魔研考研数学之线性代数/魔研考研系列丛书

作者简介

小侯七 新东方上海学校考研数学组组长，新东方武汉学校考研数学特聘顾问，魔研考研数学教研室负责人，新东方考研梦想宣讲团首席讲师，新东方最有价值教师奖（MVT）中唯一的考研数学讲师.

内容简介

第1章行列式 考研大纲要求与重点导学 1. 本章大纲及考试要求 序号考试内容与要求适 用 科 目 1了解行列式的概念，掌握行列式的性质 数学一、二、三 2 会应用行列式的性质和行列式按行(列)展开定理计算行列式 数学一、二、三 2. 本章概要与重点导学 在复习考研线性代数这门学科时，行列式是最先接触到的一个概念．对于n阶矩阵，n这个量就包含着巨大的信息，它可以帮助我们判断矩阵是否可逆、矩阵的行(列)向量是否线性无关．准确理解行列式的概念和性质是第1章复习的重中之重． 在考研中，行列式的考查形式千变万化，但是归根结底需要掌握的是行列式的具体算法，即： (1)利用行列式各种性质计算数值型行列式； (2)与矩阵性质相结合，计算抽象型行列式； (3)掌握行列式展开定理，解决余子式相关问题． 必会基本内容 一、 n阶行列式基本定义 1. 排列和逆序 排列： 把n个不同的元素排成一列，叫做这n个元素的(全)排列． 逆序数： 对于一个排列p1p2p3…pn，考虑元素pi，如果pi前面的元素中比pi大的有ti个，则pi这个元素的逆序数是ti,全体元素的逆序数和 t=t1+t2+…+tn即是这个排列的逆序数． 奇排列和偶排列： 如果一个排列的逆序数为奇数，则称这个排列为奇排列，否则为偶排列． 【例1.1】求排列1423的逆序数． 解析 元素1前面没有元素，逆序数为0． 元素4前面没有比它大的元素，逆序数为0． 元素2前面有一个4比它大，逆序数为1． 元素3前面有一个4比它大，逆序数为1． 所以，1423的逆序数为0+0+1+1=2． 2. n阶行列式的定义式 n阶行列式定义为 D=a11a12…a1n a21a22…a2n  an1an2…ann=∑p1p2…pn(－1)ta1p1a2p2…anpn． 这里a1p1,a2p2,…,anpn 是选取的不同行不同列的n个元素，共n2组，t是p1p2…pn 这个排列的逆序数． 从而可以推出二阶和三阶行列式的公式为 a11a12 a21a22=(-1)0a11a22+(-1)1a12a21=a11a22-a12a21, a11a12a13 a21a22a23 a31a32a33 =(-1)0a11a22a33+ (-1)2a12a23a31+ (-1)2a13a21a32+ (-1)1a11a23a32+ (-1)1a12a21a33+ (-1)3a13a22a31 =a11a22a33+a12a23a31+a13a21a32- a11a23a32-a12a21a33- a13a22a31． 魔研君点睛 用n阶行列式的定义式可以写出任意阶行列式的值，但是超过三阶之后，公式就会变得极为复杂.因此，高阶行列式化简就显得极为关键，此时要用到行列式的完全展开式． 二、 行列式的完全展开式 在n阶行列式中，将aij所在的行和列划去，剩下的n-1阶行列式，称为aij的余子式，记作Mij； 记Aij=(－1)i+jMij,Aij叫做aij的代数余子式． 例如，对于行列式123 456 789 ，元素2的余子式M12=46 78=36－42=－6 ,而它的代数余子式A12=(－1)1+246 79=6． 行列式的完全展开式 定理1.1行列式的值等于行列式任意一行(列)的元素与它对应的代数余子式的乘积之和，即 Dn=ai1Ai1+ai2Ai2+…+ainAin，i=1,2,…,n， 或 Dn=a1jA1j+a2jA2j+…+anjAnj，j=1,2,…,n． 定理1.2行列式某一行(列)的元素与另一行(列)的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即 ai1Aj1+ai2Aj2+…+ainAjn=0,i≠j， 或 a1iA1j+a2iA2j+…+aniAnj=0,i≠j． 新东方考研名师团队匠心打造，考研数学魔研君一路陪伴