牛津通识课：数字

作者简介

[英] 彼得·希金斯（Peter M. Higgins） 教授，埃塞克斯大学数学科学系主任，代数学家，圆盘数独的发明者，著有《给好奇者的数学书》《网、谜题和邮差》《想象力的数学书》等受欢迎数学书籍，其中部分著作已经被翻译成包括意大利语、西班牙语、日语、韩语等多种语言。

内容简介

《数字 | 人们是如何学会数数的》 这里值得我们花上片刻来弄明白构造一个计数系统所需的两个重要阶段。让我们以十进制为例：我们会给孩子们规定两项基本任务，背诵字母表和学习数数。这两个过程表面上看是相似的，却有着本质的不同。英语基于26个字母，简而言之，每个字母对应一个发音，供我们念单词用。总的来说，英语发展的结果是这门语言可以用26个符号来书写。如果不给字母表一个顺序，我们就没法编纂字典。然而，字母表并没有天生的排序。我们所采用并且都曾在学校吟诵过的a，b，c，d…看起来实在很随意。诚然，更常用的字母一般出现在字母表的前半部分，但这也只是粗略的准则，而非铁律。比如，常用字母s 和t 就很晚才被点名。相比之下， 用以计数的数（counting number），或者叫自然数（natural number）：1，2，3…一旦出现便已经排好了序。例如，符号3 用来表示跟在符号2 后面的那个数，因此必须列在2 的下一位。在一定程度上， 我们可以给每个数赋予一个新的符号。但为了处理永无止境的数，我们迟早得放弃不断引入新名字， 而只能开始把它们按批次分组。按十个来分组代表了发展出一个坚实的数字系统的第一阶段，这个方法在古今中外几乎都是一样的。 但是各个文明在细节上却有很多不同。罗马系统除了按十分组外，同样也喜爱用五分组。他们使用特殊符号V 和L，来分别代表五和五十。古希腊 系统则直接使用了十进制。他们用某些字母来代表数，有时候加上上划线来告诉读者这个符号应被解读为一个数，而不是平常的词语中的一个字母。比如，π代表80，而γ代表3，于是他们可以写下πγ来代表83。与我们的现代数学符号相比，它看起来好像同样高效，也确实跟我们的相差不多，但它们是不一样的。希腊人仍然没能运用进位系统，因为他们每个符号的值都是固定不变的。具体说来，γπ还是只能表示同样的数——3+80。而如果我们将83里面数字的顺序颠倒，会得到一个不同的数——38。 在印度-阿拉伯系统（Hindu-Arabic system）中数的第二个阶段得以实现。其主要思想是让一个符号的值依赖于它在字符串中出现的位置。这使我们可以只使用一套固定的符号来表示任何数。我们最终选择了由0，1，2，…，9这十个数字组成的数字系统，这套常用的数字系统被称为十进制（base ten）。当然，我们完全可以用一个更大或者更小的基本符号集来建立我们的数字系统。我们甚至可以使用两个数字去建立数字系统，比如0和1。这被称为二进制（binary system），在电脑运算中经常被用到。需要明确的是，具有革命性的不是对底数的选择，而是这样一种思想：使用位置来传达额外的信息，从而确定数的值。 例如，当我们写下一个数，比如1905，每个数字的值取决于其在数字串中的位置。这里有5 份 1，9 份 100（即1010×），以及 1 份 1000（即 101010 ××）。符号零被用作一个占位符，这很重 要。在1905 这个例子中，十位并没有贡献，但我们不能忽略它而只写作195，因为那代表了一个完全不同的数。事实上，每个数字串都代表了一个不同的数，正因为如此，海量的数才可能用很短的字符串表示出来。比如，用不超过10 位的字符串便可以给地球上每个人分配一个独特的号码，这样，这个巨大集合中的每一个体都有了个人代号。 不同的古代社会在书写数时使用了不同的底数，但这远不能弥补一个事实，即几乎所有文明都缺少一套真正的进位制系统，更谈不上使用零来作为占位符。在古代世界的所有民族中，巴比伦文明的数字系统是最为接近位值进位法的系统，考虑到他们的古老程度，这实在让人赞叹。然而，他们没有彻底拥抱那个不那么自然的数——零。比如，我们用零来区分830和83，而古巴比伦人刻意回避了在数字串末尾使用这样一个表示空的符号。 意识到零确实是数，这需要跨越一个概念上的障碍。零确实并非一个正数，但它依然是一个数，如果不将它以一种完全自洽的方式吸纳进来，我们的数字系统就是残缺不全的。约公元6世纪，印度迈出了这关键的最后一步。现代的数字系统被称为印度-阿拉伯系统，正因为它是从印度经由阿拉伯传到了欧洲。 ◆带领你三小时读懂数字世界的简洁与优美。 ◆牛津通识课系列是一个可读性强且包罗万千的工具书图书馆。 ◆每本讲透一个知识点，看完就把对应话题了解得明明白白。 ◆牛津大学出版社自1995年开始出版的一套系列丛书，堪称镇社之宝。 ◆由牛津大学牵头，邀各领域专家书写的通识读物。 ◆全球销量超1000万册，多本被欧美高校选为通识课教材。 ◆由点及面的网状知识图谱，按需阅读，帮助读者足不出户了解关于世界的种种真相。 ◆牛津通识课系列是横跨四大知识板块（物理/生物/历史/文化）的大型通识读物。