲问题。Biffis和Blake（2015）根据死亡率的期限结构，分析了如何将利率模型平移为随机死亡率模型的思路和方法，并探讨了英国和美国死亡率发展的趋势。然而，连续型死亡率模型的研究重点放在死亡率模型的形式和对历史死亡率数据的拟合上，很少关心模型的实际应用。此外，该类模型的稳健性较差。 国内关于死亡率预测模型的研究起步较晚，大多关注离散时间随机死亡率模型。例如，陈秉正和祝伟（2008）梳理了死亡率预测研究由静态模型向动态模型转变的发展脉络。李志生和刘恒甲（2010）基于1992―2007年我国分年龄组人口死亡率数据，利用LeeCarter模型对中国人口死亡率数据进行拟合和预测的适用性，分别采用奇异值分解法、最小二乘法、加权最小二乘法和极大似然估计法估计LeeCarter模型的参数，得出加权最小二乘法具有最好的拟合和预测效果。韩猛和王晓军（2010）通过一个双随机过程对LeeCarter模型中的时间项进行建模，得出改进后的LeeCarter模型更适合预测目前中国的人口死亡率。王晓军和任文东（2012）利用有限数据下LeeCarter模型和双随机过程确定中国人口死亡率模型，对商业保险公司采用死亡率改善因子进行了实证分析。金博轶（2012）依据The Human Mortality Database数据库中27个国家的人口死亡率数据，利用贝叶斯方法通过MCMC抽样对Currie模型的参数进行估计。段白鸽（2015）基于LeeCarter模型拟合和预测全年龄段人口死亡率、计算平均预期寿命和构造动态生命表中的应用。姜昱汐等（2007）基于最小叉熵（minimum cross entropy）原理，以叉熵函数作为目标函数，以被保险人的预期寿命作为约束条件，通过最小化叉熵预测被保险人的死亡率。何大义、黄启与高建伟（2012）利用最小叉熵理论给出构建动态生命表的新方法，该方法可在已知某基期生命表数据结构下，以待求死亡率的统计矩为约束条件，通过最小化叉熵函数，使获得预测期死亡率数据与基期死亡率最大限度地保持相似的数据分布结构。利用最小叉熵方法的难点在于很难获得待求死亡率的统计矩。此外，汪荣明、张奕、邓颖璐、周斌、吴述金、王传玉、卢芳先、谢世清、崔世杰等著名学者结合中国数据利用LeeCarter推广模型、CBD模型预测了中国人口死亡率。国内专家学者研究死亡率模型时通常忽略了我国人口死亡率数据的来源差异。在实际应用中，中国人口死亡率数据分别来源于人口普查数据、1%人口抽样数据、1‰变动人口抽样数据，所以数据的质量并不一致。数据质量的差异很可能对模型估计产生影响，导致预测不准确。 综上分析，静态模型忽视了死亡率随时间变化的趋势，因此需研究动态死亡率预测模型。连续随机死亡率模型能很好地描述死亡率的随机波动性，但缺乏参数意义的解释。离散型随机死亡率模型中，APC模型用于人口死亡率预测时适用性较差。LeeCarter模型及其推广具有参数易于估计和解释、外推简便等优点。 132长寿风险评估问题研究 国外学者和机构评估长寿风险主要是针对商业寿险公司，常用度量指标有绝对指标和相对指标。绝对指标是以生存年金的精算现值来度量长寿风险；相对指标是通过定义长寿风险的资本要求（LCR）作为计算依据，其实质是通过计算两种死亡率下生存年金精算现值的相对变化率来评估长寿风险。针对人口死亡率下降导致的长寿风险，国外一些学者和机构研究了该风险的度量问题，主要涉及生存年金精算现值、度量长寿风险的风险价值和资本需求、保险公司负债折现值的概率分布等。 例如，Olivieri（2001）首次采用生存年金的精算现值对长寿风险进行度量，但该指标仅仅反映死亡率改善后的生存年金现值，不能反映由于长寿风险所导致的年金支付的缺口。Olivieri和Pitacco（2003）通过计算长寿风险的偿付能力资本要求（SCR），度量了美国企业年金系统的长寿风险。Milevsky和Young（2007）利用压力趋势（stressedtrend）方法研究了长寿风险对年金精算现值的影响，该方法的特点是利用人口死亡率外推模型，模拟不同置信水平下死亡率的临界值，这些临界值构成死亡率的压力趋势线，压力趋势线与死亡率均值回归线之间的差距，即为死亡率被低估的可能。在LeeCarter模型框架下研究负债精算现值的分布是最常见的一种方法。例如，Brouhns等（2002）假定时间因子服从泊松分布，给出负债现值的解析解。Brouhns等（2005）进一步将Bootstrap方法应用于泊松模型中来量化长寿风险。Renshaw和Haberman（2008）假定死亡率为泊松LeeCarter模型得出了负债现值的迭代式。Richard（2011）通过利用一年期在险价值（VaR）方法，计算了死亡率被低估的长寿风险的偿付能力资本要求，并采用压力趋势法、标准公式法和随机模拟法比较了保险公司的长寿风险。Bellessampera等（2014）提出了一个GlueVaR风险度量方法，该方法是一致性风险度量方法，他们将GlueVaR方法运用在资产配置的风险度量中，探讨了风险度量的尾部次可加性。在LeeCarter框架下，由于死亡率的时间变化趋势是通过一个随机过程建模，在这一随机过程给定后，保单组中所有保单持有者的余寿作为随机变量就不再独立，而是条件独立，进而会导致年金现值之间也存在相关性，这一点相悖于精算中独立性的假设，会导致负债现值预测中系统风险的增加。针对这一问题，Post和Hanewald（2013），Lemoine（2015）等学者研究了这一条件下的负债现值的近似分布。负债折现值法的不足之处在于该方法仅从负债角度考虑，忽略了金融风险对长寿风险的潜在影响。 我国关于长寿风险量化与管理的理论研究起步较晚，系统性综述见陈秉正和祝伟（2008）。近年来的长寿风险量化研究主要关注保险公司年金产品定价和准备金评估存在的风险问题，涉及长寿风险对年金净保费的影响，度量长寿风险的风险价值和资本需求以及长寿风险的市场价格等。 例如，李志生等（2011）提出了一个以死亡率和财富短缺概率为参数的长寿风险量化模型。祝伟和陈秉正（2012）在动态死亡率建模框架下，分析了长寿风险对个人年金产品定价的影响，并引入基于Wang转换的风险定价方法来度量长寿风险的市场价格。金博轶（2012）使用贝叶斯方法对Currie死亡率模型的参数进行了估计，并对年金产品的长寿风险进行度量。韩猛和王晓军（2014）使用改进后的LeeCarter模型度量了长寿风险对未来年金净保费的影响，指出年金购买者现在购买延期年金比未来购买即期年金划算。赵明和王晓军（2015）利用Bellessampera等（2014）提出的GlueVaR风险度量方法，选取1994—2012年国家统计局公布的死亡率数据，采取LeeCarter模型对人口死亡率进行时间外推，运用Gompertz模型对我国缺失的高龄人口死亡率数据进行插补，计算得到GlueVaR方法下的养老金系统长寿风险度量的资本需求。 综上分析，国内外学者利用生存年金精算现值度量长寿风险存在不足，因为该指标不能反映长寿风险的规模。利用长寿风险的相对指标（长寿风险的资本要求，LCR）时，在随机模拟中无论是采用VaR还是CVaR方法均存在一定的缺陷。例如，VaR方法只关注最坏情形下的损失，未考虑尾部损失；CVaR方法弥补了VaR方法的缺陷，但该方法灵活性较差。基本养老保险为国际首创，目前国内外尚缺乏研究基本养老保险制度中长寿风险的评估方法。因为基本养老保险与商业养老保险两种年金产品的精算原理相似，仅给付方式不同，故研究基本养老保险制度中的长寿风险评估方法可借鉴度量商业保险中长寿风险的成果。 133基于风险控制的长寿风险管理 长寿风险的精算管理一般分为风险控制和风险证券化，在基本养老保险中前者包括研究延迟退休和基金投资策略以控制长寿风险，后者主要是将长寿风险转移到资本市场。 针对延迟退休问题，国外学者和机构的研究主要集中在确定最优退休年龄以及分析退休年龄变化对养老金收支的影响上。 例如，Stock和Wise（1990）首次提出了选择价值（option value，OV）模型，该模型衡量了因延迟退休带来的额外工作收入和延迟退休造成的养老金收益的增减变化。此后经过许多学者的检验和优化，该模型成为研究退休行为的重要研究工具之一。Borshsupan（1998）使用这一工具探讨德国社会保障对退休行为的影响效应。Belloni和Alessie（2010）则用其探讨意大利劳动者的退休决策问题。Shoven和Goda（2008）研究了如何使用预期寿命指数以保持美国、新西兰等国家的养老金收支平衡。Heeringa和Bovenberg（2009）分析了在长寿风险影响下如何调整退休年龄以使养老金保持平衡。Kremer等（2014）从劳动者个体出发，利用选择价值模型，度量了延迟退休后的养老金财富，指出养老金财富是衡量养老保险制度拉动退休的基础，但这一概念未考虑延迟退休后的工作收入的积累，导致其具有内在缺陷。也有学者利用跨期迭代模型（OLG）研究最优退休年龄问题，例如，Weil和Pomp（2013）在跨期迭代模型（OLG）的框架下分析了个体的退休决策问题，研究发现：美国现有的养老金体制导致了所谓的最早退休陷阱问题（early retirement trap），即死亡率的变化不会对最优退休年龄产生影响，个体会在最早退休年龄退休。因此，为应对人口老龄化带来的养老金收支压力，政府只能选择提高法定退休年龄。Delprat等（2015）研究了死亡率变化对最优退休年龄的影响，研究发现：在完全竞争市场上，预期寿命的增加会导致退休年龄的增加和存储率的降低，只是退休年龄增加的幅度要低于预期寿命增加的幅度。 2013年11月，中共十八届三中全会正式提出“决定建立渐进式的延迟退休年龄政策”，使延迟退休年龄成为社保领域问题中关注的焦点。在2015年“两会”新闻发布会上，人力资源和社会保障部负责人表示，将从2017年推出延迟退休方案征求意见稿，预计在2020年逐步实施。这说明目前延迟退休在全国推行似乎还未到最佳时机，依然处于征求意见与学术探讨阶段。 国内一大批知名学者提出延长退休年龄的观点，例如，邓大松、申曙光、王晓军、穆怀中、张奕、何文炯、陈秉正、刘昌平、柳清瑞、褚福灵和金博轶等从缓解养老保险基金支付压力或个人角度论证了延长退休年龄的可行性。有些学者从统计角度分析了延长退休年金的策略。 例如，邓大松等（2008）定量化分析了死亡率的变化对最优退休年龄的影响。骆正清等（2010）利用精算方法建立养老保险基金收支预测模型，定量化刻画了推长退休年龄对减少基础养老金基金收支缺口的影响，提出国家应当鼓励延迟退休。胡仕强和许谨良（2011）利用福利经济学理论，从人口红利的角度研究了延长退休年龄对国民经济的影响。曾燕和郭延峰（2013）运用两期OLG模型考虑长寿风险暴露下延迟退休对个人与社会整体效用所产生的影响，发现在长寿风险暴露下，延迟退休是个人的最优决策，同时也使社会效用最大化。林熙和林义（2015）利用选择价值（OV）模型，发现延迟退休可能对男性劳动者和低收入劳动者造成明显的经济损失。 国内外学者研究延迟退休通常从某一方面入手，如有些学者研究了延长退休年龄对国民经济的影响，也有学者研究了延长退休年龄对基本养老保险基金收支平衡的影响，还有学者从个人角度探讨了人力财富和退休决策之间的互动关系。但目前尚未出现综合人口红利、养老保险制度和个人三个层面研究的退休年龄策略。当前较常用的模型是选择价值（OV）模型或跨期迭代（OLG）模型。从模型适用性角度而言，选择价值（OV）是从精算角度出发，逻辑更严谨，是目前研究养老保险对退休行为的经济影响的重要研究工具。 个人账户基金实现积累后，可通过投资应对个人账户中的长寿风险，因此如何有效投资是一个重要问题。近年来，国外学者利用精算和随机控制理论（stochastic control theory）研究养老金投资成为主流趋势。研究方法有两类：一是效用最大化方法；二是损失函数方法。利用期望效用最大化方法的思路是沿袭Merton（1969，1971），Cox和Huang（1989）研究最优投资消费问题的方法。但该方法具有一定的局限性：当决策主体的偏好结构采用效用函数测度时，因为效用函数刻画风险的方式是隐式的，不利于决策主体对收益与风险的权衡；效用函数形式多样，导致决策主体选择效用函数具有一定的主观性。 针对效用函数在实际应用中存在的局限性，有些学者提出利用损失函数研究投资策略，其思路是将基金的实际收益与目标水平的期望偏离程度的平方为目标函数，通过嵌套技术将问题划归为随机控制问题，运用贝尔曼动态规划原理寻求原问题最优解。例如，Devolder等（2003）以实现实际投资收益与预期收益之差的最小化为目标，在风险资产价格服从对数正态分布及无风险资产收益为常数时，利用动态规划技术研究了养老金最优组合。Hainaut和Devolder（2007）假定风险资产价格波动服从随机波动—收益和波动跳跃（SVCJ）模型及无风险收益为CIR（CoxIngersolRoss）利率模型时，考察了投资期限为无限期的最优策略。Huang和Lee（2010）考察了风险资产价格变化服从随机波动（stochastic volatility，SV）模型，无风险利率满足Vasicek模型时的最优策略。Wu和Li（2012）分别在现金流为固定和随机的情况下，研究了均值―方差框架下的投资组合问题。Lim和Wimonkittiwat（2014）在交易成本最小化下将预估损失视为负债，得到最优投资策略。Jevtic和Regis（2015）针对保险公司的偿付风险，以二次损失函数最小化为目标，在无风险资产收益为常数而风险资产价格波动满足随机微分方程时，利用动态规划理论给出最优策略表达式。 国内学者研究个人账户养老金投资策略主要以宏观定性为主，定量化研究较少。郭磊和陈方正（2008）以CRRA效用函数为目标函数，研究了个体投资者的最优策略。肖建武等（2007）在风险资产价格波动服从CEV模型下，利用Legendre变换得到对数效用函数下的最优投资策略。笔者（2009，2010）在肖建武等（2007）研究的基础上，分别考察了幂效用和对数效用下的最优投资问题，并提出一种ECEV模型，该模型克服了CEV模型的不足。韩立岩等（2013）建立了动态资产配置模型，研究了我国养老保险基金在国内资本市场的战略性配置问题。费为银等（2014）在奈特（Knight）不确定的基金管理者区分含糊（ambiguity）和含糊态度（ambiguity attitude）下，用α极大极小期望效用刻画其对无限区间上养老基金财富的效用，给出了最优投资策略的显式解。李仲飞等（2015）在模型含糊不确定和错误定价下研究了最优投资策略。 利用损失函数方法研究个人账户养老金投资问 《老龄化背景下中国养老保险体系的长寿风险管理理论研究》针对基本养老保险制度和商业寿险中的长寿风险管理问题，采用定量化模型研究的方式，以长寿风险的识别、评估和管理为主线进行研究。