莱布尼兹微积分

作者简介

（德）莱布尼兹【著】【德国】【现当代】————————————————————莱布尼兹（G. W. Leibniz，1646－1716），德国著名数学家、哲学家。莱布尼兹与牛顿各自独立创立了微积分，他还发明并完善了二进制。 李保滨【汉译】【中国】【现当代】————————————————————李保滨， 中国科学院大学 副教授，主要从事数据挖掘和情感计算方向的研究。

内容简介

弄清楚那些值得纪念的发现的真正起源是一件非常有用的事情，特别是那些并非偶然，而是通过深思找到的发现。这并不是为了让历史可以将发现的成果归功于对应的人，并鼓励和激励其他人努力获得类似的赞誉，而是为了通过考虑值得注意的例子来推广发现的方法。 微积分——一种新的数学分析，作为这个时代数学分析领域最著名的发现之一，尽管目前其本质要点已经阐述清楚，但这一发现的起源和方法还不为世人所知。其作者在大约四十年前发明了它，九年后（大约三十年前）又以简明扼要的形式出版了相关内容；从那时起，它不仅因经常受到高度赞扬而被人们所了解，而且也成为一种普遍使用的方法；并且，许多辉煌的发现都得益于它的帮助，例如已经被收录在由莱比锡出版的《教师学报》中的成果，以及发表在皇家科学院的论文中的成果；因此，可以说，微积分的发现已经给数学带来了一个新的面貌。 真正的发明家的名字从未存在任何不确定性，直到最近，在1712年，某些新人，或者是对过去时代文献一无所知，或者是出于嫉妒，或者是略微希望通过争论获得名声，又或者是出于谄媚的奉承，给他（莱布尼兹）树立了一个竞争对手；并且由于他们对这个对手的赞美，该作者在这个问题上受到了不小的贬低，因为人们认为前者所知道的东西远多于能在正讨论主题中发现的东西。此外，在这一点上，他们的行动相当精明，因为他们把争论推迟到那些了解情况的人，如惠更斯、沃利斯、奇恩豪斯等去世后才开始，而这些人本来是可以反驳他们的说辞的。 事实上，这也是为什么要把同时代的规定作为法律问题引入的一个很好的理由；因为在责任方没有任何过错或欺骗的情况下，抨击就可以推迟到他可以用来保护自己免受对手伤害的证据不复存在的时候。此外，他们还改变了整个问题的要点，因为他们在《来往信札》中提出了自己的观点，以表示对莱布尼兹的怀疑，他们对微积分只字不提；取而代之的是，其他所有页面都是由他们所谓的无穷级数组成的。此类东西最初是由墨卡托通过除法得到的，牛顿则通过求根法获得了更一般的形式。这当然是一个有用的发现，因为通过它，算术逼近被简化为了分析计算；但它与微分计算完全没有关系。此外，即使在这一点上，他们也利用了错误的推理；因为每当这个对手通过把一个图形逐渐增加的各部分相加求出面积③时，他们立即称赞这是微积分的使用(例如在《来往信札》的第15页)。按照这样的说法，开普勒、卡瓦列里、费马、惠更斯和沃利斯也都使用了微积分；事实上，在那些研究“不可分割”或“无限小”的人当中，谁没有使用过它呢?但事实上，就人们所知道和使用的流数法而言，作为对它有一些了解的惠更斯公平地承认，这种计算给几何学带来了新的曙光，并且科学领域之外的认知也会因其使用而取得惊人的进步。 在莱布尼兹之前，没有任何人想到要建立新计算所特有的符号，以使人的想象和创造能力摆脱对图表的长久依赖，就像韦达和笛卡儿在普通几何学或阿波罗尼奥斯几何学中所做的那样；此外，与阿基米德几何学以及被笛卡儿称为“机械”的线条有关的更高级的部分，被后者排除在他的计算之外。但现在，借助莱布尼兹的微积分，整个几何学都可以进行解析计算，那些被笛卡儿称为机械的超越线也可以通过将差分dx，ddx等以及这些差分的倒数的和视为x的函数，而简化为适用的方程式；这一点，仅仅是引入微积分就可实现的，而在此之前，除x，xx，x3等(即幂和根)外，没有其他函数可以实现这样的计算。因此，很容易看出，那些以0表示这些差分的人，例如费马和笛卡儿，甚至是那个竞争对手在一六几几年出版的《自然哲学之数学原理》中，与微分学相距甚远。因为以这种方式，不可能确定出差分的等级或多个变量的微分函数。 在莱布尼兹之前，没有出处显示过有使用过这些方法的丝毫痕迹。与他的反对者在把这种发现归功于牛顿时所表现出的公正性完全一样，任何人都可以同样地把笛卡儿的几何学归功给阿波罗尼奥斯，他虽然拥有微积分的基本思想，但却不拥有微积分。 也因为这个原因，在微积分辅助下产生的新发现也被牛顿方法的追随者所掩盖，而且在他们学会莱布尼兹的微积分之前，这些发现既无法产生任何实际价值，也无法避免错误，正如由大卫·格雷戈里所作的关于悬链线的研究发现一样。但是这些有争议的人竟敢滥用英国皇家学会的名称，英国皇家学会则竭尽全力使人们知道，他们并没有做出真正明确的决定；学会没有听取任何一方的意见，以此彰显他们公平公正的名声，事实上我的朋友自己也不知道英国皇家学会对此事进行了调查。不然的话，学会就会把那些委托报告的人的名字告诉他，以便准备提供反驳和证明的相关资料。他的确不是被他们的论点所震惊的，而是被他们对他的善意攻击所充斥的谎言所震惊的，他认为这种事情不值得回答，因为他知道在那些不熟悉这个问题的人(即绝大多数读者)面前辩护是没有用的；他觉得，那些对所讨论的问题很熟悉的人将很容易地察觉到指控的不公正性。除此之外，还有一个原因，那就是当这些报告被他的对手传阅时，他不在家，时隔两年后回到家中，又忙于其他事务，这时再去寻找和查阅他以前的信件已经太晚了，这些信件可能会使他想起四十年前那么久以前发生的事情。因为他曾经写过的非常多的信件的抄本并没有保存下来；除了沃利斯在英国找到并经他同意发表在他的著作第三卷中的那些信件外，莱布尼兹自己也没有多少。 然而，他并不缺少朋友来维护他的名誉；事实上，某位数学家，他是我们时代最优秀的人物之一，精通这个研究领域，而且完全不偏不倚，攻击莱布尼兹的一方曾试图获得他的支持，却徒劳无功，这位数学家直接给出了他自己发现的理由，尽管不完全公正，但他认为莱布尼兹的对手不仅没有发明微积分，而且对微积分的理解程度也不高。发明者的另一位朋友也把这些和其他内容写成一本小册子发表了，以便查看他们的基本论点。然而，更重要的是让人们知道发现者得出这种新计算的方式和推理；因为到目前为止，即使是那些想要分享这一发现的人，也确实不知道这一点。事实上，他本人已经决定解释它，通过分析他自己记忆里的内容、现存的著作以及留存的旧手稿，讲述他的研究过程，并以这种方式在一本小书中正式讲述这种高等学问的历史和发现它的方法。但当时由于其他事务的需要，他不可能这样做，所以莱布尼兹允许一位对此事了如指掌的朋友在此期间发表这份简短的声明，以便在某种程度上满足公众的好奇心。 莱布尼兹给他的祖国赢得的荣耀，是柏拉图、亚里士多德和阿基米德给希腊带来的荣耀的总和。 ——狄德罗 在一切理论成就中，未必再有什么像17世纪下半叶微积分的发明那样被看作人类精神的最高胜利了。 ——恩格斯 微积分是现代数学取得的最高成就，对它的重要性怎样估计也是不会过分的。 ——冯·诺伊曼