数学杂谈（典藏版院士数学讲座专辑）/中国科普名家名作

作者简介

张景中，1936年12月生，男，中国科学院院士，研究员，博士生指导教师。在计算机科学、数学和教育学等三方面的研究和实践工作中做出了国际认的创新成果，为我国科技、教育事业的发展做出了重大贡献。 张景中院士在数学研究工作中取得了国内外同行公认的成就，特别是在动力系统的周期轨、迭代根、同胚嵌入流、Smale马蹄构造、Feigenbaum方程求解等该领域前沿问题的研究中，提出了新的思想方法，在距离几何的研究中，提出了"度量方程"，解决了伪欧空间等距嵌入、Sale猜想等一些属于该领域长期未解决的难题，他和杨路同志合作完成的这些工作和发表和论文，实际上已经开辟了一个很活跃的研究领域，仅距离几何文章的引用，至今每年约在数十次。美国代数几何领域专家D.Pedoe在一个专栏评论中说：杨路、张景中，堪称中国几何领域的alpha和omega。 张景中院士在数学研究中的贡献，不限于以上所叙述的内容，他在众多徊然不同的领域中，提出了独到的见解和解决问题的方法，例如求方程数值解"劈因子法"、证明几何不等式的一种有限化分割方法。

内容简介

现在来玩一种新鲜的石子游戏。 石子只有一堆，限定石子的颗数是奇数。 拿法也很简单：甲乙两人轮流拿，每人每次只许拿l颗或2颗，不许多拿 ，也不许不拿。 这么简单的游戏，有什么奥妙呢？ 奥妙就在胜负的规则上。这规则是：当石子拿完之后，谁拿到手的石子 总数是奇数，谁就是胜利者。 这样，当你考虑该拿多少石子时，不但要看剩下多少石子，还要看手里 有多少石子。比方说，只剩下2颗石子时，恰好该你拿，你怎么做才能摘取 这近在眼前的胜利之果呢？数一数手里的石子吧。手里是奇数，你就拿2颗 ；手里是偶数，当然拿1颗啦！ 怎么找到取胜的诀窍呢？ 我们已经有经验了：从最简单的情形入手研究，是掌握石子游戏规律的 好办法，也是解数学题的一条基本法则。 只剩下1颗石子，先拿者胜。这说法对吗？粗想似乎不错。可是别忘了 ，胜负和手中的石子数还有关系呢！如果你手中有偶数颗石子(没有石子也 算偶数颗石子)，轮到你拿时，只有l颗石子，你当然胜了。如果不巧，你手 中已有奇数颗石子，再拿1颗就成了偶数：而石子总数却是奇数，你拿到偶 数，对方当然拿到奇数而获胜。 因此，不能把“只剩1颗石子”的局势简单地定性为“先拿者胜”，而 应当具体地说成是“偶胜奇败”——先拿者手中有偶数颗石子则胜，有奇数 颗则败。 如果是2颗石子，先拿者便能控制全局，稳操胜券。道理刚才已说过了 ：先拿者手中有偶拿1颗，手中有奇拿2颗。 这样，“只剩2颗石子”的情形，可以定性为“奇偶皆胜”。 进一步考虑剩3颗石子的局势。如果轮到你拿，你千万不要只拿1颗；只 拿1颗，对方便面临“奇偶皆胜”的幸运场面了。如果你拿2颗呢？对方面临 的是“偶胜奇败”的境地。在剩3颗石子能情形下，两人手中石子数之和为 偶数，你手中石子数的奇偶性和刘方相同，所以对于你，便是“奇胜偶败” 了。因此，只有3颗石子的局势，叫做“奇胜偶败”。 4颗石子的局面，你当然不能拿2颗，以免对方占据“奇偶瞽胜”的制高 点。拿1颗，对方是“奇胜偶败”。对于你，是不是又可以说是“偶胜奇败 ”呢？这回不行了。因为你已经拿了一颗石子改变了自己手中石子数的奇偶 性，所以对于你也是“奇胜偶败”。 剩下5颗石子时，你手里石子数的奇偶性和对方是一致的。如果你是偶 数，对方也是偶数。不管你拿1颗或2颗，对方总会陷入“奇胜偶败”的绝境 。反之，如果你手中的是奇数，对方也是奇数不管你拿1颗或2颗，都要无可 奈何地把“奇胜偶败”的有利局面拱手让人。 因此剩5颗石子的定性结论是“偶胜奇败”，和剩l颗石子的局面相同。 剩6颗石子的局势会不会又和剩2颗石子的局面一致呢？ 果然不错。剩6颗时，两人奇偶相反。你手中是偶数时，取l颗，对方陷 入“偶胜奇败”的境地；你拿到奇数时，取2颗，对方陷入“奇胜偶败”的 境地！所以剩6颗和剩2颗一样，是“奇偶皆胜”！ 是不是要继续分析还剩7颗、8颗、9颗石子的各种局面呢？看来不必了 。剩5颗等于剩l颗，剩6颗等于剩2颗，剩7颗岂不是等于剩3颗了吗？如此循 环，规律不就找到了吗？ 是不是真的循环呢？ 为了讨论起来简便，我们用字母代替语言。字母B代表“奇偶皆胜”(B 是both的第一个字母)，0代表“奇胜偶败” (O，即odd，奇数)，E代表“ 偶胜奇败”(E，即even，偶数)。 我们已经弄清了，剩下石子为1、2、3、4、5、6颗时，顺次出现的局势 是EBOOEB，所以猜想：接下去会继续循环，成为一组很有规律的排列，即 EBOOEBOOEBOO…… 怎样从开始的EBOOEB推断出后面的一串呢？只要证明下列几条规律就够 了。 1)若EB前面的字母个数为偶数，EB之后必为O，则BO前面有奇数个字母 。 2)若BO前面的字母个数为奇数，BO之后必为O，则00前面有偶数个字母 。 3)若00前面的字母个数为偶数，00之后必为E，则0E前面有奇数个字母 。 4)若0E前面的字母个数为奇数，OE之后必为B，则EB前面的字母个数为 偶数。 一条接一条地应用这4条规律，周而复始，就能证实我们的猜想。 这4条规律证起来并不难。同学们不妨试着分析一下，这是很好的逻辑 思维训练呢！ 这样一列符号，后面的每项由前面相邻的几项所确定，在数学里叫做递 归序列。这里每项仅仅由前两项确定，叫二阶递归序列。由有限个符号组成 的递归序列，最后一定会出现循环。 牢牢记住EB00这4个字母的顺序，只要你手中石子数的奇偶性符合面临 局势的代表字母，你便能稳操胜券了。 什么叫符合？比方说，现在轮到你拿石子了。剩下的石子数目是9，把9 用4除余1，4个字母中第一个是E，你面临的局势便为E，E代表偶数。如果你 手中石子数恰是偶数，你便能胜利。 类似地，剩下的石子数目被4除余2时，你面临的局势为B，奇偶皆胜！ 被4除余3或除尽时，你手中的石子数为奇数时才有取胜把握。P60-63