数值分析(普通高等教育十一五规划教材)/信息与计算科学专业教材系列

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第1章 误差
　　1.1 数值方法
　　自然科学、工程技术、经济和医学等领域中遇到的许多问题都可以应用有关学科知识和数学理论用数学语言描述为数学问题，或者说建立其数学模型。然而，这些数学问题往往得不到它的准确解，或者解这种问题的计算工作量很大，只能借助计算机求其近似解（称为数值解或计算解）。例如，人造卫星接收站的天线结构问题可化为成千上万阶线性方程组，不借助计算机则无法求其解。应用计算机解数学问题（数学模型）的步骤首先是提出能在计算机上实现的数值方法，然后用计算机语言编写程序，最后上机计算求其结果。
　　数值方法是对给定问题的输入数据和所需结果（输州）之间的一种明确的数学描述例如，我们用Newton法（将在8.4节中讨论）计算2输入2的一个初始近似值X0（X0>0），如取X0=2，由选代公式产生一个序列X0，X1， ，Xn 。可以证明limxn=2。因此，当n充分大，如n=m时，终止计算。这样，我们取Xm作为2的近似值，即2=Xm，Xm就是我们所需的计算结果。
　　为使一个数值方法在计算机上得到实现，还需给州数值方法的算法，它是用算术运算（加、减、乘、除）和逻辑运算完整地描述数值方法，按一定顺序执行这些运算，经有限步把输入数据转换成输出结果数据或信息。例如，我们用伪程序（pseudocode）给出计算2的Newton法的一种算法：
　　输入 初始近似值x0；最大迭代次数m。
　　输出 2的近似值p或迭代失败信息.
　　Step 1 p0←x0。
　　Step 2 对n=l， ，m做step3～4
　　Step 3 P←（P0+2/P0）/2。
　　Step 4若|p-p0|＜10-8，则输出（p），停机，否则po←p。
　　Step 5输出（Method failed）；
　　停机。
　　算法中“←”表示赋值。若输出“Method failed（方法失败）”，则表明迭代m次得到的xm，xm-1仍不满足xm-xm-1＜10-8。
　　读者很容易把伪程序捕述的算法译成FORTRAN、Pascal、C话言或其他程序语言，然后上机计算。
　　建立一个数值方法（算法）的基本原则应该是①便于在计算机上实现；②计算工作量尽量小，③存储量尽量小；④问题准确解与计算解的误差小。
　　数值分析又称计算方法或数值计算方法。它是研究运用计算机解数学问题的数值方法及其相关理论它足一门有丰富内容和自身理论体系的课程，既有纯数学的系统性和严密性特点又与纯数学不同（正如建立数值方法的基本原则所指出的）。
　　1.2 误差
　　使用计算机求数学问题的数值解，巾子下面一些原因会产生误差。
　　（1）数据误差。用计算机进行数值计算时，输入数据（初始数据）往往足近似的，例如，π=3.14159265 ，在计算机上只能取有限位小数，如取π≈3.14159。这就产生了误差。初始数据的这种误差称为数据误差。有的输入数据是由实验或观测得到的。由于观测手段的限制、测量仪器精密程度的影响，得到的初始数据也会有一定的误差。这种误差又称为观测误差。
　　（2）截断误差求一级数的和或无穷序列的极限时，我们取有限项作为它们的近似值，它与级数和或极限之间的误差称为截断误差。例如，用ex的幕级数展开式计算ex时，取级数的前n+1项的部分和Sn作为ex的近似：于是用Sn作为ex的近似时就有截断误差：ex-sn它是由于截去ex的幂级数展开的余项而产生的。又如前述的用Newton法计算2，我们取xm，其截断误差是Xm。
　　（3）离散误差。在数值计算中，我们常常用近似公式来求数学问题的近似解例如，求曲边梯形abBA（图1.2.1）的面积：S=f（x）dx。若用梯形abBA的面积T=b-a/2（f（a）+f（b））作为S的近似值，则产生误差S-T。这种误差称为离散误差。它是由于把连续型问题离散化而产生的。
　　图1.2.1
　　截断误差和离散误差统称为方法误差。它是用数值方法求数学问题的近似解时由于使用近似公式导致数学问题的精确解与近似解之间产生的误差。
　　（4）数值计算过程中的误差。计算器或计算机只有有限位计算能力，用数值方法解数学问题一般不能求得问题的准确解。在进行数值计算过程中，初始数据或计算得中间结果数据要用“四舍五入”或其他规则取近似值。由此产生的误差称为舍入误差。
　　在一个数值方法中，通常至少有上述一种误差出现。在许多数值方法中，会有上述多种误差出现。
　　在1.1节中我们提到，用数值方法求数学问题的数值解时要求问题的数值解与精确解的误差越小越好，即要求数值解的精确度越高越好。因此，我们首先要给出误差大小的度量。有两种衡量误差大小的方法：一是绝对误差，二是相对误差。
　　假设某一量的准确值（真值）为x，x是x的一个近似值。我们称x与x的差ex=x-x为x的绝对误差（简称误差）。于是，我们有x=x+ex。通常，我们不能算出准确值x，因此也不能算出绝对误差阳的准确值，只能估计误差的大小范围。若误差的绝对值不超过某一个正数， 我们则称为近似值t的一个绝对误差界。例如，π=3.14159265 取π=3.14，则π＜0.002。
　　绝对误差还不足以刻画近似数的精确程度。例如，x=100（厘米），x=99，则ex=1；而y=10000（厘米），y=9950，则ey=50。从表面上看，后者的绝对误差足前者的50倍。但是，前者每厘米长度产生了0.01厘米的误差，而后者每厘米长度只产生0.005厘米的误差因此，要决定一个世的近似值的精确程度，除了要看误差的大小外，往往还要考虑该量本身的大小。我们定义为x的相对误差。因为一个量的准确值往往是不知道的，因此常常将x的相对误差rx定义为rx=x-x/x。
　　一般说来，我们不能准确地计算出相对误差。然而，像绝对误差那样，可以估计它的大小范围，即指定一个正数，使得我们称为的一个相对误差界。
　　在数值分析中有关误差的讨论运会遇到有效数字的概念。
　　设实数a的近似数取为an，其中ai（i=0，1， ，n）都是0，1， 9中的一个数字，且m≠0时，a0≠0。若a的绝对误差满足（1.2.1）即不超过a的最末一位的半个单位，则a的第一位（自左至右）非零数字（设为as）到a的最末一位数字句中的n+1-s位数字的每一个数字都称为a的有效数字，并说近似数a是具有n+1-s位有效数字的有效数。
　　例1.2.1设π的近似数取为π=3.1416，因此π=3.1416有5位有效数字，其中3，1，4，1，6都是有效数字。若取π=3.142，