从一到无穷大--科学中的事实和臆测

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第二章 自然的和人造的 数 1．最纯粹的数学 数学通常被人们，尤其 是数学家们誉为科学女王。 而作为女王，它自然不可以 在其他科学分支面前降低高 贵的身份。因此，举例说明 一下，某次大卫．希尔伯特 在“理论数学与应用数学联 合大会”上受邀发表开幕演 讲，希望借此弥合两派数学 家之间的隔阂，他是这样开 头的： 我们经常听人说理论数 学和应用数学是相互对立的 。事实并不是这样。理论数 学和应用数学并非互相对立 ，它们过去从未对立过，将 来也永远不会对立，它们不 可能相互对立，因为实际上 两者之间绝无任何相似之处 。 但是，尽管数学有着超 然的地位，与其他科学保持 距离，但是其他学科，尤其 是物理，很喜欢数学，都希 望尽可能地与数学“称兄道 弟”。实际上，现在几乎所 有的理论数学分支，诸如抽 象群理论，非交换代数和非 欧几何等一向被认为是最纯 粹、最不具备实用性的数学 理论，都已成为用来解释物 理世界的工具。 迄今，数学中还存在着 一大体系，除了锻炼思维外 无法发挥任何作用，简直可 以授予“纯粹王冠”了。这就 是所谓的数论(即整数)，是 理论数学思想最古老、最复 杂的产物之一。 看起来奇怪的是，尽管 数论可被称为最纯粹的数学 ，但从某些方面来说又可看 作是基于经验甚至实验的科 学。实际上，它的大多数命 题是人们从试图用数字做不 同的事情中构思出来的，就 像物理定律来自尝试用实物 对象做不同的事。数论和物 理学一样，某些命题已经在 “数学上”得到了证明，而另 一些命题仍然停留在经验主 义的阶段，等待最优秀的数 学家去证明。 以素数问题为例。所谓 素数，就是不能被比它小的 数字(整数1除外)整除的数 。1，2，3，5，7，11，13 ，17，等等，就是这样的素 数，而12不是，因为它可以 写成2×2×3。 素数的个数到底是无限 的，还是存在最大的素数， 即大于该素数的数字可以表 示为我们已知素数的乘积呢 ？这个问题最初由欧几里得 (Euclid)提出，他用一个非 常简洁而优雅的方式证明了 素数的数量是无限的，因此 不存在所谓“最大的素数”。 为了验证这个命题，我 们不妨假设素数的数量是有 限的，并且用字母N代表已 知的最大素数。将所有已知 素数相乘，然后加1。写下 来是这样： (1×2×3×5×7×11×…… ×N)+1 它当然比所谓的“最大素 数”N大得多。但是，显然 这个数不能被已知素数(不 超过N，包括N)整除，因为 从它的构成来看，拿任何一 个素数来除它都将剩下余数 1。 因此，要么这个数字本 身是素数，要么必须被大于 N的素数整除，这两种情况 都与我们最初的假设“N是 已知最大素数”相矛盾。 证明是用的“归谬 法”(reductio ad absurdum) ，这是数学家最喜欢的工具 之一。 一旦知道素数的数量是 无限的，我们会追问，是否 有简单方法能将它们按顺序 一个不漏地列出来呢？一种 方法是古希腊哲学家和数学 家埃拉托斯特尼 (Eratosthenes)首先提出的 ，通常称为“筛选法”。你只 需要写出完整的整数序列： 1，2，3，4……然后先删除 2的所有倍数，再删除3的所 有倍数，然后是5的倍数， 依此类推。埃拉托斯特尼筛 选100以内所有素数的示意 图如图9所示。 结果总共有26个素数。 通过使用上述简单的筛选方 法，已建立了十亿以内的素 数表。 但是，如果能设计一个 公式，通过该公式我们可以 快速且自动地推算出所有素 数，并且仅仅是素数，则要 简便得多。但是，经过了几 个世纪的尝试，人们依然没 有得出这种公式。1640年 ，著名的法国数学家费马 (Fermat)认为他设计出了仅 产生素数的公式。 在他的公式中，22n+1 ，n表示自然数1、2、3、4 等等。 P21-23