微积分之高分突破/高等院校工科类经管类数学同步训练与考研辅导丛书

作者简介

刘强，理学博士，教授，博士生导师，现任首都经济贸易大学统计学院副院长。先后人选北京市中青年骨干人才，北京市优秀人才和北京市青年拔尖人才。主讲本科生课程：微积分，线性代数，概率论与数理统计，高等数学，多元统计分析，数学竞赛等：主讲研究生课程：高等数理统计，应用数理统计，数据分析与R语言等；主讲博士生课程：非参与半参数回归等。主要研究方向：经济数据分析、非参数统计和复杂数据分析。主要研究成果：在国内外学术期刊发表学术论文30余篇，出版专著、教材6部。主持完成包括国家社科基金项目在内的教学、科研课题1O余项。

内容简介

第1章函数 1．1知识要点 1．1．1函数与邻域 函数y=f(x)有两要素，即定义域和对应法则．两个函数相同的充要条件是定义域与对应法则分别相同． 点x0的δ邻域指的是以点x0为中心、长度为2δ的开区间(x0－δ,x0+δ)； 集合{x|0<|x－x0|<δ}称为点x0的δ的去心邻域(或空心邻域)． 1．1．2函数的基本特性 1. 奇偶性 函数的奇偶性是相对于对称区间而言的，因此如果函数的定义域关于原点不对称，则该函数不具有奇偶性．奇函数的图像关于坐标原点对称； 偶函数的图像关于y轴对称． 奇、 偶函数的一些常用结论： (1) 常函数(其定义域关于原点对称)为偶函数； (2) 有限个奇函数的代数和为奇函数，有限个偶函数的代数和为偶函数； (3) 奇函数与偶函数的乘积为奇函数； (4) 奇数个奇函数的乘积为奇函数，偶数个奇函数的乘积为偶函数． 2. 单调性 设函数f(x)在某个区间D上有定义，对于x1,x2∈D，且x1f(x2)，则称函数f(x)在区间D单调减少(单调递减)． 3. 周期性 设函数f(x)的定义域为D，如果存在一个正数T，使得对任意的x∈D，有(x±T)∈D，且 f(x+T)=f(x) 恒成立，则称该函数为周期函数．T称为函数f(x)的周期，满足上式的最小的正数T0称为函数的最小正周期，通常所说的函数的周期指的是函数的最小正周期． 周期函数的一些常用结论： (1) 若f(x)的周期为T，则f(ax+b)的周期为T|a|(a≠0)； (2) 若f(x)和g(x)的周期均为T，则f(x)±g(x)也是周期为T的周期函数． 4. 有界性 函数f(x)在D上有界的定义有两种： (1) 存在M>0，使得对于x∈D，恒有|f(x)|≤M． (2) 存在实数a和b，使得对x∈D，恒有a≤f(x)≤b． 1．1．3反函数与复合函数 函数y=f(x)的反函数一般记为y=f－1(x)．显然，反函数x=f－1(y)的定义域为Zf，值域为Df，且对任意的y∈Zf，有 f［f－1(y)］=y， 对任意的x∈Df，有 f－1［f(x)］=x． 单调函数一定存在反函数，且函数与反函数具有相同的单调性． 在同一坐标系下，函数y=f(x)与其反函数x=f－1(y)的图像是重合的，y=f(x)与其反函数y=f－1(x)的图像关于直线y=x对称． 复合函数可由两个或多个函数进行有限次复合而成，但并不是任意两个函数都可以进行复合，设外层函数为y=f(u)，u∈Df，内层函数为u=φ(x)，x∈Dφ，仅当外层函数的定义域与内层函数的值域有交集时才可以进行复合． 1．1．4基本初等函数与初等函数 常函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数以及反三角函数这6大类函数统称为基本初等函数． 由基本初等函数经有限次四则运算和(或)复合运算而得到的函数称为初等函数． 几个常见的结论： (1) arcsinx+arccosx=π2(|x|≤1)； (2) arctanx+arccotx=π2； (3) arctanx+arctan1x=π2(x≠0)． 《微积分之高分突破》帮助学有余力的本科生更好地学习“微积分”课程，取得高分，同时满足学生报考研究生的需要。紧扣数学三考研大纲，紧贴考试实际，按题型归类，配有详解。