无言的宇宙(隐藏在24个数学公式背后的故事)

作者简介

达纳·麦肯齐(Dana Mackenzie) 普林斯顿大学数学博士，自由科学记者，科普作家。 他早年在杜克大学等大学教了13年的数学，但从未感觉教书是自己的使命，写作反而是他的*爱。1996年，在发现可以利用互联网传播科学知识后，他决定利用自己的数学和科学知识当一名专职作家。 他经常在《科学》《发现》《***人》等杂志发表文章，他的著作有：《数学科学在发生着什么》《大撞击，或月球是怎么来的》。 2012年麦肯齐获“美国数学政策联合会年度传播奖”。

内容简介

在代数学发生革命的同时，类似的事件也发生在 几何学领域中。两千年前，欧几里得写下了寥寥几条 公理；人们认为，就是通过这区区几条公理，所有的 几何知识都可以一网成擒。人们把这些公理当作不言 而喻的事实，因而无须任何证明。 沧桑干百年，欧氏几何被人奉为演绎推理的登峰 造极之作。18世纪哲学家伊曼努尔·康德创建了知识 论，他在其中援引欧氏几何，把它作为“综合演绎” 而得到真理的一个例子。也就是说，这是通过纯理性 推演而不是通过观察所得到的有关宇宙的颠扑不破的 真理。 然而，其中的一条公理总是显得不如其他公理那 样滴水不漏。人们所说的这条公理就是“平行假定” 。欧几里得只是在《几何原本》**部的后面才用到 这条公理：“若一条线段与两条直线相交，若在其一 侧所得的两个内角之和小于180度，则这两条直线在 不断延长后必于内角和小于180度的一侧相交。”这 一假定的应用之一便是用来证明三角形的三个内角之 和等于180度。 许多数学家感觉平行假定本身并不错，但还远不 到“不言而喻”的程度，因此是本应无懈可击的欧几 里得公理体系中的白璧微瑕。他们挺身而出，迎接挑 战，要用欧几里得的其他几条公理证明平行假定。这 一数学上的“圣杯寻秘。”充满了**，无论对声名 显赫的数学名宿或是头角未露峥嵘的新进学子无不如 此。我们已经提到过的勒让德认为他成功了。不那么 **的数学家如约翰·沃利斯、约翰·普莱费尔、吉 罗拉莫·萨切利、约翰·海因里希·朗伯与沃尔夫冈 ·波尔约等也都曾在不同历史时期做过同样的宣告。 但无一例外，这些人的证明中都有隐含的假定，在其 他数学家精心探索的智慧之光照射下，这些假定都不 比欧几里得的假定*能令人信服。 19世纪上半叶，三位数学家分别独立地大胆设想 了前人从未设想过的情况：或许在平行假定实际上不 成立的条件下也会存在有效的几何学。这将创建一种 非欧几何，这种几何将公然违反欧几里得在两千余年 前设定的公理中的一个。 这一想法与汉密尔顿有关不遵守交换律的代数的 想法同样离经叛道。然而，要否定平行假定或许需要 *大的勇气，因为欧几里得、康德……以及两千多年 来积淀的悠远传统都是这条公理的坚强后盾。这三位 革命者中的**个是卡尔·弗里德里希·高斯，他那 个时代*负盛名的数学家。高斯和沃尔夫冈·波尔约 从学生时代就是朋友，前者在19世纪初开始试图证明 平行假定。 但大约在1820年，他似乎逐渐确认，或许可以另 外建立一种非欧几何。然而他从来没有发表过他的想 法，而只是在通信中模糊地对人有过暗示。有关他这 样做的原因的*好证据可以在他1829年写给他的朋友 弗里德里希·威廉·贝塞尔的一封信中找到。他在信 中说，如果他发表了这一证明，他担心那些“皮奥夏 人(对蠢笨之人的蔑称)”随之发出的“大呼小叫”。 非欧几何的第二位发现者是***·波尔约，高 斯学生时代密友的儿子。沃尔夫冈在匈牙利当了数学 教师，他试图警告他的儿子，让他不要去证明平行假 设。“看在上帝的分上，我恳求你还是放弃吧。你要 像恐惧情欲之火一样恐惧它，因为它也可能会占用你 所有的时间、摧毁你的健康、让你心中无法安宁，并 破坏你生命中的幸福。”但他的儿子没有理会他的劝 告，*终写下了一篇24页的论文——是有关他称之为 “宇宙中的**科学”的。作为沃尔夫冈1832年出版 的一部教科书的附录，他的父亲大度地发表了这篇论 文。 那本书老波尔约自然而然地给他的老朋友高斯寄 去了一本，而后者的反应**出人意料：“赞扬这一 工作就相当于赞扬我本人。这…工作的整个内容、令 郎所使用的方法以及他*后得到的结果，所有这些几 乎**与我自己的考虑不谋而合……我计划*终将之 付诸文字，这样它至少不会与我的离世一同湮灭。我 异常惊异地得知，我已免除了这一苦役，而且异常欣 慰于这一工作是由我老友之子完成的——他以如此非 凡的方式胜过了我本人。” 尽管*后得到了这样的恭维，但这对小波尔约来 说却仍旧是一记毁灭性的打击：高斯说，他发明的非 欧几何其实毫无新意。终其一生，***再也没有发 表过任何一篇数学论文。高斯不单缺乏发表自己的发 现的勇气，他现在又在已有的错误上横添一笔：他打 击了一个满怀抱负的年轻数学家的自信心，或许，这 位年轻人原本能为自己赢得显赫的名声。 因为高斯言不尽意，波尔约又轻言放弃，这让非 欧几何为世人瞩目的大部分功绩非第三位发现者莫属 。他就是尼古拉·伊万诺维奇·罗巴切夫斯基28，他 是位俄罗斯数学家，住在古代鞑靼人的首都喀山。他 *先在一份默默无闻的俄国杂志上发表了他的非欧几 何版本；但和波尔约不同的是，他还继续撰写有关非 欧几何的论文和书籍，*后于1837年成功地在《克雷 尔杂志》上发表了一篇论文。尽管如此，他还是没有 能在他的有生之年得到他应该从人们那里得到的赞扬 。但**，罗巴切夫斯基被人认为是俄罗斯**流的 伟大数学家之一，而且在俄罗斯，他发明的几何就叫 作罗巴切夫斯基几何；西方数学家则*为贴切地称之 为双曲线几何。 确切地说，什么是双曲线几何或罗巴切夫斯基几 何？我认为，考虑它的*佳方法是先忘记有关平行假 设与欧几里得的一切。你尤其必须忘记的，是你从小 到大就养成了的偏见，即欧氏几何是物质世界“自然 而然”产生的几何。双曲线几何在人工雕凿方面并不 比欧氏几何多。要把它想象为海洋的几何。如果鲸鱼 曾发明过几何，它们发明的那种几何就应该是双曲线 几何。 让我们现在暂时假定你就是一头鲸鱼。在深邃的 大洋里光线不是很有用，因为水中很暗。所以你主要 靠声音来感*外界、与外界交流。在你的世界中，两 点之间的*短距离将是声波走过的路径。对于你来说 ，这就相当于一条直线。P122-125