几何学概论（第2版）

作者简介

罗淼，男，汉族，中共党员，1975年生，贵州正安人。现任贵州师范大学数学科学学院副教授，理学博士，硕士生导师，主要从事几何学方面的教学与研究。

内容简介

第3章欧氏几何、二次曲线的度量性质与分类 在以前的几何学习中，我们曾经研究过了长度、角 度、面积等涉及大小的图形性质，还研究了圆、三角形 、多边形、全等、相似、平行等涉及形状及位置关系的 图形性质。在那里，研究问题的基本观点是静止的、固 定的，我们把以前的几何叫做初等几何。但现实世界的 客观事物却是在不断运动和发展变化的，为了更加深入 地、客观地认识图形的性质，需要另一种几何，我们把 它叫做高等几何。在高等几何中，将用运动和变换的观 点去考察图形的性质。 1直角坐标系、欧氏平面、变换群与等距变换 本节将介绍直角坐标系、欧氏平面、运动与变换以 及变换群等相关概念。 1.1直角坐标系与欧氏平面 在解析几何中，我们知道在平面上建立一个标架， 就唯一确定一个坐标系，有了坐标系，平面上的点或者 向量就有了确定的坐标，并且点的坐标与向量的坐标之 间也有了一种一一对应关系，从而几何上的很多问题就 可以借助代数的知识来进行讨论和研究。 定义1.1若二维平面上标架{O; e1,e2}的基向量e1 ，e2是标准正交基，则把此标架对应的坐标系叫做二维 直角坐标系，在此坐标系下点的坐标叫做笛卡儿直角坐 标，简称直角坐标。 直观上，我们把建立了直角坐标系的平面叫做欧氏 平面。 1.2变换群 1.2.1映射与变换的定义 定义1.2设有集合S和S′，若对于S中的每一个元素 a，按照确定的对应法则T，在S′中总存在唯一元素a′ 与之对应，则把此法则T叫做从集合S到集合S′的映射 ，记为 T: S→S′。(31) 若在T之下，元素a(∈S)的对应元素是a′(∈S′) ，则称T将a映成a′，记为 aa′=T(a)， 并称a′为a在T之下的像，a为a′在T之下的原像。 对于映射(31)，我们用T(S)表示集合S的全体元 素在T之下的像的集合。一般地，T(S)是S′的子集，即 T(S)S′。若T(S)=S′，即S′中的每一元素在T之下 都有原像，则把此映射叫做满射； 若S中不同元素的像 也不同，则把此映射叫做单射，既是单射又是满射的映 射，叫做双射(即一一映射)，双射在映射理论研究中是 最重要的。 在本书中，将两个集合之间的双射叫做对应； 将 集合到自身的双射叫做变换。 1.2.2二维平面上的点变换及其代数表达式 定义1.3设集合π和π′是两个平面，若对于平面 π上的每一个点M，按照确定的对应法则T，在平面π′ 上总存在唯一点M′与之对应，则把此法则T叫做从平面 π到平面π′的映射，记为 本书既可作为高等师范院校本科数学教育、数学与应用数学等专业的几何教材，也可供中学数学教师作为参考读本，还可作为数学爱好者，特别是几何爱好者的读本。