简明大学物理（第3版普通高等教育十二五规划教材）

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第一章 质点力学
物理学是研究物质结构及其运动的最普遍基本规律的自然科学．本章讨论物体位置的变化，即机械运动．
1-1 质点运动的描述
一、参考系和坐标系质点
1．参考系和坐标系
自然界中一切物体都在运动，大到地球、太阳等天体，小到分子、原子和各种基本粒子都处在永恒的运动中，所以物体的运动是普遍的、绝对的．但是对运动的描述是相对的，即与参考物有关．如在匀速行驶的车上物体的落体运动，在地面上看却是抛物线运动．所以在描述研究对象的运动时，首先必须选择另一个或几个保持相对静止的物体作为参考，被选作参考的物体就称为参考系．
一般的，参考系的选择具有任意性，视具体问题的性质和方便而定．如研究地面附近物体的运动就常以地球为参考系，若研究地球绕太阳的运动选太阳恒星为参考系．
为了定量地描绘物体相对于参考系的运动，还需要建立固定在参考系中的坐标系，通常使用的是固定在参考系上的直角坐标系，也可以使用极坐标系、球面坐标系或柱面坐标系等．长度单位取国际单位制为米(m)，也可以使用厘米(cm)、千米(km)等．
2．质点
当物体的大小和形状可以忽略时，将物体抽象为具有质量的几何点，即质点．
例如在研究物体的平动时，其上各点的运动情况完全相同，可取物体上的任一点来代表，将平动的物体看作质点；研究地球绕太阳的运动，虽然地球即白转又公转，各点间的运动也不相同，但考虑到日地距离是地球直径的一万多倍，在研究地球公转时可以忽略地球的大小和形状，把地球看成一个质点．
一个物体能否看成质点，应根据具体问题而定．如研究地球白转及物体的转动、液体的流动等必须考虑研究对象的大小和形状，不能将物体看成质点，但可以将其分成质点系，所以质点运动学是整个运动学的基础，
我们将物体看成质点，对实际问题进行抽象化处理，突出事物的本质因素，忽略其次要因素，从而使所研究的问题简化，以便于从理论上去研究它，这种被抽象了的模型称为理想模型．质点是实际物体的一个理想模型，后面我们还会建立刚体、理想气体、点电荷等理想模型，建立理想模型的方法在处理实际问题中是很有意义的．
二、位置矢量位移
1．位置矢量和运动方程
在直角坐标系中描述质点的位置我们习惯于用坐标(z，y，z)表示，在物理学中还可以用一个有向线段来表示质点的位置．这个有向线段的长度为质点到原点的距离，方向规定为由坐标原点指向质点所在位置_P点，称为质点的位置矢量，简称位矢，记作r，显然，而且下式成立：
(1-1)
式中i、j、k分别为x、y、z轴上的单位矢量．
r的大小为
(1-2)
r的方向余弦为，
对应于不同时刻，质点总有一定的位置矢量r与之对应，r是t的函数，记作
这就是质点的运动方程．
由直角坐标系中，点的坐标与r的对应关系可以得到
或者
(1-3)
这就是质点运动方程的标量形式，
图1 1位置矢量
位置矢量有三条基本特性：①矢量性，r是矢量，不仅有大小，而且有方向；②瞬时性，位置失量总是与时刻相对应，不同时刻质点的位置矢量不同；③相对性，坐标系的选择不同导致位置矢量也不同，这表明质点的位置矢量r与坐标系的选择有关（如图1-1所示）．
运动质点在空间所经过的路径称为轨道．
轨道是位置矢量的矢端在空间移动的轨迹，在质点的运动方程中消去时刻t就可以得到质点的轨道方程，运动方程是轨道的参数方程．
例如质点的运动方程为
其标量形式为
消去t后得到轨道方程
这是圆心在坐标原点，半径为R，位于z=0平面内的圆．
2．位移
如图1-2所示，A、B分别为与时刻质点的位置，AB是质点运动轨迹的一部分，分别为A、B二点的位置矢量．这样，质点在内的位移定义为.是由A点（起点）指向B点（终点）的有向线段，Ar是位置矢量的增量，A，不仅表示B点相对于A点的方位，而且还表示AB间的距离．
位移是矢量，既有大小，又有方向，它与质点所经过的路程不同．路程As是指质点所经路径的长度，只有大小，没有方向，路程是标量．位移与路程是两个截然不同的概念．某人绕400m跑道跑一圈，其位移Ar为0，而路程As为400m.显然，仅当时，表示的弦与表示的弧趋于一致，二者的大小才相等，即dr =ds，而且dr的方向趋近于A点的切线方向，
在图l-2中，A、B两点的位置矢量分别为
图1-2位移
由此，质点由A运动到B的位移矢量为
(1-4)
位移的大小为
(1-5)
其方向可由方向余弦表示
(1-6)
三、速度加速度
物理学要研究物体多种运动形式，而描述这些动动形式的各种物理量一般都处在变化之中，因此就需要研究各种物理量对于时间的变化率．本节由最基本的变化率开始．
1．平均速度矢量
研究物体的运动，不仅要研究位置矢量和位移，而且要研究位置移动的快慢和方向，在图1-2中，时刻t到内，质点的位移为，所用时间间隔为，那么，我们称与的比值为质点在这段时间内的平均速度矢量，简称为平均速度，即
(1 7)
表明平均速度等于位移矢量对时间的平均变化率，
由于与所取时刻及时间间隔有关，所以与和的选取有关．平均速度并不能精确反映内质点运动的情况，它只是粗略地反映出在这一时间段内质点运动的平均快慢及总的方向．平均速度的方向与位移的方向相同，平均速度的大小等于在内每单位时间内平均位移的大小．
所谓平均速率是指质点在内所经过的路程与所用时间的比值，即
平均速率是质点在单位时间内通过的平均路程，它是标量．
2．瞬时速度矢量
平均速度不能精确说明质点的运动情况，为了精确说明质点在时刻的运动情况，应该把取得尽可能小，越小，比值就越能精确地表示时刻的运动情况，为此应用极限的概念，在时的极限就是质点在时刻的运动的精确描写，我们称之为瞬时速度矢量，简称速度．即
(1-9)
该式表明瞬时速度就是位置矢量对时间的一阶导数．瞬时速度是矢量，其方向为时位移的极限方向，参看图1-3中位移沿着割线AB的方向，当逐渐减小而趋于零时，B点趋于A点，相应的割线AB趋于A点的切线，其方向为质点前进的方向．
图1-3质点在轨道上A点处的速度的方向
在的极限情况下，质点平均速率的极限就是质点的瞬时速率，即
(1-10)
上式还表明，在时，弦AB无限接近弧，即，因此，瞬时速率就是瞬时速度的大小．瞬时速率是标量，瞬时速度是矢量，在国际单位制中速度与速率的单位均为．由于
所以
(1-11)
其中分别为v在方向上投影的大小，显然
速度的大小
(1-13)
其方向可由方向余弦表示
(1-14)
例1-1 质点在平面内的运动方程为，其中，
式中各量均为SI单位，求：(1)在到这段时间内的位移和平均速度；(2)在时的速度和速率；(3)质点的轨道方程．
解(1)由定义
(2)运动方程的矢量式为
根据速度公式有
将代人上式，可得速率为
(3)由，代人，可得轨道方程
3．瞬时加速度矢量
质点运动时，瞬时速度的大小和方向都会不断变化，加速度就是描述这种变化的快慢和方向的物理量．
仿照平均速度概念的研究方法，在图1-4中，表示质点在时所在A点的速度，表示质点在时所在B点的速度，参看速度的矢量三角形，可知速度
图l-4速度的增量
在内的增量即末时刻速度与初时刻速度之差为
(1-15)
平均加速度的定义为
平均加速度描述的是质点在时间内的运动速度变化的平均快慢及变化的总方向，这种描述是粗糙的．为了精确地描述质点在某一时刻（或某一位置A处）的速度变化情况，有必要使，引入瞬时加速度矢量的概念．当时，质点平均加速度的极限即为质点在时刻的瞬时加速度，即
(1-17)
上式表明瞬时加速度矢量是速度矢量对时间的一阶导数，也就是速度矢量对时间的变化率．上式还表明加速度是位置矢量对时间的二阶导数，它的方向是当时速度增量极限方向，由于速度变化情况的不同，的极限方向也不同，因而的方向也不同．必须注意，速度增量的方向与速度的方向一般并不相同