2023国家教师资格考试专用教材·数学学科知识与教学能力历年真题及标准预测试卷（初级中学）

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教师资格考试数学学科知识与教学能力（初级中学） 标准预测试卷（一） 注意事项： 1.考试时间为120分钟，满分为150分。 2.请按规定在答题卡上填涂、作答。在试卷上作答无效，不予评分。 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）1.limx→∞x+cosxx+a的值为（）。 A. 0B. 1 C. ∞D.不存在 2.在空间直角坐标系中，x2+2y2+3z2-4=0所表示的图形是（）。 A.抛物面B.双曲面 C.椭球面D.球面 3.已知函数f(x)=x2-1x-1，则x=1是函数f(x)的（）。 A.可去间断点B.跳跃间断点 C.第二类间断点D.连续点 4.若行列式0010a020a=-1，则a=（）。 A.12B.-1C.-12D.1 5.级数∞n=1sinnxn2的敛散性是（）。 A.条件收敛B.绝对收敛 C.发散D.无法判别 6.若投掷飞镖，每一次投中的可能性为60%，则投掷3次，有2次投中的概率为（）。 A. 0.6B. 0 C. 0.36D. 0.432 7.数学发展史上曾经历过三次数学危机，触发第二次数学危机的事件是（）。 A.贝克莱悖论B.希帕索斯悖论 C.无理数的发现D.罗素悖论 8.三角形外接圆的画法依据是（）。 A.三角形内角的平分线到角的两边距离相等 B.线段的垂直平分线上任意一点到线段两端的距离相等 C.三角形内角的平分线上任意一点到角的两边距离相等 D.线段的垂直平分线到线段两端的距离相等 二、简答题（本大题共5小题，每小题7分，共35分）9.若矩阵A=120223345，求它的逆矩阵A-1。 10.求过直线l1：x+11=y-32=z+2-1且平行于直线l2：x-12=y+21=z+3-2的平面方程。 11.一盒晶体管中有8只合格品，2只不合格品，从中不放回地一只一只取出，求第二次取出的是合格品的概率。 12.写出判定三角形全等的三个基本事实。 13.简述几何直观的基本内涵，并结合例子谈谈如何培养学生的几何直观。 三、解答题（本大题共1小题，共10分）14.已知α1=(1,4,0,2)T，α2=(2,7,1,3)T，α3=(0,1,-1,a)T，β=(3,10,b,4)T。 （1）当a，b取何值时，β不能由α1,α2,α3线性表示；（4分） （2）当a，b取何值时，β可由α1,α2,α3线性表示，并写出此线性表示。（6分） 四、论述题（本大题共1小题，共15分）15.合情推理包括归纳推理和类比推理，请举例说明归纳推理和类比推理在数学教学中的运用，并论述二者之间的关系。 五、案例分析题（本大题共1小题，共20分）阅读案例，并回答问题。16.案例：探究“代入消元法解二元一次方程组”的教学片段。 教师在引导学生复习了二元一次方程组的相关知识后，出示以下例题。 例题：某酒店的客房有两人间和一人间两种，一人间每人每天25元，两人间每人每天15元，一个50人的旅游团到该酒店住宿，租了若干间客房，且每间客房恰好住满，一天共花去950元，求两种客房各租了多少间？ 学生以前后桌为一组讨论，5分钟后老师请学生回答。 针对学生的解答，教师给出了如下板书： 解法1：设两人间的客房有x间，一人间的客房有y间，则2x+y=50，15×2x+25y=950。 解法2：设两人间的客房有x间，则一人间的客房有50-2x间，15×2x+25（50-2x）=950。 教师和学生一起总结，说明两种解法的内在联系，并总结代入消元法的基本步骤及数学思想。 问题： （1）说说该教师教学的优、缺点。（10分） （2）代入消元法解二元一次方程组体现的数学思想是什么？（10分） 六、教学设计题（本大题共1小题，共30分）17.针对“完全平方公式”的内容，请你完成下列任务： （1）叙述完全平方公式的内容；（6分） （2）设计一个问题情境引入该命题，并说明设计意图；（12分） （3）请结合图示给出完全平方公式的几何背景。（12分） 教师资格考试数学学科知识与教学能力（初级中学） 标准预测试卷（一）参考答案及解析一、单项选择题 1.【答案】B。解析：limx→∞x+cosxx+a=limx→∞1+cosxx1+ax=1。故本题选B。 2.【答案】C。解析：x2+2y2+3z2-4=0可化为x24+y22+z243=1，这是一个椭球面。故本题选C。 3.【答案】A。解析：因为函数f(x)=x2-1x-1在x=1处无定义，且limx→1f(x)=limx→1x2-1x-1=limx→12x=2，所以x=1是f(x)的可去间断点。故本题选A。 4.【答案】A。解析：0010a020a=2×(-1)1+3×01a0=2×(0-a)=-2a=-1，解得a=12。故本题选A。 5.【答案】B。解析：因为sinnxn2<1n2，而级数∞n=11n2收敛，所以级数∞n=1sinnxn2收敛，于是级数∞n=1sinnxn2绝对收敛。故本题选B。 6.【答案】D。解析：根据题意，每一次投中的概率为0.6，投不中的概率为1-0.6=0.4，所以投掷3次有2次投中的概率为C23(0.6)2×0.4=0.432。故本题选D。 7.【答案】A。解析：贝克莱悖论揭示出微积分理论存在着逻辑矛盾，而牛顿、莱布尼茨都无法澄清微积分理论中的混乱，这导致了数学史上的第二次危机。数学史上的三次危机事件依次是希帕索斯悖论（无理数的发现）、贝克莱悖论（无穷小究竟是不是零？）、罗素悖论。故本题选A。 8.【答案】B。解析：三角形外接圆是与三角形各顶点都相交的圆，三角形的外接圆圆心是任意两边的垂直平分线的交点，所以三角形外接圆的画法依据是线段的垂直平分线上任意一点到线段两端的距离相等。C项中，三角形内角的平分线上任意一点到角的两边距离相等是三角形内切圆的画法依据。A，D两项的说法本身就有误。故本题选B。 二、简答题 9.【参考答案】 (A,E)=120100223010345001→1201000-23-2100-25-301→1201000-23-210002-1-11→1201000-20-1252-32002-1-11→1001252-3201014-5434001-12-1212=(E,A-1)。 故A-1=1252-3214-5434-12-1212。 10.【参考答案】 直线l1过点(-1,3,-2)，且一个方向向量为m1=(1,2,-1)；直线l2的一个方向向量为m2=(2,1,-2)。设所求平面的一个法向量为n=(x,y,z)，则m1n=0,m2n=0,即x+2y-z=0,2x+y-2z=0,令x=1，得y=0，z=1，所以n=(1,0,1)，又点(-1,3,-2)在所求平面上，所以所求平面方程为(x+1)+(z+2)=0，即x+z+3=0。 11.【参考答案】 设第一次取出的晶体管是合格品、不合格品分别为事件A1,A2，第二次取出的晶体管是合格品为事件B，则第二次取出的是合格品的概率P=P(A1)P(BA1)+P(A2)P(BA2)=810×79+210×89=0.8。 12.【参考答案】 基本事实1：两边及其夹角分别相等的两个三角形全等。 基本事实2：两角及其夹边分别相等的两个三角形全等。 基本事实3：三边分别相等的两个三角形全等。 13.【参考答案】 几何直观主要是指运用图表描述和分析问题的意识与习惯。能够感知各种几何图形及其组成元素，依据图形的特征进行分类；根据语言描述画出相应的图形，分析图形的性质；建立形与数的联系，构建数学问题的直观模型；利用图表分析实际情境与数学问题，探索解决问题的思路。几何直观有助于把握问题的本质，明晰思维的路径。 例如，在探究图形的性质时，可以让学生在直观理解与掌握图形与几何基本事实的基础上，经历得到和验证数学结论的过程，感受具有传递性的数学逻辑，从而形成和发展几何直观能力。 三、解答题 14.【参考答案】 设存在x1,x2,x3使得x1α1+x2α2+x3α3=β，对该线性方程组的增广矩阵作初等行变换： (α1,α2,α3,β)=12034711001-1b23a4→12030-11-201-1b0-1a-2→12030-11-200a-10000b-2 （1）当a为任意实数，b≠2时，线性方程组x1α1+x2α2+x3α3=β无解，此时β不能由α1,α2,α3线性表示。 （2）当b=2,a≠1时，线性方程组x1α1+x2α2+x3α3=β有唯一解，即x=(-1,2,0)T，于是β可唯一表示为β=-α1+2α2。 当b=2,a=1时，线性方程组x1α1+x2α2+x3α3=β有无穷多解，即x=k(-2,1,1)T+(-1,2,0)T，其中k为任意常数，这时β可由α1,α2,α3线性表示为β=-(2k+1)α1+(k+2)α2+kα3。 四、论述题 15.【参考答案】 归纳推理是由某类事物的不同对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理。它是由部分到整体，由特殊到一般的推理，思维过程大致为由“实验、观察”到“概括、推广”再到“猜测一般性结论”。例如，在学习“勾股定理”的内容时，教师以直角三角形的三边为边长分别向三角形外侧画出对应的正方形，引导学生观察三个正方形面积的关系，思考三个正方形面积的关系与直角三角形三边的关系，使其初步发现直角三角形三边存在的关系，最后通过上述过程归纳出猜想，推广至一般性结论，即“勾股定理”。 类比推理是根据两个或两类对象有部分属性相同或相似，从而推出它们的其他属性也相同或相似的推理。它是由特殊到特殊的推理，思维过程大致为由“观察、比较”到“联想、类推”再到“猜测新的结论”。例如，在学习“立体几何”的内容时，可以类比“平面几何”的性质特征，立体几何与平面几何的许多概念、性质是相似的，类比“长方形的每一边恰好与其相对的边平行，而与其相邻的边垂直”可以推出“长方体的每一面恰好与其相对的面平行，而与其相邻的面垂直”。 归纳推理和类比推理都属于合情推理，都是根据已有事实，经过观察、分析、比较、联想，之后进行归纳，类比，然后提出猜想的推理。从推理结论来看，者所得结论均不一定正确，有待进一步证明。合情推理是指“合乎情理”的推理，是在数学的研究中，得到一个新结论之前所做的推理，归纳推理和类比推理常常帮助我们猜测和发现结论，为我们提供证明新结论的思路和方向。 五、案例分析题 16.【参考答案】 （1）该教师教学的优点： ①教师先引导学生复习了二元一次方程组的有关知识，再学习代入消元法解二元一次方程组，建立了新旧知识之间的联系，为新知识的学习做好了铺垫；②利用生活实例创设情境，能够调动学生的探究欲望，激发学生学习的兴趣，使学生体会数学与生活有密切联系；③通过板书对比一元一次方程和二元一次方程组两种解法，说明两种解法的内在联系，有利于转化思想的形成，有利于新的知识与方法的建构。 该教师教学的缺点： ①教学的引导性不强，学生的主体地位没有完全突显出来，对于两种解法的内在联系和代入消元法的步骤应该引导学生发现和总结；②教学过程不完整，缺少必要的巩固练习。 （2）代入消元法解二元一次方程组体现的数学思想有：化未知为已知的转化思想；把二元变成一元的消元思想。 六、教学设 《国家教师资格考试专用教材·数学学科知识与教学能力历年真题及标准预测试卷（初级中学）》具有以下特色： （1）配套试卷讲解 本套试卷配有试卷讲解，梳理考点，讲解解题方法。 （2）精选真题，洞悉考情 编者整理了近几年的10套真题，全面总结命题规律，严格依据真题命题特点编织，帮助考生从整体上把握考试难度，熟悉教师资格考试考查的特点和命题趋势。 （3）深度解析，讲解细致 试卷的题目和答案均经过研发团队多次讨论和反复推敲，力求答案准确、解析透彻，引导考生在解题过程中理清解题思路，举一反三，能知其然并知其所以然，让备考更轻松。 （4）模拟预测，冲刺备考 本图书除了10套真题外，还配有5套标准预测试卷，帮助考生实战演练，冲刺备考。