2023陕西省专升本考试考前押密试卷·高等数学

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〖MQ（《出血线》2M+267mm。192mm(-+28.5mm,-21.5mm)-W%〗〖FK(+267mm。192mm〗〖FK(+261mm。186mm〗〖FK)〗〖FK)〗〖MQ)〗〖MQ（《版芯线》2M+216mm。150mm(-+0.5mm,-0.5mm)-W%〗〖FK(+215.7mm。149.7mm〗〖FK)〗〖MQ)〗成品：260mm*185mm，版心：215mm*149mm，上空：20mm，下空：25mm，左空：18mm，右空：18mm 试卷大标题：一行（BT1-*2） 两行（BT1）部分标题：一行（BT2） 两行（BT(2+1*2）标题1，标题2下跟一、（HS）时，（HS上空为0）答案标题：一行（BT3） 两行（BT（3+1）答案部分标题：5H，HS2绝密★ 陕西省普通高等教育专升本考试 高等数学考前押密试卷（一）考试科目高等数学 考生姓名 考生编号 报考单位注 意 事 项1答题前，考生须按规定将考生姓名、考生编号和报考单位填写到试卷规定的位置上，并在答题卡上填（涂）对应的信息。 2所有答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，超出各题答题区域的答案无效。在草稿纸、试题上作答无效。 3考试结束后，将试题和答题卡一并交回。 高等数学考前押密试卷（一）第页（共11页）陕西省普通高等教育专升本考试 高等数学考前押密试卷（一）一、单项选择题（本大题共5小题，每小题5分，共25分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1已知函数f(x)=x1x-1，则（） A limx→1 f(x)不存在 B点x=1为f(x)的第一类间断点 C点x=1为f(x)的第二类间断点 D f(x)在点x=1处连续 2当x→0时，下列等价无穷小不正确的是（） A x2+x3~x2 B x2+x3~x3 C 1-cosx~12x2 D ln(1+x)~x 3下列各项叙述错误的是（） A连续函数都有原函数 B初等函数在其定义域内都有原函数 C若F1(x)和F2(x)都是f(x)的原函数，则F1(x)=F2(x) D若F(x)是f(x)的原函数，则F′(x)=f(x) 4下列各级数中收敛的是（） A ∑∞n=1nn+1B ∑∞n=12n+1n2+n C ∑∞n=11+(-1)nnD ∑∞n=1n22n 5曲面z=2x2+y4-3在点(1,1,0)处的切平面方程为（） A 4x+4y-z-8=0B 4x+4y+z-8=0 C 4x+4y-z+8=0D 4x+4y+z+8=0 二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）6过点(1,-2,3)且与平面2x-3y+6z-7=0垂直的直线方程为。 7函数f(x)=2x3-3x2+1在［-1,2］上的最小值为。 8设方程ey+2xy=e确定了隐函数y=y(x)，则dydxx=0=。 9微分方程y′-yx=0的通解为y=。 10设曲线L的方程为x2+y2=1，则对弧长的曲线积分∮Lln(1+x2+y2)ds=。 三、计算题（本大题共10小题，每小题8分，共80分，计算题必须写出必要的计算过程，只写答案的不给分）11设函数y=y(x)由参数方程x=1+t3,y=e3t所确定，求dydx及d2ydx2。 12求不定积分∫exdx2。 13求极限limx→0∫x20ln(1+t)dtsin4x。 14设函数z=f(x+y,exy)，其中f具有二阶连续偏导数，求zx及2zx2。 15求定积分∫π20sinx-cosxdx。 16将函数f(x)=ln(1-x-2x2)展开成x的幂级数，并指出其收敛域。 17求微分方程y″-6y′+8y=e3x的通解。 18求函数f(x,y,z)=xyz+x-y+2z在点P0(1,1,2)处沿方向l={2,-2,1}的方向导数。 19求二重积分D(x+y3)dxdy，其中D是由直线y=x，y=-x，x=3所围成的区域。 20求曲线积分I=∮L(xsin2x-2y)dx+(3x+ycos2y)dy，其中L是x+y=1沿逆时针方向绕行的有向闭合曲线。 四、证明题和应用题（本大题共2小题，每小题10分，共20分，证明题和应用题必须写出必要的证明或计算过程，只写答案的不给分）21求曲线y=x2和y=x所围成平面图形的面积S，并求此图形绕x轴旋转一周所形成的旋转体的体积V。 22设函数f(x)二阶可导，且在［a,b］上连续，已知过点(a, f(a))，(b, f(b))的直线与曲线y=f(x)相交于(c, f(c))(a2nn2+n=2n+1，级数∑∞n=12n+1发散，根据比较判别法可知，B项级数∑∞n=12n+1n2+n发散； 对于C项，∑∞n=11+(-1)nn=∑∞n=11n+∑∞n=1(-1)nn，其中级数∑∞n=11n发散，交错级数∑∞n=1(-1)nn收敛，根据级数的性质，C项级数∑∞n=11+(-1)nn发散； 对于D项，limn→∞un+1un=limn→∞(n+1)22n+1·2nn2=12<1，根据比值判别法可知，D项级数∑∞n=1n22n收敛。故选D。 5【答案】A 【解析】令F(x,y,z)=2x2+y4-z-3，则 F′x=4x，F′y=4y3，F′z=-1， 因此曲面在点(1,1,0)处的切平面法向量为{4,4,-1}，故曲面在该点处的切平面方程为4(x-1)+4(y-1)-z=0，即4x+4y-z-8=0。故选A。 二、填空题 6【答案】x-12=y+2-3=z-36 【解析】已知所求直线与平面2x-3y+6z-7=0垂直，所以直线的方向向量与平面的法线向量共线，所以s=n={2,-3,6}，由直线的点向式得所求直线方程为 x-12=y+2-3=z-36。 7【答案】-4 【解析】已知函数在［-1,2］上连续， f′(x)=6x2-6x=6x(x-1)， 令f′(x)=0，得驻点x1=0，x2=1，比较驻点与区间端点的函数值， f(-1)=-4, f(0)=1, f(1)=0, f(2)=5， 得函数在［-1,2］上的最小值为-4。 8【答案】-2e 【解析】令F(x,y)=ey+2xy-e，则F′x=2y，F′y=ey+2x，可得 dydx=-F′xF′y=-2yey+2x， 由题干方程可知，当x=0时，y=1，故dydxx=0=-2e。 9【答案】Cx 【解析】由题可得dydx=yx，分离变量得dyy=dxx，两边积分得∫dyy=∫dxx，整理得 lny=lnx+lnC=ln(Cx)， 即y=Cx，其中C为任意常数。 10【答案】2πln2 【解析】将曲线方程x2+y2=1代入曲线积分 ∮Lln(1+x2+y2)ds=∮Lln2ds=2πln2。 三、计算题 11【解析】由已知可得dydt=3e3t，dxdt=3t2，则由参数方程的一阶、二阶求导公式可得 dydx=dydtdxdt=3e3t3t2=e3tt2， d2ydx2=ddtdydx·1dxdt=3t2e3t-2te3tt4·13t2=3t-23t5e3t。 12【解析】由分部积分法可得 ∫exdx2=∫2xexdx=2∫xdex=2xex-2∫exdx=2xex-2ex+C。 13【解析】由洛必达法则和等价无穷小替换可得 limx→0∫x20ln(1+t)dtsin4x=limx→0∫x20ln(1+t)dtx4=limx→02xln(1+x2)4x3=limx→02x34x3=12。 14【解析】由复合函数求导法则可知， zx=f′1+yexyf′2， 2zx2=f″11+yexyf″12+y2exyf′2+yexyf″21+y2e2xyf″22 =f″11+2yexyf″12+y2e2xyf″22+y2exyf′2。 15【解析】先去绝对值再积分， ∫π20sinx-cosxdx=∫π40(cosx-sinx)dx+∫π2π4(sinx-cosx)dx =(sinx+cosx)π40+(-cosx-sinx)π2π4 =2-1-1+2=22-2。 16【解析】由1-x-2x2>0可得f(x)的定义域为-1,12，则函数可化为 f(x)=ln(1-x-2x2)=ln(1+x)+ln(1-2x)。 将ln(1+x)和ln(1-2x)分别展开成x的幂级数如下， ln(1+x)=∑∞n=1(-1)n-1nxn，-1